概率論課后習題解答

1、一、習題詳解：寫出下列隨機試驗的樣本空間：某籃球運動員投籃時，連續(xù)5次都命中，觀察其投籃次數(shù)；解：連續(xù)5次都命中，至少要投5次以上，故15,6,7,;(2)擲一顆勻稱的骰子兩次，觀察前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和；解： 22,3,4, 11,12 ;觀察某醫(yī)院一天內(nèi)前來就診的人數(shù)；解：醫(yī)院一天內(nèi)前來就診的人數(shù)理論上可以從0到無窮，所以3 0,1,2,；(4)從編號為1, 2, 3, 4, 5的5件產(chǎn)品中任意取出兩件，觀察取出哪兩件產(chǎn)品；解：屬于不放回抽樣，故兩件產(chǎn)品不會相同，編號必是一大一小，故：檢查兩件產(chǎn)品是否合格；解：用0表示合格,1表示不合格，則 5Q0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 ；(

2、6)觀察某地一天內(nèi)的最高氣溫和最低氣溫(假設最低氣溫不低于 T1,最高氣溫不高于T2);解：用x表示最低氣溫，y表示最高氣溫；考慮到這是一個二維的樣本空間，故：6 x,yT1 x y T，;在單位圓內(nèi)任取兩點，觀察這兩點的距離；解：7 X0 x 2 ;(8)在長為l的線段上任取一點，該點將線段分成兩段，觀察兩線段的長度.解：8 x, y x 0, y 0,x y l ；設A, B, C為三事件，用A；B;C的運算關系表示下列各事件：(1) A與B都發(fā)生，但C不發(fā)生；ABC ;(2) A發(fā)生，且B與C至少有一個發(fā)生；A(B C);(3) A,B,C中至少有一個發(fā)生；A B C ;(4) A,B,

3、C 中恰有一個發(fā)生；ABC ABC ABC ；(5) A,B,C中至少有兩個發(fā)生；AB AC BC ;(6) A,B,C中至多有一個發(fā)生；AB AC BC ; (7) A；B;C中至多有兩個發(fā)生；旗 ；(8) A,B,C中恰有兩個發(fā)生.ABC ABC ABC ;注意：此類題目答案一般不唯一，有不同的表示方式。設樣本空間 x0 x 2 ,事件 A= x0.5 x 1 , B x0.8 x 1.6具體寫出下列各事件： AB ； (2) A B ； (3)A-B; (4)LB(1) AB x0.8 x 1 ;(2) A B= x0.5 x 0.8 ;(3) A B= x0 x 0.5 0.8 x 2

4、 ；(4) A B = x0 x 0.5 1.6 x 2用作圖法說明下列各命題成立：略用作圖法說明下列各命題成立：略按從小到大次序排列 P(A),P(A B),P(AB),P(A) P(B),并說明理由.解：由于 AB A,A (A B),故P(AB) P(A) P(A B),而 由加法 公式，有：P(A B) P(A) P(B)若W表示昆蟲出現(xiàn)殘翅，E 表示有退化性眼睛，且P(W) = ; P(E)=,P(WE)二, 求下列事件的概率：(1)昆蟲出現(xiàn)殘翅或退化性眼睛；(2)昆蟲出現(xiàn)殘翅，但沒有退化性眼睛；(3)昆蟲未出現(xiàn)殘翅，也無退化性眼睛.解：(1)昆蟲出現(xiàn)殘翅或退化性眼睛對應事件概率為：

5、P(W E) P(W) P(E) P(WE) 0.175(2)由于事件W可以分解為互斥事件 WEWE ,昆蟲出現(xiàn)殘翅,但沒有退化性眼睛對應事件概率為：P(WE) P(W) P(WE) 0.1(3)昆蟲未出現(xiàn)殘翅，也無退化性眼睛的概率為：P(W E) 1 P(W E) 0.825.設A與B是兩個事件，P(A) = ； P(B)=。試問：(1)在什么條件下P(AB)取到最大值？最大值是多少？(2)在什么條件下P(AB)取到最小值？最小值是多少？解：(1)由于 AB A,AB B,故 P(AB) P(A), P(AB) P(B),顯然當 A B 時 P(AB) 取到最 大值。最大值是.(2)由于P(

