機械振動4兩自由度系統(tǒng)的動力學方程

1、振動力學1第四章振動力學2kcm建模方法建模方法1：將車、人等全部作為一個質(zhì)量考慮，并考慮彈性和阻尼將車、人等全部作為一個質(zhì)量考慮，并考慮彈性和阻尼要求：對汽車的上下振動進行動力學建模要求：對汽車的上下振動進行動力學建模例子：汽車行駛在路面上會產(chǎn)生上下振動例子：汽車行駛在路面上會產(chǎn)生上下振動缺點：模型粗糙，沒有考慮人與車、車與車輪、車輪與地面之缺點：模型粗糙，沒有考慮人與車、車與車輪、車輪與地面之間的相互影響間的相互影響優(yōu)點：模型簡單（單自由度）優(yōu)點：模型簡單（單自由度）分析：人與車、車與車輪、車輪與地面之間的運動存在耦合分析：人與車、車與車輪、車輪與地面之間的運動存在耦合振動力學3k2c2m

2、車車m人人k1c1建模方法建模方法2：車、人的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的車、人的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼彈性和阻尼優(yōu)點：模型較為精確，考慮了人與車之間的耦合優(yōu)點：模型較為精確，考慮了人與車之間的耦合缺點：沒有考慮車與車輪、車輪與地面之間的相互影響缺點：沒有考慮車與車輪、車輪與地面之間的相互影響需兩個獨立坐標需兩個獨立坐標振動力學4m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m車車m輪輪m輪輪建模方法建模方法3：車、人、車輪的質(zhì)量分別考慮，車、人、車輪的質(zhì)量分別考慮，并考慮各自的彈性和阻尼并考慮各自的彈性和阻尼優(yōu)點：分別考慮了人與車、車與車輪、車輪與地面之間的相優(yōu)點：分別考慮了人

3、與車、車與車輪、車輪與地面之間的相互耦合，模型較為精確互耦合，模型較為精確問題：如何描述各個質(zhì)量之間的相互耦合效應(yīng)？問題：如何描述各個質(zhì)量之間的相互耦合效應(yīng)？需多個獨立坐標需多個獨立坐標振動力學5振動力學6振動力學7m1m2k1k2k3x1x2k1x1k2(x1-x2)11xm m1k2(x1-x2)22xm m2 k3x2 0)(2121111xxkxkxm 0)(2321222xkxxkxm 寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：0 KxxM 其中：其中：2100mmM322221kkkkkkKTxx21x實例：實例：振動力學8021211111xkxkxm 022212122xkxkxm 找x1與

4、x2同步運動的解：)(),(2211tfuxtfux代入方程得：代入方程得：22211211322221kkkkkkkkkkK，令1121kkk，21122kkk。2232kkk0)()()(21211111tfukuktfum 0)()()(22212122tfukuktfum 2222212111212111)()(umukukumukuktftf 振動力學9與單自由度振動的方程一樣，要有振動，必須為正實數(shù)。0)()(tftf 代入方程得：代入方程得：0)(21211211ukumk0)(2222211212112mkkkmk)sin()(tCtf而且解為：為初相位角。為振動頻率，為任意常

5、數(shù)，其中：C)2 , 1()sin()(itCutfuxiii，0)(22222121umkuk振動力學100)(2222211212112mkkkmk0)()(212221121122214212kkkkmkmmm2121222112211122212111222122214)(2121mmkkkmmkmkmmmkmkm2122232212211)(kkkkkkkk)2 , 1(02ii頻率。為正實根，即兩個固有)2 , 1( ii，得到：代入方程每個)101 . 4(i0)(21211211ukumki22221212121112mkkkmkuuii振動力學1122122121212111

6、)1(1)1(21mkkkmkuur得：22222121212211)2(1)2(22mkkkmkuur1)1(1)1(2)1(1)1(1ruuuu得矩陣：2)2(1)2(2)2(1)2(1ruuuu)151 . 4(a)151 . 4(b。、量，分別對應(yīng)于稱為振型向量或模態(tài)向、21)2()1(uu)2 , 1()sin()sin()(2)(2)(1)(1ituCxtuCxiiiiiiiiiii，：對每個振動力學12)sin(1)()()()(11111)1()1(2)1(1)1(trCtftxtxtux得：)161 . 4(a)161 . 4(b實際振動為：由初始條件確定。、和、其中2121

7、CC)sin(1)()()()(22222)2()2(2)2(1)2(trCtftxtxtux)()()()2()2(tttxxx)171 . 4()sin(1)sin(122221111trCtrC振動力學13m1m2k1k2k3x1x2解：方程解：方程0 KxxM 其中：其中：mm200Mkkkk32K例例4.1-1：，mmmm2,21kkkkk2321，。求固有頻率和固有振型0232)(222222211212112mkkkmkmkkkmk0572)(22422kmkmmkmkmk2/5/10)27(214722221mkmk25,21振動力學14m1m2k1k2k3x1x2mkmkmk

