級高數(shù)上期中試題參考答案

1、1120211limxxxx .解：)(81211122xoxxx)(81211122xoxxx .41)(41lim211lim222020 xxoxxxxxx9898級高等數(shù)學(xué)級高等數(shù)學(xué)( (上上) )期中試題期中試題一一、填填空空題題（3 38 8= =2 24 4 分分）4122若0.x, , 0,12sin)(2axxexxfax在) ,(內(nèi)連續(xù)， 則a 。 解：由xexxfaxxx12sinlim)(lim200afaxexxaxx)0(22)12sin(lim20， 得2a。-2-233若xxxefysin)(，其中f可導(dǎo)，則dxdy .解：xxxeefylnsin)()sinl

2、n(cos)(lnsinxxxxeefedxdyxxxx)sinln(cos)(sinxxxxxefexxx)sinln(cos)(sinxxxxxefexxx44.若1)2( f，則xxfxfx)2()22(lim0 .解：xxfxfx)2()22(lim0 xfxfxfxfxx)2()2(lim2)2()22(lim2001)2()2()2(2fff。155.函數(shù))(xyy由方程)ln()(2yxyxxy確定，則dy .解：)(1)()ln()(2dydxyxyxyxdydxdxdy，dxyxdyyx)ln(2)ln(3，dxyxyxdy)ln(3)ln(2。dxyxyx)ln(3)ln(

3、266函數(shù)xxxf11)(的帶拉格朗日余項的三階麥克勞林 公式為 。 解：11211)(xxxxf，2)1 (2)(xxf，3)1 (4)(xxf ，4)1 (12)(xxf ，5)4()1 (48)(xxf，4)4(32! 4)(! 3)0(! 2)0()0()0()(xfxfxfxffxf ) 0 ()1 (222214532之間與在xxxxx ) 0 ()1 (222214532之間與在xxxxx77若)4cos()()(42xxxxfn，則)0()(nf 。解：)4cos() 1()(4xxxxfnn，! n8曲線xxey的單增區(qū)間為 ， 下凸區(qū)間為 。解：xxey的定義域為) ,(，

4、)1 (xeyx，)2( xeyx， 令0 y，得1x；令0 y，得2x。) 1 ,() , 2(!)0()(nfn。8x) 1 ,(1)2 , 1 (2), 2( y+0-y -0+二二、選選擇擇題題（4 44 4= =1 16 6 分分）9當(dāng)1x時，2arccos3x與bxa) 1( 為等價無 窮小，則必有（ ） （A）3a，1b； （B）3a，1b； （C）32a，1b； （D）32a，1b。A9解：141) 1(23lim) 1(2arccos3lim2111xxabxaxbxbx3a，1b。10函數(shù)32) 1()(2xxxxf的不可導(dǎo)點的個數(shù)是（ ） （A）3； （B）2； （C）1

5、； （D）0。解：)(xf的可能不可導(dǎo)點為1x，3x。C10 01)3)(1)(1(lim) 1() 1()(lim) 1(11xxxxxfxffxx， 01)3)(1)(1(lim) 1() 1()(lim) 1(11xxxxxfxffxx， 0) 1( f。3)3)(1)(1(lim3)3()(lim)3(33xxxxxfxffxx10) 1(lim23xx，113)3)(1)(1(lim3)3()(lim)3(33xxxxxfxffxx10) 1(lim23xx， ) 3(f 不存在。11曲線xxy12（ ） （A）沒有漸近線； （B）有一條漸近線；（C）有二條漸近線； （D）有三條漸近

6、線。C12解：xxx1lim2，曲線無水平漸近線； xxx1lim21， 直線1x是曲線的垂直漸近線； 11lim)(lim211xxxxxfaxx， 11lim)1(lim)(lim1211xxxxxaxxfbxxx，直線1 xy是曲線的斜漸近線。1312已知)(xf在0 x的某鄰域內(nèi)連續(xù)，且2)(lim20 xxfx， 則在0 x處（ ） （A）不可導(dǎo)； （B）可導(dǎo)且0)0( f； （C）取得極大值； （D）取得極小值。解：)(xf在0 x連續(xù)，0)0()(lim0fxfx，02)0()(lim)(lim2020 xfxfxxfxx， 當(dāng)), 0(Nx時，)0()(fxf。 故應(yīng)選（D）

