35圖形的放大與縮小位似變換

1、圖形的放大與縮小，圖形的放大與縮小，位似變換位似變換本課內容本節(jié)內容3.5圖圖3-46是具有這種關系的，兩個圖形有什么關系？是具有這種關系的，兩個圖形有什么關系？ 圖圖3-46相似相似. 分別在圖分別在圖3-46中左、右兩個小狗的頭頂上取一點中左、右兩個小狗的頭頂上取一點A，A；再分別在狗尾巴尖上取一點；再分別在狗尾巴尖上取一點B，B.圖圖3-46點點A，A與點與點O在一條直在一條直線上嗎？點線上嗎？點B，B與點與點O在一條直線上嗎？在一條直線上嗎？AABBO 分別量出線段分別量出線段OA，OA，OB，OB的長度，的長度，計算計算( (精確到精確到0.1) )： 繼續(xù)在左、右兩個小狗上找出一些

2、對應點，考繼續(xù)在左、右兩個小狗上找出一些對應點，考察每一對對應點是否都與點察每一對對應點是否都與點O在一條直線上；在一條直線上；圖圖3-46 OA=OA ，OB=OB . 計算每一對對應點與點計算每一對對應點與點O的連線段的比，看它們的連線段的比，看它們是否與上述是否與上述 ， 相等相等.OAOAOBOB 6.8 2.13.2 7.5 2.13.5 動腦筋動腦筋 現(xiàn)在你能發(fā)現(xiàn)圖現(xiàn)在你能發(fā)現(xiàn)圖3-46中右邊的小狗是如何從左邊中右邊的小狗是如何從左邊的小狗畫出來的嗎？的小狗畫出來的嗎？ 如何畫出右邊小狗頭頂上的點如何畫出右邊小狗頭頂上的點A和尾巴尖上的點和尾巴尖上的點B？對于左邊小狗上每一個點，如

3、何畫出右邊小狗上？對于左邊小狗上每一個點，如何畫出右邊小狗上的對應點？的對應點？ 圖圖3-46 從上述畫右邊小狗的方法以及類似問題，我們抽從上述畫右邊小狗的方法以及類似問題，我們抽象出下述概念：象出下述概念： 取定一點取定一點O，把圖形上任意一點，把圖形上任意一點P對應到射線對應到射線OP( (或它的反向延長線或它的反向延長線) )上一點上一點P，使得線段，使得線段OP與與OP的比等于常數(shù)的比等于常數(shù)k( (k0) )，點，點O對應到它自身，這種變對應到它自身，這種變換叫作換叫作位似變換位似變換； 點點O叫作叫作位似中心位似中心，常數(shù)，常數(shù)k叫作叫作位似比位似比，一個圖形，一個圖形經(jīng)過位似變換

4、得到的圖形叫作與原圖形經(jīng)過位似變換得到的圖形叫作與原圖形位似的圖形位似的圖形.從位似變換和位似的圖形的定義立即得出：從位似變換和位似的圖形的定義立即得出：結論結論 兩個位似的圖形上每一對對應點都與位似中心兩個位似的圖形上每一對對應點都與位似中心在一條直線上，并且新圖形與原圖形上對應點到位在一條直線上，并且新圖形與原圖形上對應點到位似中心的距離之比等于位似比似中心的距離之比等于位似比練習練習1. 在圖在圖3-47中，以點中，以點O為位似中心，位似比為為位似中心，位似比為2.5，畫，畫出出ABC在這個位似變換下的像在這個位似變換下的像. 圖圖3-47答：答：過過OC，OA，OB作射線，作射線， 分

5、別在射線上取分別在射線上取OA= 2.5OA， OB= 2.5OB，OC= 2.5OC. 連結連結 ， ， 則則 為為ABC在這個在這個 位似變換下的像位似變換下的像. A B B C A B C A C2. 在圖在圖3-48中，以矩形中，以矩形ABCD的對角線交點的對角線交點O為位為位似中心，位似比為似中心，位似比為0.6，畫出矩形，畫出矩形ABCD在這個在這個位似變換下的像位似變換下的像. 圖圖3-48 利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小.當位似比當位似比k1時，一個圖形被放大成原圖形的時，一個圖形被放大成原圖形的k倍；倍；當位似比當位似比k1時，一個

6、圖形被縮小成原圖形的時，一個圖形被縮小成原圖形的k倍倍.舉舉例例例例 把圖把圖3-49中的五角星放大成原圖形的中的五角星放大成原圖形的2倍倍. 圖圖3-49解解:選取五角星的特征點：五個角尖點選取五角星的特征點：五個角尖點 51234A A A A A, , , , , , , , ,以五角星的中心以五角星的中心O為位似中心，為位似中心，51234OA OA OA OA OA,分別作射線分別作射線圖圖3-4935124512342 2 2 22 OAOAOAOAOA = = = = = .OAOAOAOAOA, , ,在這些射線上分別取一個點在這些射線上分別取一個點 ，使得，使得 551314