8、5811. 125,21121212111)1(1)1(21kkkkmkuur得：5 . 02/521212211)2(1)2(22kkkkmkuur11)1(1)1(2)1(1)1(uuuu得固有振型：5 . 01)2(1)2(2)2(1)2(uuuu)1(u11mk1)2(u1-0.5mk252節(jié)點振動力學15解：方程解：方程0 KxxM 其中：其中：mm200Mkkkk32K例例4.1-2：，mmmm2,21kkkkk2321，。求固有頻率和固有振型0232)(222222211212112mkkkmkmkkkmk0572)(22422kmkmmkmkmk2/5/10)27(214722

9、221mkmk25,21振動力學16例例4.1-2：求扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)的固有頻率和固有振型：求扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)的固有頻率和固有振型兩圓盤兩圓盤 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 ，21,II軸的扭轉(zhuǎn)剛度軸的扭轉(zhuǎn)剛度 k1I22Ik111 I)(21k22 I)(21k建立方程：建立方程：)()(21221211kIkI 0021222111kkIkkI )sin()sin(2211tt設(shè)代入微分方程組，得振動力學171I22Ik1特征方程：特征方程：0)(0)(22212112IkkkIk:相應(yīng)的振幅比，這里1011r0)(22212kIkIk0)(221421IIkII特征根：特征根：, 021212221IIII

10、k21122)2(1)2(22IIkIkr, 1121)1(1)1(21kIkr，軸段無變形。振動時，轉(zhuǎn)角是相同的說明以1不是振動。這實際上是剛體轉(zhuǎn)動，振動力學181I22Ik121122121,:IIlIlIIlIl節(jié)面的位置特性。改變該扭振系統(tǒng)的振動在節(jié)面處進行固定，不節(jié)面處始終保持不動。節(jié)面處始終保持不動。節(jié)面1221IIll：振動時，固有振型如圖以2121IIl1l2l向扭振的單自個以同一頻率按相反方即該扭振系統(tǒng)可看成兩由度系統(tǒng)。振動力學19k1k2ABCOal1l2O0 x振動力學20222121CcCIxmT 22Jaxm21)(21k1k2ABCOal1l2O0 xsinaxxc

11、axxc振動力學212221BAxkxkV2121222211)(21)(21lxklxkk1k2ABCOal1l2O0 xsin1lxxAsin2lxxB1lxxA2lxxB振動力學22)21(，iQqLqLdtdiii2個 自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程：自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程：iq：廣義坐標：廣義坐標：拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)LVTL iQ：對應(yīng)于非保守廣義力：對應(yīng)于非保守廣義力22JaxmT21)(21222211)(21)(21lxklxkV此處為x和。自由振動時，Qi為0。代入拉格朗日方程，得：代入拉格朗日方程，得：1)()(Qlklkxkkmaxm112221 2222211112

12、22QlklkxlklkmaJxma)()()( 振動力學23代入拉格朗日方程，得：代入拉格朗日方程，得：矩陣形式：矩陣形式：2122221111221122212QQxlklklklklklkkkxmaJmamam 存在慣性耦合存在慣性耦合存在彈性耦合存在彈性耦合1)()(Qlklkxkkmaxm112221 222221111222QlklkxlklkmaJxma)()()( )21(，iQqLqLdtdiii2個自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程：自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程：22JaxmT21)(21222211)(21)(21lxklxkV振動力學24如果如果O點選在質(zhì)心點選在質(zhì)心C：只存在彈性耦

13、合，而不出現(xiàn)慣性耦合只存在彈性耦合，而不出現(xiàn)慣性耦合0a21QQ、：作用在質(zhì)心上的外力合力和合力矩：作用在質(zhì)心上的外力合力和合力矩2122221111221122212QQxlklklklklklkkkxmaJmamam 212222111122112221QQxlklklklklklkkkxJm 00振動力學25如果如果O點選在這樣一個特殊位置，使得：點選在這樣一個特殊位置，使得：只存在慣性耦合，而不出現(xiàn)彈性耦合只存在慣性耦合，而不出現(xiàn)彈性耦合1221kkll2122221111221122212QQxlklklklklklkkkxmaJmamam 2122221121200QQxlklkk

14、kxmaJmamam 這個特殊位置稱為系統(tǒng)的剛度中心這個特殊位置稱為系統(tǒng)的剛度中心振動力學26m1m2k1k2m3k3x1x2x3233222211212121xmxmxmT22332122211)(21)(2121xxkxxkxkV設(shè)某一瞬時：設(shè)某一瞬時：321mmm、321xxx、分別有位移分別有位移321xxx、速度為速度為振動力學27iQ：對應(yīng)于非保守廣義力：對應(yīng)于非保守廣義力自由振動時，Qi為0。代入拉格朗日方程：代入拉格朗日方程：)3 , 2 , 1( iQqLqLdtdiiiVTL 233222211212121xmxmxmT11221111)(Qxxkxkxm 22332122

15、211)(21)(2121xxkxxkxkV223312222)()(Qxxkxxkxm 323333)(Qxxkxm 得：得：振動力學2811221111)(Qxxkxkxm 223312222)()(Qxxkxxkxm 323333)(Qxxkxm 寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：QKxxM 其中：其中：321000000mmmM33332222100kkkkkkkkkKTxxx321xTQQQ321Q振動力學29受力分析：受力分析：Q1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1Q2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3(x2 x3）設(shè)某一瞬時：設(shè)某一瞬時：321mmm、321xxx、