7、。D14三三、解解答答題題 （3 30 0 分分）13設(shè)22211ttyttx，求022tdxyd（6 分）解：212ttdxdy，323222)1 ()1 (2ttdxyd，2022tdxyd。1514求極限：)sin(102)2(coslimxxx（6 分）解：)sin(102)2(coslimxxx)sin(12cos12cos102) 12cos1(limxxxxx2)2(21lim)sin(12coslim22020eeexxxxxx。1615設(shè)函數(shù))(xyy由方程1222223xxyyy確定， 試求它的駐點，并判定它是否為極值點，如果是極 值點，是極大點還是極小點？（8 分） 解：

8、02)(2462xyxyyyyy， 即0232xyxyyyyy， 令0 y，得xy，代入原方程，得01223xx， 0) 12)(1(2xxx，得唯一駐點1x，此時1y，17 再對式兩邊求導(dǎo)，得 01)(23)(6222 yxyyyyyyyyy，012)(26()23(22 yyyyxyy， 把1x，1y，011yxy代入式，得02111 yxy，1x是極小值點。18解解題題思思路路：設(shè)xexfx2)(，),(x。當(dāng)且僅 a 屬于函數(shù)xexfx2)(的值域時，方程02axex 有實根。根是否唯一，取決于)(xf是否單調(diào)。首先 確定xexfx2)(在) ,(x內(nèi)的值域。為此需 要求)(xf的極值

9、。16試確定a的范圍，使方程02axex有實根。 （10 分）解：設(shè)xexfx2)(，),(x，2)(xexf，令0)( xf，得唯一駐點2lnx，0)( xexf，2ln22)2(lnf是極小值，也是最小值，又)2(lim)(limxexfxxx，)2(lim)(limxexfxxx，19)(xf的值域是) , 2ln22，當(dāng)2ln22a時，直線ay才能與曲線)(xfy相交，這時方程02axex才能有實根。四四、應(yīng)應(yīng)用用題題（2 21 10 0= =2 20 0 分分）17設(shè)某銀行中的總存款量與銀行付給存戶年利率的平方 成正比。若銀行以0020的年利率把總存款的0090貸出，問 銀行給存戶的

10、年利率定為多少，它才能獲得最大利潤？ 202)(kxxQ（k為常數(shù)） ， )()(2090)(0000 xxQxQxT，即 ) 10( 18. 0)(32xkxkxxT， 解：設(shè)銀行付給存戶的年利率x 為， 總存款量為)(xQ，總利潤為)(xT，則 )12. 0( 3336. 0)(2xkxkxkxxT， kxkxT636. 0)( ， 令0)( xT，得12. 0 x，0 x(應(yīng)舍去)。 2118.一盞m5高的路燈，照在一個距燈m3遠(yuǎn)，從m5 高處自由下落的球上，球的影子沿水平地面移動， 求當(dāng)球離地面m3高時影子移動的速度（空氣阻 力忽略不計） 。 036. 0)12. 0( kT， 12.

11、 0 x是極大值點，也是最大值點。 當(dāng)年利率定為0012時，才能獲得最大利潤。22oyxx) , 3(yBA3)5 , 3()5 , 0(解：以燈柱與地面的交點為原點，燈柱所在的直線為 y軸，建立平面直角坐標(biāo)系。 燈的位置為)5 , 0(A，球的初始位置為)5 , 3(B。設(shè)球下落離地面)(my時，影子距原點的)(mx，則有yxx35，yx515，dtdyydtdx2)5(15，23當(dāng)3y時，由22153gt，2215gty，gtdtdy， 得gt2，gggdtdy22。所求影子移動的速度為 )(215)2() 35(152smggdtdx。24五五、證證明明題題（1 10 0 分分）19設(shè))(xf在 ,ba連續(xù)，在) ,(ba內(nèi)可導(dǎo)，1)()(bfaf，試證：) ,( ,ba，使1)()(ffe。 分析分析：即證)()(ffee。這題是要證明存在兩個中間值