6、AB) P(A) P(B) P(A B)。顯然當P(A B) 1時P(AB)取到最小值，最 小值是.設 P(A) = , P(B) = , P(C) = , P(AB) = 0, P(AC) = , P(BC)=,求事件A,B,C中至少有一個發(fā)生的概率.解：因為P(AB) = 0 ,故P(ABC) = 0. A,B,C至少有一個發(fā)生的概率為：P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC) 0.7計算下列各題： 設 P(A) = , P(B) = , P(A B)=, 求 P(AB);(2)設 P(A) = , P(A B)=, 求 P(AB);

7、(3) 設 P(AB) = P(A B); P(A)=, 求 P(B)。解：(1)通過作圖，可以知道， P(AB) P(A B) P(B) 0.3把3個球隨機地放入4個杯子中，求有球最多的杯子中球數(shù)是1, 2, 3概率各為多少？解：用A表示事件“杯中球的最大個數(shù)為i個" i=1,2,3 o三只球放入四只杯中，放法有4 4 4 64種，每種放法等可能。對事件A：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法 4X3X2種，故P(A)- 8(選排列：好比3個球在4個位置做排列)o對事件A3:必須三球都放入一杯中。放法有 4種。(只需從4個杯中選1個杯子，放入此3個球，選法有4種)，故P(A) 0

8、 P(A2) 13 168 16 16擲一顆勻稱的骰子兩次，求前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為3; 4; 5的概率各是多少？解：此題為典型的古典概型，擲一顆勻稱的骰子兩次基本事件總數(shù)為36。.出現(xiàn)點數(shù)和為“3”對應兩個基本事件(1, 2), (2, 1)。故前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為 3的概率為-o18同理可以求得前后兩次出現(xiàn)的點數(shù)之和為4, 5的概率各是-,-012 9在整數(shù)0,1,2, 9中任取三個數(shù)，求下列事件的概率：(1)三個數(shù)中最小的一個是 5; (2) 三個數(shù)中最大的一個是 5.解：從10個數(shù)中任取三個數(shù)，共有 C130 120種取法，亦即基本事件總數(shù)為120o(1)若要三個數(shù)中最小的一個是

9、 5,先要保證取得5,再從大于5的四個數(shù)里取兩個，取法有C： 6種，故所求概率為 。20(2)若要三個數(shù)中最大的一個是 5,先要保證取得5,再從小于5的五個數(shù)里取兩個，取法有C2 10種，故所求概率為 。1212只乒乓球中有4只是白色球，8只是黃色球?，F(xiàn)從這12只乒乓球中隨機地取出兩只，求下列事件的概率：(1) 取到兩只黃球；(2) 取到兩只白球;(3)取到一只白球，一只黃球.解：分別用A,A2,A3表示事件：(1)取到兩只黃球；(2)取到兩只白球；(3)取到一只白球，一只黃球.則P(A) CTC122814C26116 ,P(A2) -T , P(A0 1 P(A) P(A2)一。6633C

10、22661133已知 P(A) 0.7, P(B) 0.4, P(AB) 0.5,求 P(A B) B).解：P(AB)B) P(A B) B) P(AB) (BB)P(B)P(B)由于 P(BB) 0,故 P(A B)B)* P P(AB) 0.5 P(B) P(B)已知 P(A) 0.6, P(B) 0.4, P(AB) 0.5。 計算下列二式： P(A B); P(A B);解：(1) P(A B) P(A) P(B) P(AB) 1 P(B)P(AB) 1 0.4 0.5 0.8;(2) P(A B) P(A) P(B) P(AB) 1 P(B)P(AB) 1 0.4 0.5 0.6;

11、注意：因為 P(AB) 0.5,所以 P(A|B) 1 P(AB) 0.5。一批產(chǎn)品共20件，其中有5件是次品，其余為正品?，F(xiàn)從這 20件產(chǎn)品中不放回地任意抽取三次，每次只取一件，求下列事件的概率：(1)在第一、第二次取到正品的條件下，第三次取到次品；(2)第三次才取到次品；(3)第三次取到次品.解：用A表示事件“第i次取到的是正品” (i 1,2,3),則A表示事件“第i次取到的是次品”15 33 14 21(i 1,2,3)。P(A) 一 一，P(AA) P(A1)P(A2 A1)一一 20 44 19 38(1)事件“在第一、第二次取到正品的條件下，第三次取到次品”的概率為：5P(A3A

