物理競賽微積分初步(求導(dǎo)積分)PPT精選文檔

1、微積分初步微積分初步函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分函數(shù)的不定積分與定積分函數(shù)的不定積分與定積分1 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與微分函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與微分一、變量、常量與函數(shù)一、變量、常量與函數(shù)變量：變量：在某一過程中取值會在某一過程中取值會不斷變化不斷變化的量。的量。常量：常量：在某一過程中取值在某一過程中取值始終不變始終不變的量。的量。函數(shù)：函數(shù)：變量變量 y 按某種確定的關(guān)系隨變量按某種確定的關(guān)系隨變量 x 的變化而的變化而變化，則稱變化，則稱 y 是是 x 的函數(shù)的函數(shù)，x 叫自變量，叫自變量，y 叫因變量，叫因變量，寫作：寫作： y=f (x) 例：例：y=3x2+2x, y=5sinx, y=ax, y

2、=e2x復(fù)合函數(shù)：復(fù)合函數(shù)：若若 y 是是 z 的函數(shù)的函數(shù) y=f (z)，而，而 z 又是又是 x 的的函數(shù)函數(shù) z=g(x)，則稱，則稱 y 是是 x 的復(fù)合函數(shù)，記作：的復(fù)合函數(shù)，記作： y= (x)=fg(x)例：例：y=sin(ax2+bx+c), y=esin(2x+3)二、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)xyxyy=f(x)xx+ x 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f (x) 在在 x 處有一增量處有一增量x，相應(yīng)地函數(shù)有增量相應(yīng)地函數(shù)有增量 y ，則比值，則比值xxfxxfxy)()(叫函數(shù)叫函數(shù) y=f (x) 在在 x 到到x+ x 之間的之間的平均變化率平均變化率。dxdyxyxfyx0l

3、im)( 函數(shù)函數(shù) y=f (x) 在在 x 處的導(dǎo)數(shù)定義為：處的導(dǎo)數(shù)定義為：例：求函數(shù)例：求函數(shù) y = x2 在在 x= 1 和和 x = 3 時(shí)的導(dǎo)數(shù)值。時(shí)的導(dǎo)數(shù)值。解：解：由由有有xxxxxxxxfxxfxy222)()()(xxyyx20lim所以當(dāng)所以當(dāng) x = 1 時(shí)，時(shí)，y = 2，當(dāng)，當(dāng) x = 3 時(shí)，時(shí)，y = 6xyxyy=f(x)xx+ xPQ導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：從圖中知道，從圖中知道， y/ x 是是過過P、Q 兩點(diǎn)的割線的斜率，而當(dāng)兩點(diǎn)的割線的斜率，而當(dāng)x 0 時(shí)，割線成為過時(shí)，割線成為過P 點(diǎn)的切線，因點(diǎn)的切線，因而導(dǎo)數(shù)而導(dǎo)數(shù) y=f (x) 表示曲

4、線在表示曲線在 x 處處切線切線的斜率的斜率。函數(shù)函數(shù) y=f (x) 在某處的導(dǎo)數(shù)值，就表示了該處在某處的導(dǎo)數(shù)值，就表示了該處切線的斜率，也就是在該點(diǎn)處函數(shù)切線的斜率，也就是在該點(diǎn)處函數(shù) y=f (x) 隨隨 x 的的變化率。變化率?；竞瘮?shù)導(dǎo)數(shù)公式基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式1212121211221)1 ()()1 ()() 11( ,)1()(arccos) 11( ,)1()(arcsin)(ln)()(ln)ln()(logcsc)(sec)(sin)(coscos)(sin)()( , 0)(xarcctgxxarctgxxxxxxxeeaaaxxaxxxctgxxtgxxxxxnxxccx

5、xxxann為常數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則：導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算法則：（設(shè)（設(shè) u = u(x), v = v(x) ）dxdududydxdyxguufyxxfxfyyxvvvuvuvucuccuvuvuuvvuvu 則則若若的的反反函函數(shù)數(shù)，則則為為若若為為常常量量),(),()()()()()( ,)( ,)(;)()(102例例1：求：求 y = x3 ln x 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解)ln(ln1313232xxxxxxy例例2求求 y = sin x / x 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)解解22xxxxxxxxysincossincos二階導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)前述函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是前述函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是 y 對對