16、分別有位移分別有位移321xxx 、加速度為加速度為m1m2k1k2m3k3x1x2x3Q3(t)k3(x2-x3)33xm m3振動力學30Q1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1Q2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3(x2 x3）Q3(t)k3(x2-x3)33xm m312121111)(Qxxkxkxm 232321222)()(Qxxkxxkxm 332333)(Qxxkxm 寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：QKxxM 其中：其中：321000000mmmM33332222100kkkkkkkkkKTxxx321xTQQQ321Q振動力學31QKqqM 的平衡。和非保守

17、力、慣性力即彈性恢復(fù)力QqMKq ),.,2 , 1()(1niQqkqminjjijjij ),.,(niQqkinjjij211振動力學32),.,(niQqkinjjij211振動力學33m1m2k1k2m3k3x1x2x3令令T001x 2111kkk221kk 031k令令T010 x212kk3222kkk332kk令令T100 x013k323kk333kk得剛度矩陣：得剛度矩陣：33332222100kkkkkkkkkK振動力學34QKqqM 考慮考慮M：nRq假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬時，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬時，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移 即：

18、即： q = 0QqM 則有：則有：njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmQQQQ211222111112100100.有了剛度矩陣，還需要質(zhì)量矩陣，才能寫出作用力方程：有了剛度矩陣，還需要質(zhì)量矩陣，才能寫出作用力方程：若只有qj =1,其它q= 0振動力學35使系統(tǒng)只在第使系統(tǒng)只在第j個坐標個坐標上產(chǎn)生單位加速度，上產(chǎn)生單位加速度，而在其他坐標上不產(chǎn)而在其他坐標上不產(chǎn)生加速度所施加的一生加速度所施加的一組外力，正是質(zhì)量矩組外力，正是質(zhì)量矩陣陣M的第的第j列列 。結(jié)論：質(zhì)量矩陣結(jié)論：質(zhì)量矩陣M中的元素中的元素 是使系統(tǒng)僅在第是使系統(tǒng)僅在第j個坐標上產(chǎn)生個坐標上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)

19、于第單位加速度而相應(yīng)于第i個坐標上所需施加的力個坐標上所需施加的力ijm根據(jù)其物理意義可以直接求出根據(jù)其物理意義可以直接求出質(zhì)量影響系數(shù)質(zhì)量影響系數(shù)mij和和剛度影響系數(shù)剛度影響系數(shù)kij。然后寫出矩陣。然后寫出矩陣 M 和和 K，從而建立作用力方程，這種方法稱，從而建立作用力方程，這種方法稱為為影響系數(shù)方法影響系數(shù)方法 。njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmQQQQ211222111112100100.振動力學36m1m2k1k2m3k3x1x2x3令令T001x 111111mmxmQ 021m031m令令T010 x 1210mQ2222mmQ032m令令T100 x 0

20、13m023m333mm得質(zhì)量矩陣：得質(zhì)量矩陣：321000000mmmM質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣M中的元素中的元素mij是使系統(tǒng)僅在第是使系統(tǒng)僅在第j個坐標上產(chǎn)生單位加個坐標上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第速度而相應(yīng)于第i個坐標上所需施加的力個坐標上所需施加的力Qi。有了剛度矩陣和質(zhì)有了剛度矩陣和質(zhì)量矩陣就可以寫出量矩陣就可以寫出動力學方程。動力學方程。振動力學37柔度矩陣將動力學方程：QKqqM 各項左乘K的逆陣K-1：QKKqKqMK111 FQqqD 其中，F(xiàn)=K-1稱為系統(tǒng)的柔度矩陣柔度矩陣，其元素fij(i,j=1,2,n)稱為柔度影響系數(shù)柔度影響系數(shù)。D=FM稱為系統(tǒng)的系統(tǒng)的動力矩陣動力矩陣。

21、考慮在靜變形時，各廣義加速度均為考慮在靜變形時，各廣義加速度均為0，方程變?yōu)椋?，方程變?yōu)椋篎Qq ),.,2 , 1(:1niqQfinjjij即這又稱為這又稱為位移方程位移方程振動力學38),.,2 , 1(1niqQfinjjij因此，因此，柔度影響系數(shù)柔度影響系數(shù)fij可理解為：對系統(tǒng)僅施加與可理解為：對系統(tǒng)僅施加與qj坐標坐標對應(yīng)的單位廣義力時，沿對應(yīng)的單位廣義力時，沿qi坐標所產(chǎn)生的位移。坐標所產(chǎn)生的位移。柔度矩陣也是對稱矩陣，它與剛度矩陣互為逆陣，若剛度柔度矩陣也是對稱矩陣，它與剛度矩陣互為逆陣，若剛度矩陣正定，柔度矩陣也正定。矩陣正定，柔度矩陣也正定。但動力矩陣但動力矩陣D=FM