7、2423A AA AA AA AA A ,連結連結則得到的五角星則得到的五角星 是原五角星是原五角星A1A2A3A4A5的的2倍倍. 51234A A A A A做一做做一做 在圖在圖3-49中，證明：中，證明： 13132 A A = .A A圖圖3-49證明證明:311313132 2 OAOA = = OAOA= AOAAOA, , OA1A3 13 OA A . 13132 A A = A A. . 圖圖3-50中，圖形中，圖形( (1) )經(jīng)過什么變換得到圖形經(jīng)過什么變換得到圖形( (2) )？觀察觀察圖形圖形( (2) )經(jīng)過哪些變換得到圖形經(jīng)過哪些變換得到圖形( (3) )？由此

8、得出：由此得出：圖圖3-50圖形圖形( (2) )與圖形與圖形( (1) )是什么關系？是什么關系？圖形圖形( (3) )與圖形與圖形( (2) )是什么關系？是什么關系？圖形圖形( (3) )與圖形與圖形( (1) )是什么關系？是什么關系？ 答：圖形答：圖形( (2) )與圖形與圖形( (1) )相似相似.答：圖形答：圖形( (3) )與圖形與圖形( (2) )相似相似.答：圖形答：圖形( (3) )與圖形與圖形( (1) )相似相似.圖圖3-50結論結論 圖圖3-50中圖形中圖形( (3) )與圖形與圖形( (1) )的關系表明：一個的關系表明：一個圖形經(jīng)過位似變換和平移、旋轉，最后得到

9、的圖形圖形經(jīng)過位似變換和平移、旋轉，最后得到的圖形與原圖形相似與原圖形相似 舉出生活中相似的圖形的例子，它們中的一個舉出生活中相似的圖形的例子，它們中的一個能不能從另一個經(jīng)過位似變換和平移、旋轉或軸反能不能從另一個經(jīng)過位似變換和平移、旋轉或軸反射得到？射得到？ 1.把圖把圖3-51中的中的正方形正方形ABCD縮小為原圖形的縮小為原圖形的0.6.練習練習答：答：連結連結AC與與BD，則，則AC與與BD相交于相交于O， 在射線在射線OA，OB，OC，OD上取上取OA=0.6OA， OB=0.6OB，OC=0.6OC，OD=0.6OD. 連結連結 ，則正方形，則正方形 為正方形為正方形ABCD在這個

10、位似變換下的像在這個位似變換下的像. A B C D A B B C C D A D,圖圖3-51ABDC2. 把圖把圖3-52中的菱形中的菱形ABCD放大為原圖形的放大為原圖形的1.5倍倍 圖圖3-52答：答：連結連結AC與與BD，則，則AC與與BD相交于相交于O， 在射線在射線OA，OB，OC，OD上取上取OA=1.5OA， OB=1.5OB，OC=1.5OC，OD=1.5OD. 連結連結 ，則菱形，則菱形 為為 菱形菱形ABCD在這個位似變換下的像在這個位似變換下的像. A B C D A B B C C D A D,小結與復習小結與復習 本章的中心內容是研究圖形的放大與縮小，即圖本章的

11、中心內容是研究圖形的放大與縮小，即圖形的相似形的相似.它的基礎概念是它的基礎概念是線段的比線段的比. 我們著重研究了相似三角形的判定方法和性質；我們著重研究了相似三角形的判定方法和性質；相似多邊形的判定方法和性質相似多邊形的判定方法和性質. 我們還研究了用位似變換把圖形放大或縮小的方我們還研究了用位似變換把圖形放大或縮小的方法法.圖形的相似在許多實際問題中有重要應用圖形的相似在許多實際問題中有重要應用. 一、基本概念一、基本概念1.相似的圖形相似的圖形 直觀上，把一個圖形放大（或縮?。┑玫降膱D直觀上，把一個圖形放大（或縮?。┑玫降膱D形是與原圖形相似的形是與原圖形相似的2.相似三角形相似三角形

12、三個角對應相等，且三條邊對應成比例的兩個三個角對應相等，且三條邊對應成比例的兩個三角形叫作三角形叫作相似三角形相似三角形.相似三角形的對應邊的比叫相似三角形的對應邊的比叫作作相似比相似比3.相似多邊形相似多邊形 對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫作作相似多邊形相似多邊形. 相似多邊形的對應邊的比叫作相似多邊形的對應邊的比叫作相似比相似比.4.線段的比，成比例線段，黃金分割線段的比，成比例線段，黃金分割 在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫作外兩條線段的比，那么這四條線段叫作成比