6、x 的一階導(dǎo)數(shù)，若將一的一階導(dǎo)數(shù)，若將一階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) y 再次對再次對 x 求導(dǎo)，則為二階導(dǎo)數(shù)：求導(dǎo)，則為二階導(dǎo)數(shù)：22dxyddxdydxdxfy )(同理，將二階導(dǎo)再對同理，將二階導(dǎo)再對x 求導(dǎo)則為三階導(dǎo)，三階求導(dǎo)則為三階導(dǎo)，三階導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)則為四階導(dǎo)等。導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)則為四階導(dǎo)等。例求例求 y = x3+3x2 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)66632 xyxxy三、函數(shù)的極值三、函數(shù)的極值x1x2x3xy若函數(shù)若函數(shù) y =f (x) 在某一點(diǎn)在某一點(diǎn) x1 的函數(shù)值的函數(shù)值 f (x1) 比鄰近各點(diǎn)的函比鄰近各點(diǎn)的函數(shù)值都大或都小，則稱數(shù)值都大或都小，則稱x1 為一為一個(gè)極值點(diǎn)，個(gè)極值點(diǎn)， f (x1)

7、 為函數(shù)的一個(gè)為函數(shù)的一個(gè)極值。圖中極值。圖中x1 和和x3為極大值點(diǎn)，為極大值點(diǎn)， x2為極小值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)， f (x1) 和和f (x3) 為為極大值，極大值， f (x2) 為極小值。為極小值。極值點(diǎn)處的切線一定是水平的，因而極值點(diǎn)的極值點(diǎn)處的切線一定是水平的，因而極值點(diǎn)的判定條件是：判定條件是：f (x) = 0極大值點(diǎn)的條件是：極大值點(diǎn)的條件是： f (x) = 0，f (x) 0極小值點(diǎn)的條件是：極小值點(diǎn)的條件是： f (x) = 0，f (x) 0例求函數(shù)例求函數(shù) y = 4x3- 3x2+5 的極值點(diǎn)和極值的極值點(diǎn)和極值解：因解：因 y =12x2-6x 令令 y=0 得得

8、 x1=0, x2=1/2 此為其兩個(gè)極值點(diǎn)。此為其兩個(gè)極值點(diǎn)。 又又y=24x - 6， 有有 y(x1)= - 6 0， y(x2)= 60因而因而 x1=0 是極大值點(diǎn)，對應(yīng)的極大值為是極大值點(diǎn)，對應(yīng)的極大值為 y1=5 x2=1/2 是極小值點(diǎn)，對應(yīng)的極小值為是極小值點(diǎn)，對應(yīng)的極小值為 y2=19/4四、函數(shù)的微分四、函數(shù)的微分例求函數(shù)例求函數(shù) y = 5x + sin x 的微分的微分dxxdxxxdxxfdy)cos()sin()(55函數(shù)函數(shù) y 對自變量對自變量 x 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)dxdyxf)(可將可將 dx 看成是自變量看成是自變量x 的一個(gè)趨于零的微小增量，的一個(gè)趨于零的微

9、小增量，稱為稱為自變量的微分自變量的微分；而相應(yīng)的將；而相應(yīng)的將 dy 看成是函數(shù)看成是函數(shù) y 的微小增量，稱為的微小增量，稱為函數(shù)的微分。函數(shù)的微分。有：有：dxxfdy)( 2 2不定積分不定積分一、原函數(shù)一、原函數(shù)前一節(jié)學(xué)了求函數(shù)前一節(jié)學(xué)了求函數(shù) y = f (x) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) f (x)，現(xiàn)若現(xiàn)若已知已知一函數(shù)一函數(shù) F(x) 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為 f (x) ，要求，要求原函數(shù)原函數(shù)F(x) 例因例因 (x3) = 3x2 ，所以所以 x3 為為3x2 的原函數(shù)的原函數(shù)（sin x) = cos x ， sin x 是是cos x 的原的原函數(shù)函數(shù) F (x) =F(x) +c ，c