12、A2) -018(2)事件“第三次才取到次品”的概率為：(3)事件“第三次取到次品”的概率為：14此題要注意區(qū)分事件(1)、(2)的區(qū)別，一個是求條件概率，一個是一般的概率。再例如，設有兩個產(chǎn)品，一個為正品，一個為次品。用 A表示事件“第i次取到的是正品” (i 1,2), 則事件“在第一次取到正品的條件下，第二次取到次品”的概率為：P(A2A) 1;而事件“第 二次才取到次品”的概率為：P(A1A2) P(a)P(A2 A1) 1 0區(qū)別是顯然的。2有兩批相同的產(chǎn)品，第一批產(chǎn)品共14件，其中有兩件為次品，裝在第一個箱中；第二批 有10件，其中有一件是次品，裝在第二個箱中。今在第一箱中任意取出

13、兩件混入到第二箱中，然后再從第二箱中任取一件，求從第二箱中取到的是次品的概率。解：用A(i 0,1,2)表示事件“在第一箱中取出兩件產(chǎn)品的次品數(shù)i”。用B表示事件“從第二2112/箱中取到的是次品"。則 P(Ao) C2 66,P(Ai) CC2 24,P(A2)烏 -,Ci4 91C：91C： 91123P(BA0) P(BA) P(B A2)-12 '12 '12 ，根據(jù)全概率公式，有：一等小麥種子中混有 5%勺二等種子和3%勺三等種子。已知一、二、三等種子將來長出的穗有50顆以上麥粒的概率分別為 50%, 15%和10%假設一、二、三等種子的發(fā)芽率相同求用上述的

14、小麥種子播種后，這批種子所結的穗有50顆以上麥粒的概率.解：設A(i 1,2,3)表示事件“所用小麥種子為i等種子”，B表示事件“種子所結的穗有50顆以上麥?！?。則 P(A) 0.92, P(Az) 0.05, P(A3) 0.03, P(B A) 0.5, P(B A) 0.15, P(B A3) 0.1 ,根據(jù)全概率公式，有：設男女兩性人口之比為51 : 49,男性中的5%是色盲患者，女性中的是色盲患者.今從人群中隨機地抽取一人，恰好是色盲患者，求此人為男性的概率。解：用B表示色盲，A表示男性，則A表示女性，由已知條件，顯然有：P(A) 0.51,P(A) 0.49, P(B A) 0.0

15、5,P(B|A) 0.024 因止匕：根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為：P(AB) P(AB) P(AB)_P(A)P(B A)102I P(B) P(AB) P(AB) P(A)P(BA) P(A)P(BA) 151根據(jù)以往的臨床記錄，知道癌癥患者對某種試驗呈陽性反應的概率為 ，非癌癥患者因?qū)@試驗呈陽性反應的概率為，被試驗者患有癌癥的概率為。若某人對試驗呈陽性反應，求此人患有癌癥的概率解：用B表示對試驗呈陽性反應，A表示癌癥患者，則 A表示非癌癥患者，顯然有：P(A) 0.005, P(A) 0.995,P(BA) 0.95, P(B|A) 0.01,因此根據(jù)貝葉斯公式，所求概率為:倉庫中有10

16、箱同一規(guī)格的產(chǎn)品，其中2箱由甲廠生產(chǎn)，3箱由乙廠生產(chǎn)，5箱由丙廠生產(chǎn)，三廠產(chǎn)品的合格率分別為 95%; 90%和96%.(1)求該批產(chǎn)品的合格率；(2)從該10箱中任取一箱，再從這箱中任取一件，若此件產(chǎn)品為合格品，問此件產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的概率各是多少 ？解：設，B1 產(chǎn)品為甲廠生產(chǎn), B2 產(chǎn)品為乙廠生產(chǎn), B3 產(chǎn)品為丙廠生產(chǎn),A 產(chǎn)品為合格品,則(1)根據(jù)全概率公式，P(A) P(Bi)P(AB) P(B2)P(AB2)P(B3)P(AB3)0.94,該批產(chǎn)品的合格率為.(2)根據(jù)貝葉斯公式,P(B A)P(B)P(A|B1)P(B)P(AB) P(B2)P(AB2) P(B3)P(AB。1994同理可以求得P(B2 A)若此件產(chǎn)品為合格品14PB31A ,因此，從該10箱中任取一箱，此件產(chǎn)品由甲、乙、丙三廠生產(chǎn)的概率分別為:再從這箱中任取一件19 27 24一,一,1094 94 47甲、乙、丙三人獨立地向同一目標各射擊一次，他們擊中目標的概率分別為，和 ,求目標被擊中的概率。解：記 A=目標被擊中,則 P(