22、通常不是對稱矩陣。通常不是對稱矩陣。若令若令Q=0，得到保守系統(tǒng)自由振動的另一種形式的動力學，得到保守系統(tǒng)自由振動的另一種形式的動力學方程。方程。0qqD 振動力學39對對3個自由度的質(zhì)量個自由度的質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，可以利用柔度影響系數(shù)彈簧系統(tǒng)，可以利用柔度影響系數(shù)的物理意義求出柔度矩陣。的物理意義求出柔度矩陣。m1m2k1k2m3k3x1x2x3) 3 , 2 , 1(31iqQfijjij令：令：0, 1321QQQ11111kxf12211kxf13311kxf令：令：0, 1312QQQ11121kxf2122211kkxf2133211kkxfiixf 1振動力學40令：令：0, 121

23、3QQQ11131kxf2122311kkxf321333111kkkxf得到柔度矩陣：得到柔度矩陣：3212112121111111111111111111kkkkkkkkkkkkkkF11111kxf12211kxf13311kxf11121kxf2122211kkxf2133211kkxfm1m2k1k2m3k3x1x2x3振動力學41動力矩陣：動力矩陣：)111()11()11()11(32132121121321211131211kkkmkkmkmkkmkkmkmkmkmkmFMD柔度影響系數(shù)更容易通過實驗得出。柔度影響系數(shù)更容易通過實驗得出。彈性梁的柔度影響系數(shù)可直接引自材料力學公

24、式。彈性梁的柔度影響系數(shù)可直接引自材料力學公式。這個動力矩陣就不是對稱矩陣。這個動力矩陣就不是對稱矩陣。振動力學42若上例最左邊一個彈簧取消，則剛度矩陣變?yōu)椋喝羯侠钭筮呉粋€彈簧取消，則剛度矩陣變?yōu)椋簁1m1m2k2m3k3x1x2x3) 3 , 2 , 1(31ixQfijjij令：令：0, 1321QQQ3333222200kkkkkkkkK這時，這時，0K即剛度矩陣為奇異陣，其逆矩陣即柔度矩陣不存在。即剛度矩陣為奇異陣，其逆矩陣即柔度矩陣不存在。其實，由于左端的約束取消其實，由于左端的約束取消后，系統(tǒng)處于游離狀態(tài)。對后，系統(tǒng)處于游離狀態(tài)。對任一個物塊施加外力，各靜任一個物塊施加外力，各靜

25、位移均是不定值，即求不得位移均是不定值，即求不得柔度影響系數(shù)。柔度影響系數(shù)。其彈性位移其彈性位移xi均不能確定。均不能確定。這種系統(tǒng)稱為這種系統(tǒng)稱為半正定系統(tǒng)半正定系統(tǒng)。振動力學43各質(zhì)量上作用垂直力為Pi，垂直位移為xi (i=1,2,3) 。忽略梁的質(zhì)量，求柔度矩陣。忽略梁的質(zhì)量，求柔度矩陣。 （質(zhì)量連續(xù)分布的彈性梁的簡化（質(zhì)量連續(xù)分布的彈性梁的簡化 ）假設(shè)假設(shè)321PPP、是常力是常力 以準靜態(tài)方式作用在梁上以準靜態(tài)方式作用在梁上 梁只產(chǎn)生位移（即撓度），不產(chǎn)生加速度。梁只產(chǎn)生位移（即撓度），不產(chǎn)生加速度。 321mmm、321xxx、取質(zhì)量取質(zhì)量的靜平衡位置為坐標的靜平衡位置為坐標的原

26、點。的原點。 再來看彈性梁問題再來看彈性梁問題 x1m1x3m3P1P3x2m2P2llll彈性梁跨度為4l，抗彎剛度為EI，均布3個集中質(zhì)量mi(i=1,2,3) ,振動力學441131129fEIlxm1 位移：位移：21321211fEIlxm2 位移：位移：時、01321PPP（1）時、10231PPP（2）f11f21P1=1f31m3 位移：位移：3133127fEIlxm1 位移：位移：12311211fEIlx22321216fEIlxm2 位移：位移：m3 位移：位移：32331211fEIlxf12f22P2=1f32（3）利用對稱性：113332233113ffffff，

27、振動力學45得到柔度矩陣：91171116117119123EIlFx1m1x3m3P1P3x2m2P2llll用質(zhì)量影響系數(shù)的物理意義可求出質(zhì)量矩陣。令令T001x 11111mxmQ 021m031m令令T010 x 1210mQ2222mmQ032m令令T100 x 1310mQ023m333mm質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣M中的元素中的元素mij是使系統(tǒng)僅在第是使系統(tǒng)僅在第j個坐標上產(chǎn)生單位加個坐標上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第速度而相應(yīng)于第i個坐標上所需施加的力個坐標上所需施加的力Qi。振動力學4691171116117119123EIlFx1m1x3m3P1P3x2m2P2llll32100000