13、例線段成比例線段. 如果選用同一長度單位量得兩條線段如果選用同一長度單位量得兩條線段PQ， 的的長度分別為長度分別為m，n，那么把它們的長度的比，那么把它們的長度的比 叫作這叫作這兩條線段的比，記作兩條線段的比，記作 ，或，或 P Qmn P Qn = PQm : : P Q PQ = n m .PQPQ 將一條線段將一條線段AB分成不相等的兩部分，使較短線分成不相等的兩部分，使較短線段段CB與較長線段與較長線段AC的比等于的比等于AC與原線段與原線段AB的比，的比，那么稱線段那么稱線段AB被點被點C黃金分割黃金分割，點，點C叫作線段叫作線段AB的的黃金分割點黃金分割點，較長線段，較長線段AC

14、與原線段與原線段AB的比叫作的比叫作黃黃金分割比金分割比.5 10.618.2 AC= AB- -ACCB5.位似變換，位似的圖形位似變換，位似的圖形 取定一點取定一點O，把圖形上每一個點，把圖形上每一個點P對應到射線對應到射線OP( (或它的反向延長線或它的反向延長線) )上一點上一點P，使得線段，使得線段OP與與OP 的比等于常數(shù)的比等于常數(shù)k( (k0) )，點，點O對應到它自身，這對應到它自身，這種變換叫作種變換叫作位似變換位似變換，點，點O叫作叫作位似中心位似中心，常數(shù)，常數(shù)k叫作叫作位似比位似比，一個圖形經(jīng)過位似變換得到的圖形叫，一個圖形經(jīng)過位似變換得到的圖形叫作作與原圖形與原圖形

15、位似的圖形位似的圖形.二二、成比例線段的基本性質成比例線段的基本性質 如果四條線段如果四條線段a，b，c，d是成比例線段，是成比例線段，即即acbd , ,那么那么ad = bc . 三三、相似三角形的性質、相似三角形的性質 性質性質1 相似三角形的對應邊成比例相似三角形的對應邊成比例性質性質2 相似三角形的對應角相等相似三角形的對應角相等性質性質3 相似三角形周長的比等于相似比，相似三角形周長的比等于相似比， 相似三角形面積的比等于相似比的平方相似三角形面積的比等于相似比的平方.四四、相似三角形的判定、相似三角形的判定 判定定理判定定理1 三邊對應成比例的兩個三角形相似三邊對應成比例的兩個三

16、角形相似判定定理判定定理2 兩角對應相等的兩個三角形相似兩角對應相等的兩個三角形相似判定定理判定定理3 兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角 形相似形相似五五、相似多邊形的性質、相似多邊形的性質 性質性質1 相似多邊形的對應邊成比例相似多邊形的對應邊成比例性質性質2 相似多邊形的對應角相等相似多邊形的對應角相等性質性質3 相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形周長的比等于相似比， 相似多邊形面積的比等于相似比的平方相似多邊形面積的比等于相似比的平方.六六、相似多邊形的判定、相似多邊形的判定 對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形相似對應角相等，對應邊成比例的兩個

17、多邊形相似七七、利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小利用位似變換可以把一個圖形放大或縮小中考中考 試題試題例例1 如圖，圖中的小方格都是邊長為如圖，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，的正方形，ABC與與 是關于點是關于點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上頂點上.（1）畫出位似中心點）畫出位似中心點O；（2）求出）求出ABC與與 的位似比；的位似比；（3）以點）以點O為位似中心，再畫一個為位似中心，再畫一個A1B1C1，使它與，使它與ABC的的 位似比等于位似比等于1.5. A B C A B C（1）、（）、（3）的解答如圖）的

18、解答如圖2所示所示. .（2）因為）因為ABC與與 是位似圖形，所以其位似比是位似圖形，所以其位似比 實際上就是這兩個三角形的相似比實際上就是這兩個三角形的相似比. .又由勾股定理又由勾股定理 可得：可得：AC= ， ，所以，所以 ABC與與 的位似比的位似比= = 1 ：2.解解 A B C2224 =2 5+ + 22= 48 =4 5A C+ + A B C 2 5 : 4 5如圖如圖2如圖如圖1中考中考 試題試題例例2 檢查視力時，規(guī)定人與視力表之間的距離為檢查視力時，規(guī)定人與視力表之間的距離為5 m.現(xiàn)因房現(xiàn)因房間兩面墻的距離為間兩面墻的距離為3m，因此使用平面鏡來解決房間小的問題，因此使用平面鏡來解決房間小的問題.若使墻面鏡子能呈現(xiàn)完整的視力表，如圖所示，由平面鏡成若使墻面鏡子能呈現(xiàn)完整的視力表，如圖所示，由平面鏡成像原理，作出光路圖，其中視力表像原理，作出光路圖，其中視力表