10、 為任意常數(shù)，為任意常數(shù)，函數(shù)函數(shù) f (x) 的原函數(shù)有任意多個(gè)：的原函數(shù)有任意多個(gè)： F(x) +c 二、不定積分二、不定積分定義：定義：函數(shù)函數(shù) f (x) 的所有原函數(shù)的所有原函數(shù)F(x) +c 叫叫 f (x) 的的不定積分不定積分，記為：，記為：cxFdxxf)()(不定積分的性質(zhì)：不定積分的性質(zhì)：cxFdxxFxfdxxf)()()()(這說明不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。這說明不定積分是求導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算。不定積分公式：不定積分公式：caxarctgadxxacaxdxxacctgxxdxctgxxdxcxxdxcxxdxcedxecaadxacxdxxcnxdxxcaxadxcdxx

11、xxxnn11arcsin1cscsecsincoscossinlnln1102222221不定積分運(yùn)算法則：不定積分運(yùn)算法則： dxxgdxxfdxxgxfkdxxfkdxxkf)()()()(.,)()(.21為為常常數(shù)數(shù)3. 若能找到函數(shù)若能找到函數(shù) u= u(x) ，使，使 duugdxxf)()(且積分且積分 cuFduug)()(較易求出，則：較易求出，則： cxuFduugdxxf)()()(例例1求求 xdx1解：令解：令 u = 1+x , 微分得：微分得：du =dx ，有：，有： cxcuuduxdx11lnln例例2求求 dxbax)sin(解：令解：令 u = ax+

12、b , 微分得：微分得：du =adx ，有：，有：cbaxacuauduadxbax )cos(cossin)sin(111例例3求求 dxxx12解：令解：令 u = x2+1 , 微分得：微分得：du =2xdx ，有：，有：cxcuduudxxx 232232121312321211/)(例例4求求 dxeexx)cos(33解：令解：令 u = e3x, 微分得：微分得：du =3 e3x dx ，有：，有：cecuududxeexxx )sin(sincos)cos(3333131313 3 定積分定積分 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y=f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)，將區(qū)間上連

13、續(xù)，將區(qū)間 a, b 作作 n 等分，各小區(qū)間的寬度為等分，各小區(qū)間的寬度為x ，又在各小區(qū)間內(nèi)選取一點(diǎn)又在各小區(qū)間內(nèi)選取一點(diǎn)xi 得出函數(shù)在這些得出函數(shù)在這些點(diǎn)處的值點(diǎn)處的值 f (xi) (i= 1,2,3,n)ab xyxiy=f (x)f (xi)x定義：定義： baniixndxxfxxf)()(lim10為函數(shù)為函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上的上的定積分定積分。 f (x) 為被積為被積函數(shù)，函數(shù)，a ,b 分別為積分下限和上限。分別為積分下限和上限。定積分的幾何意義：定積分的幾何意義：ab xyy=f (x)f (xi)x由圖可知由圖可知 f (xi) x 為圖中一

14、個(gè)小區(qū)為圖中一個(gè)小區(qū)間的面積，因而定積分：間的面積，因而定積分： badxxf)(表示了區(qū)間表示了區(qū)間 a, b 上，上，曲線曲線 y =f (x) 下方的面積。下方的面積。注意：注意：定積分的值有正也有負(fù)，因而這并非通常意定積分的值有正也有負(fù)，因而這并非通常意義下的面積。義下的面積。定積分的主要性質(zhì)：定積分的主要性質(zhì)： bccabababababababaabdxxfdxxfdxxfdxxgdxxfdxxgxfdxxfkdxxkfdxxfdxxf)()()(.)()()()(.)()(.)()(.4321定積分的計(jì)算（牛頓萊布尼茨公式）定積分的計(jì)算（牛頓萊布尼茨公式）若不定積分若不定積分 cxFdxxf)()(則定積分則定積分)()()()(aFbFxFdxxfbaba 由此可知：求函數(shù)的定積分，通常是先求出其由此可知：求函數(shù)的定積分，通常是先求出其不定積分（原函數(shù)不定積分（原函數(shù) F (x) ），再求），再求 F(b) - F(a) 例例1求求 2121xxdx解：令解：令 u = x2+1 , 微分得：微分得：du =2xdx ，有：，有：2521252112111212121121212222ln)ln(ln)ln()ln(ln xxxdxxcuuduxxdx例例2求求 302/sincosxdxx解：令解：令 u = cos x , 微分得：微分得：du