28、0mmmM32132132139117111611711912mmmmmmmmmEIlFMD可以寫出動力學方程：FQqqD TPPP321Q32132132139117111611711912PPPPPPPPPEIlFQ振動力學47動力學方程可統(tǒng)一表示為：動力學方程可統(tǒng)一表示為： QXKXM 位移向量位移向量加速度向量加速度向量質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣剛度矩陣剛度矩陣激勵力向量激勵力向量若系統(tǒng)有若系統(tǒng)有 n 個自由度，則各項皆為個自由度，則各項皆為 n 維維 質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、柔度矩陣的對稱性、正定性質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、柔度矩陣的對稱性、正定性本節(jié)小結(jié)：本節(jié)小結(jié)： FQqqD 振動力學48本節(jié)作業(yè)：

29、本節(jié)作業(yè)： 5.1；5.2振動力學49例例1：雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振力：雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，兩質(zhì)量分別受到激振力不計摩擦和其他形式的阻尼不計摩擦和其他形式的阻尼試建立系統(tǒng)的動力學方程試建立系統(tǒng)的動力學方程m1m2k3k1k2x1x2P1(t)P2(t)振動力學50解：解：,1x2x21,mm的原點分別取在的原點分別取在 的靜平衡位置的靜平衡位置 建立坐標：建立坐標：設(shè)某一瞬時：設(shè)某一瞬時：21mm、1x2x上分別有位移上分別有位移21xx 、加速度加速度受力分析：受力分析：P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2m1m2k3k

30、1k2x1x2P1(t)P2(t)振動力學51建立方程：建立方程： )()()()(2332122212121111tPxkxxkxmtPxxkxkxm 矩陣形式：矩陣形式： )()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm 牛頓定理牛頓定理坐標間的耦合項坐標間的耦合項 P1(t)k1x1k2(x1-x2)11xm m1P2(t)k2(x1-x2)22xm m2k3x2振動力學52例例2：轉(zhuǎn)動運動：轉(zhuǎn)動運動兩圓盤兩圓盤轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 21,II軸的三個段的扭轉(zhuǎn)剛度軸的三個段的扭轉(zhuǎn)剛度 321,kkk試建立系統(tǒng)的動力學方程試建立系統(tǒng)的動力學方程 1k1I22I2k3k)

31、(1tM)(2tM1)(),(21tMtM外力矩外力矩 振動力學53解：解：建立坐標：建立坐標：角位移角位移21,設(shè)某一瞬時：設(shè)某一瞬時：角加速度角加速度21, 受力分析：受力分析：11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM1振動力學54建立方程：建立方程：)()()()(2332222121211111tMkkItMkkI 矩陣形式：矩陣形式：)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 坐標間的耦合項坐標間的耦合項 11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k振動力學55

32、)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxmm )()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 多自由度系統(tǒng)的角振動與直線振動在數(shù)學描述上相同多自由度系統(tǒng)的角振動與直線振動在數(shù)學描述上相同 如同在單自由度系統(tǒng)中做過的那樣，在多自由度系統(tǒng)中如同在單自由度系統(tǒng)中做過的那樣，在多自由度系統(tǒng)中也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的。也將質(zhì)量、剛度、位移、加速度及力都理解為廣義的。m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM振動力學56小結(jié)：小結(jié)：)()(0021213222212121tPtPxxkkkkkkxxm

33、m )()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 可統(tǒng)一表示為：可統(tǒng)一表示為： )(tPXKXM 例例1：例例2：作用力方程作用力方程位移向量位移向量加速度向量加速度向量質(zhì)量矩陣質(zhì)量矩陣剛度矩陣剛度矩陣激勵力向量激勵力向量若系統(tǒng)有若系統(tǒng)有 n 個自由度，則各項皆為個自由度，則各項皆為 n 維維 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學57剛度矩陣和質(zhì)量矩陣當當 M、K 確定后，系統(tǒng)動力方程可完全確定確定后，系統(tǒng)動力方程可完全確定M、K 該如何確定？該如何確定？ )(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX先討論先討論

34、 K加速度為零加速度為零0X )(tKPX 則：則：假設(shè)外力是以準靜態(tài)方式施加于系統(tǒng)假設(shè)外力是以準靜態(tài)方式施加于系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學58)(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nRX)(tPKX 假設(shè)作用于系統(tǒng)的是這樣一組外力，它們使系統(tǒng)只在第假設(shè)作用于系統(tǒng)的是這樣一組外力，它們使系統(tǒng)只在第 j 個個坐標上產(chǎn)生單位位移，而在其他各個坐標上不產(chǎn)生位移坐標上產(chǎn)生單位位移，而在其他各個坐標上不產(chǎn)生位移 即即 ：TTnjjjxxxxx0,.,0 , 1 , 0,.,0,.,.,111 X njjjnnnjnnjnjnkkk

35、kkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P代入，有代入，有 ：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學59 njjjnnnjnnjnjnkkkkkkkkkkkktPtPtPt211222111112100100.)()()()(P所施加的這組外力數(shù)值上正是剛度矩陣所施加的這組外力數(shù)值上正是剛度矩陣 K 的第的第 j 列列 ijk（i=1n） ：在第在第 i 個坐標上施加的力個坐標上施加的力 結(jié)論：剛度矩陣結(jié)論：剛度矩陣 K 中的元素中的元素 kij 是使系統(tǒng)僅在第是使系統(tǒng)僅在第 j 個坐標上產(chǎn)生

36、個坐標上產(chǎn)生單位位移而相應(yīng)于第單位位移而相應(yīng)于第 i 個坐標上所需施加的力個坐標上所需施加的力 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學60)(tPKXXM 作用力方程：作用力方程：nR X討論討論 M假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬時，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬時，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生任何位移 即：即： X = 0)(tPXM 則有：則有： njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.)()()()(P多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方

37、程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學61njjjnnnjnnjnjnmmmmmmmmmmmmtPtPtPt211222111112100100.)()()()(P使系統(tǒng)只在第使系統(tǒng)只在第j個坐標上產(chǎn)生單位加速度，而在其他坐標上不產(chǎn)個坐標上產(chǎn)生單位加速度，而在其他坐標上不產(chǎn)生加速度所施加的一組外力，正是質(zhì)量矩陣生加速度所施加的一組外力，正是質(zhì)量矩陣M的第的第j列列 結(jié)論：質(zhì)量矩陣結(jié)論：質(zhì)量矩陣M中的元素中的元素 是使系統(tǒng)僅在第是使系統(tǒng)僅在第j個坐標上產(chǎn)生單個坐標上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第位加速度而相應(yīng)于第i個坐標上所需施加的力個坐標上所需施加的力ijm、ijmijk 又分別稱為又分別稱為質(zhì)量影響系

38、數(shù)質(zhì)量影響系數(shù)和和剛度影響系數(shù)剛度影響系數(shù)。根據(jù)它們的物理。根據(jù)它們的物理意義可以直接寫出矩陣意義可以直接寫出矩陣 M 和和 K，從而建立作用力方程，這種方，從而建立作用力方程，這種方法稱為法稱為影響系數(shù)方法影響系數(shù)方法 。多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學62例：寫出例：寫出 M 、 K 及及運動微分方程運動微分方程 m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)解：解：先只考慮靜態(tài)先只考慮靜態(tài) 令令 T001 X 2111kkk221kk 031k 令令 T010 X212kk653222kkkkk332kk令

39、令 T100 X013k323kk4333kkk剛度矩陣：剛度矩陣：43336532222100kkkkkkkkkkkkK多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學63只考慮動態(tài)只考慮動態(tài) 令令 T001 X 111mm021m031m有：有：令令 T010 X 012 m222mm 032 m有：有：令令 T100 X 013 m023 m333mm 有：有：m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)質(zhì)量矩陣：質(zhì)量矩陣：321000000mmmM多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系

40、統(tǒng)的動力學方程振動力學6443336532222100kkkkkkkkkkkkK321000000mmmM )()()(00000000321321433365322221321321tPtPtPxxxkkkkkkkkkkkkxxxmmm 運動微分方程：運動微分方程： m1m2k3k1k2P1(t)P2(t)m3k4k5k6P3(t)(tPKXXM 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學6521,mm21,cc21,II例：雙混合擺，兩剛體質(zhì)量例：雙混合擺，兩剛體質(zhì)量質(zhì)心質(zhì)心繞通過自身質(zhì)心的繞通過自身質(zhì)心的 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量2

41、1、求：求：以微小轉(zhuǎn)角以微小轉(zhuǎn)角為坐標，為坐標，寫出在寫出在x-y平面內(nèi)擺動的作用力方程平面內(nèi)擺動的作用力方程 兩剛體質(zhì)量兩剛體質(zhì)量1Ih1C1C2h2lxy2I12多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學66受力分析受力分析1Ih1C1C2h2lxy2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm xy多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學67解：解：先求質(zhì)量影響系數(shù)先求質(zhì)量影響系數(shù) 令令0121 ，22211121222111112221)(lmhmImhllm

42、hmImlhmm有：有：令令1021 ，2222222212222222)(lhmmhlhmImhmIm有：有：y1Ih1C1C2h2lx2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程11hm1Ilm211 11m21m02 2I22hm01 12m22m12 振動力學68令令0121 ，22211121222111112221)(lmhmImhllmhmImlhmm有：有：令令1021 ，2222222212222222)(lhmmhlhmImhmIm有：有：222222222221

43、11hmIlhmlhmlmhmIM質(zhì)量矩陣：質(zhì)量矩陣：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學69求剛度影響系數(shù)求剛度影響系數(shù)由于恢復(fù)力是重力，所以實際上是求重力影響系數(shù)由于恢復(fù)力是重力，所以實際上是求重力影響系數(shù) 令令0121，021kglmghmk21111有：有：令令1021，2222ghmk0222212kghmk有：有：y1Ih1C1C2h2lx2I12111 hmgm1gm211 I22 I)(2212 hlm 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程gm211 11k21kgm10

44、2 01 12k22kgm2gm112 振動力學70令令0121，021kglmghmk21111有：有：令令1021，2222ghmk0222212kghmk有：有：剛度矩陣：剛度矩陣：2221100)(ghmglmhmK多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學712221100)(ghmglmhmK22222222222111hmIlhmlhmlmhmIM000)(21222112122222222222111ghmglmhmhmIlhmlhmlmhmI 運動微分方程：運動微分方程：y1Ih1C1C2h2lx2I12多自由度系統(tǒng)振動多自

45、由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學72例：例：21、求：求：以微小轉(zhuǎn)角以微小轉(zhuǎn)角為坐標，為坐標，寫出微擺動的運動學方程寫出微擺動的運動學方程 每桿質(zhì)量每桿質(zhì)量 m桿長度桿長度 l水平彈簧剛度水平彈簧剛度 k彈簧距離固定端彈簧距離固定端 a12kaO1O2多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學73解：解：令：令：則需要在兩桿上施加力矩則需要在兩桿上施加力矩110211k21k分別對兩桿分別對兩桿 O1、O2 求矩：求矩：21121kamglk221kak令：令：則需要在兩桿上施加力矩則需要在兩桿上施加

46、力矩011212k22k分別對兩桿分別對兩桿 O1、O2 求矩：求矩：22221kamglk212kak 0112aO1O2mgmg1 ka12k22k1102aO1O2mgmg1 ka11k21k多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學7421121kamglk221kak剛度矩陣：剛度矩陣：22221kamglk212kak 22222121kamglkakakamglK1102aO1O2mgmg1 ka11k21k0112aO1O2mgmg1 ka21k22k多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的

47、動力學方程振動力學75令：令：則需要在兩桿上施加力矩則需要在兩桿上施加力矩11 02 11m2111131mlIm 021m令：令：則需要在兩桿上施加力矩則需要在兩桿上施加力矩12m22m2222231mlIm 012 m01 12 質(zhì)量矩陣：質(zhì)量矩陣：22310031mlmlM21m11 02 aO1O2mgmg11m21mk01 12 aO1O2mgmg12m22mk多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學7622222121kamglkakakamglK運動學方程：運動學方程：22310031mlmlM0021213100312122

48、222122kamglkakakamglmlml 12kaO1O2多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學77例：兩自由度系統(tǒng)例：兩自由度系統(tǒng)擺長擺長 l，無質(zhì)量，微擺動，無質(zhì)量，微擺動求：運動微分方程求：運動微分方程xm1k12mk2多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學78解：解：先求解剛度矩陣先求解剛度矩陣令：令：01x2121111)(kkkkk021k令：令：10 x00)(2112kkkglmlgmk2222sin m1k1k21xm1k11k20 x12k22k多自由度系

49、統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學792121111)(kkkkk021k00)(2112kkkglmlgmk2222sin剛度矩陣：剛度矩陣：glmkk22100K多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學80求解質(zhì)量矩陣求解質(zhì)量矩陣令：令：0 1x 212111)(mmxmmm lmlxmm2221)( 令：令：1 0 x lmlmm2212 222222lmlmIm m1k1k2xm 2慣慣性性力力m1k11 gm2k20 x 12m22m Ilm 2慣性力慣性力多自由度系統(tǒng)振動多自由度

50、系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學81212111)(mmxmmm lmlxmm2221)( lmm212222222lmlmIm 質(zhì)量矩陣：質(zhì)量矩陣：222221lmlmlmmmMx m1k12mk2剛度矩陣：剛度矩陣：glmkk22100K運動微分方程：運動微分方程：0000221222221xglmkkxlmlmlmmm 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學82位移方程和柔度矩陣對于靜定結(jié)構(gòu)，有時通過對于靜定結(jié)構(gòu)，有時通過柔度矩陣柔度矩陣建立建立位移方程位移方程比通過比通過剛度矩陣剛度矩陣建立建

51、立作用力方程作用力方程來得更方便些。來得更方便些。 柔度柔度定義為彈性體在單位力作用下產(chǎn)生的變形定義為彈性體在單位力作用下產(chǎn)生的變形物理意義及量綱與剛度恰好相反物理意義及量綱與剛度恰好相反 以一個例子說明位移方程的建立以一個例子說明位移方程的建立 x1m1x2m2P1P2無質(zhì)量彈性梁，有若干集中質(zhì)量無質(zhì)量彈性梁，有若干集中質(zhì)量（質(zhì)量連續(xù)分布的彈性梁的簡化（質(zhì)量連續(xù)分布的彈性梁的簡化 ）假設(shè)假設(shè)21PP、是常力是常力 以準靜態(tài)方式作用在梁上以準靜態(tài)方式作用在梁上 梁只產(chǎn)生位移（即撓度），不產(chǎn)生加速度梁只產(chǎn)生位移（即撓度），不產(chǎn)生加速度 21mm、21xx、取質(zhì)量取質(zhì)量的靜平衡位置為坐標的靜平衡位

52、置為坐標的原點的原點 多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學83111fx m1 位移：位移：212fx m2 位移：位移：0121 PP、時時（1）1021 PP、時時（2）121fx m1 位移：位移：222fx m2 位移：位移：21PP、 同時作用同時作用（3）2121111PfPfx m1 位移：位移：2221212PfPfx m2 位移：位移：f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學8421PP、 同時作用時：

53、同時作用時：2121111PfPfx 2221212PfPfx 矩陣形式：矩陣形式：FPX 21xxX 22211211ffffF 21PPP其中：其中：柔度矩陣柔度矩陣物理意義：物理意義：系統(tǒng)僅在第系統(tǒng)僅在第 j 個坐標受到個坐標受到單位力作用時相應(yīng)于第單位力作用時相應(yīng)于第 i 個坐標上產(chǎn)生的位移個坐標上產(chǎn)生的位移 ijf柔度影響系數(shù)柔度影響系數(shù) f11f21P1=1f12f22P2=1x1m1x2m2P1P2多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學85FPX 21xxX 22211211ffffF 21PPP21PP、當當 是動載荷時是

54、動載荷時集中質(zhì)量上有慣性力存在集中質(zhì)量上有慣性力存在 2221112221121121)()(xmtPxmtPffffxx 212121222112112100)()(xxmmtPtPffffxx )(XMPFX 位移方程位移方程x1m1x2m2P1P211x m 22x m m1m2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學86)(XMPFX 位移方程：位移方程：FPXXFM 又可：又可：作用力方程：作用力方程： PKXXM XMPKX )(1XMPKX 若若K非奇異非奇異柔度矩陣與剛度矩陣的關(guān)系：柔度矩陣與剛度矩陣的關(guān)

55、系：1 KFIFK 或：或：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學87對于允許剛體運動產(chǎn)生的系統(tǒng)（即具有剛體自由度的系統(tǒng)），對于允許剛體運動產(chǎn)生的系統(tǒng)（即具有剛體自由度的系統(tǒng)），柔度矩陣不存在柔度矩陣不存在應(yīng)當注意：應(yīng)當注意：1I2Ikm1m2k1k2m3原因：原因：在任意一個坐標上施加單位力，系統(tǒng)將產(chǎn)生剛體運動在任意一個坐標上施加單位力，系統(tǒng)將產(chǎn)生剛體運動而無法計算各個坐標上的位移而無法計算各個坐標上的位移剛度矩陣剛度矩陣 K 奇異奇異多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學88例：

56、例： 求圖示兩自由度簡支梁橫向振動的位移方程求圖示兩自由度簡支梁橫向振動的位移方程 已知梁的抗彎剛度矩陣為已知梁的抗彎剛度矩陣為EJx1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學89由材料力學知，由材料力學知， 當當B點作用有單位力時，點作用有單位力時，A點的撓度為：點的撓度為： )(6222balEJlabfAB柔度影響系數(shù)：柔度影響系數(shù)：fff82211fff71221EJlf4863 ffff8778F21212121008778xxmmPPffffxx 柔度矩陣：柔度矩陣：位移方程：位

57、移方程：x1x2l/3l/3l/3m1m2P1(t)P2(t)labABP=1多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學90例：例： 教材教材 P72 例例4.1-2，求柔度陣，求柔度陣 33332222100kkkkkkkkkK（1）在坐標）在坐標 x1 上對質(zhì)量上對質(zhì)量 m1 作用單位力作用單位力系統(tǒng)在坐標系統(tǒng)在坐標 x1、x2、x3 上產(chǎn)生位移為上產(chǎn)生位移為: 13121111kfff m1m2k1k2m3k3x1x2x3解：解：（2）在坐標）在坐標 x2 上對質(zhì)量上對質(zhì)量 m2 作用單位力作用單位力212211kkf1121kf213

58、211kkf（3）在坐標）在坐標 x3 上對質(zhì)量上對質(zhì)量 m3 作用單位力作用單位力1131kf212311kkf32133111kkkf多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學911111kf1211kf1311kf212211kkf1121kf213211kkf1131kf212311kkf32133111kkkf 3212112121111111111111111111kkkkkkkkkkkkkkF因此：因此：可以驗證，有：可以驗證，有：IFK m1m2k1k2m3k3x1x2x3 33332222100kkkkkkkkkK多自由度系

59、統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學92質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n 階方陣階方陣 A 正定正定并且等號僅在并且等號僅在0y 時才成立時才成立 0AyyT是指對于任意的是指對于任意的 n 維列向量維列向量 y，總有，總有 成立成立如果如果0y 時，等號也成立，那么稱矩陣時，等號也成立，那么稱矩陣 A 是是半正定半正定的的 根據(jù)分析力學的結(jié)論，對于定常約束系統(tǒng)：根據(jù)分析力學的結(jié)論，對于定常約束系統(tǒng)： 動能：動能：XMXTT21 KXXTV21 勢能：勢能：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力

60、學93質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n 階方陣階方陣 A 正定正定并且等號僅在并且等號僅在0y 時才成立時才成立 0AyyT是指對于任意的是指對于任意的 n 維列向量維列向量 y，總有，總有 成立成立如果如果0y 時，等號也成立，那么稱矩陣時，等號也成立，那么稱矩陣 A 是是半正定半正定的的 動能：動能：XMXTT21 0T)1(0nixi 除非除非所以，所以，M正定正定0M即：即：多自由度系統(tǒng)振動多自由度系統(tǒng)振動 / 多自由度系統(tǒng)的動力學方程多自由度系統(tǒng)的動力學方程振動力學94質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正定性質(zhì)n 階方陣階方陣 A 正定正定并且等號僅在并且等號僅在0y 時才成立時才成立 0AyyT是