2021福建考研數(shù)學(xué)二真題及答案

1、2021福建考研數(shù)學(xué)二真題及答案一、選擇題：110 小題，每小題 5 分，共 50 分下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的x32t1.當(dāng) x ® 0 ， ò0 (e-1)dt 是 x7 的A. 低階無窮小.B. 等價無窮小.C. 高階無窮小.D. 同階但非等價無窮小.【答案】 C.x2 (et3 -1)dt2 (ex6 -1)6【解析】ò0limx®0x7ìex - 1= limx®07x5= lim 2xx®0 7x5= 0 ,故選 C.í2.函數(shù) f ( x) = ïx,î

2、ï1,x ¹ 0,在 x = 0 處x = 0A.連續(xù)且取極大值B.連續(xù)且取極小值C.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)等于零D.可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零【答案】D【解析】因為lim ex®0導(dǎo)，所以選 D.-1 = 1 =xxf (0) ，故連續(xù)；又因為limx®0ex -1-1x=xex -1- x2 x2= 1 ，故可23 .有一圓柱體底面半徑與高隨時間變化的速率分別為 2cm / s ， -3cm / s ，當(dāng)?shù)酌姘霃綖?0cm，高為 5cm 時，圓柱體的體積與表面積隨時間變化的速率分別為A.125pcm3 / s ,40pcm2 / sB.125pcm3 / s ,- 40p

3、cm2 / sC.-100pcm3 / s ,40pcm2 / sD.-100pcm3 / s ,- 40pcm2 / s【答案】 C.【解析】 dr = 2 ， dh = -3 ；V = r2h ， S = 2rh + 2r2 .dtdtdV = 2rh dr + r2 dh = -100 .dtdtdtdS = 2h dr + 2r dh + 4r dr = 40 .dtdtdtdt4 .設(shè)函數(shù) f (x) = ax - b ln x(a > 0) 有 2 個零點(diǎn)，則 b 的取值范圍aA. (e, +¥)【答案】A.B. (0, e)C.1(0, )eD. ( , +

4、65;)1e【解析】 f ( x ) = ax - blnx, 若b < 0 ，不滿足條件，舍去；若b > 0 ，令 f ¢( x) = a - b =0 ，x得 x = b .在æ 0 b ö¢( ) <æ b¥ö , f ¢ (x ) > 0.ç ， ÷ , fx0,ç，+ ÷aèa øè aølim f ( x) = +¥, lim f ( x) = +¥ ，x®0+x

5、4;+¥令 f æ b ö =b - bln b = b æ1- ln b ö < 0,得ln b > 1 ，即 b > e .故選 A.ç a ÷aça ÷aaèøèø5 .設(shè)函數(shù) f (x) = sec xA. a = 1, b = - 12C. a = 0, b = - 12在 x = 0 處的 2 次泰勒多項式為1+ ax + bx2 ，則B. a = 1, b = 12D. a = 0, b = 12【答案】 D.【解析】 f ( x)

6、= sec x = f (0) + f ¢(0) x +f ¢(0) x2 + o (x2 ) = 1+ 1 x2 + o (x2 ) .22所以可得 a = 0 ， b = 1 .26.設(shè)函數(shù) f (x, y) 可微，且 f (x +1, ex ) = x(x +1) 2, f (x, x 2 ) = 2x 2 ln x, 則df (1,1) =A. dx + dyB. dx - dyC. dyD. -dy【答案】選 C【解析】由于 f ( x +1, e x ) = x( x +1)2 ，兩邊同時對 x 求導(dǎo)得f1¢( x +1, e x ) + f2

7、2;( x +1, e x )e x = ( x +1)2 + 2 x( x +1) .令 x = 0 得 f ¢(1,1) + f ¢(1,1) = 1+ 0 , f ¢(x, x2 ) + f ¢(x, x2 )2x = 4x ln x + 2x2 × 1 ;1212x令 x = 1 得 f1¢(1,1) + 2 f2¢(1,1) = 2 .因此 f1¢(1,1) = 0 ； f 2¢(1,1) = 1 .所以df (1,1) = dy ，故選 C.17. 設(shè)函數(shù) f (x) 在區(qū)間0,1 上連續(xù)，則

8、ò0 f (x)dx =næ 2k -1 ö 1næ 2k -1 ö 1A. lim å f ç÷B. lim å f ç÷n®¥ k =1è 2nø 2nn®¥ k =1è 2n ø n2næ k -1ö 12næ k ö 2C. lim å f ç÷D. lim å f ç÷n®¥ k

9、 =1【答案】選 Bè 2n ø nn®¥ k =1è 2n ø nç【解析】將0,1的區(qū)間 n 等分，每一份取區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值 f æ k - 1 ö ，故選 B.÷è n2n ø8. 二次型 f ( x , x , x ) = ( x + x ) 2 + ( x + x ) 2 - ( x - x ) 2 的正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)依123122331次為A. 2，0B.1，1C. 2，1D.1，2【答案】選 B【解析】f ( x , x , x ) = (x + x )2

10、 + (x + x )2 - (x - x )2123122331= x2 + 2x x + x2 + x2 + 2x x + x2 - x2 + 2x x - x211 2222 3331 31= 2x2 + 2x x + 2x x + 2x x .21 22 31 3æ 0 11 öç÷二次型對應(yīng)矩陣為ç12 1 ÷ ,èøç110 ÷l-1-1l+10-l-1| lE - A |= -1-1l- 2-1-1 = -1l-1l- 2-1-1l100= (l+1) -1-1l- 2-1-2l-

11、1則 p = 1q = 1 .= (l+1)(l- 2)(l-1) - 2= l(l+1)(l- 3)9.設(shè) 3 階矩陣 A= (1, 2 , 3 ), B = ( 1, 2 , 3 ), 若向量組 1 , 2 , 3 可以由向量組 1 , 2 , 3線性表出，則（）A. Ax=0 的解均為 Bx=0 的解.B. AT x=0 的解均為 BT x=0 的解.C. Bx=0 的解均為 Ax=0 的解.D. BT x=0 的解均為 AT x=0 的解.【答案】D【解析】由題意，可知 A = BC ， BT x=0 的解均為C T BT x =0 的解，即 AT x=0 的解，D選項正確.æ

12、; 10-1ö10 .已知矩陣 A = ç 2-11 ÷ ，若下三角可逆矩陣 P 和上三角可逆矩陣Q ，使得 PAQ 為ç÷èøç -125 ÷對角矩陣，則 P、Q 分別?。ǎ?æ 100 ö æ 101öæ 100 ö æ 100 öA.ç 010 ÷, ç 013÷B. ç 2-10 ÷, ç 010 ÷ç÷ ç&

13、#247;ç÷ ç÷èø èøèø èøç 001 ÷ ç 001÷ç -321 ÷ ç 001 ÷æ 100 ö æ 101öæ 100 ö æ 12-3öC.ç 2-10 ÷, ç 013÷D.ç 010 ÷, ç 0-12 ÷

14、1;÷ ç÷ç÷ ç÷èø èøèø èøç -321 ÷ ç 001÷ç 131 ÷ ç 001 ÷【答案】Cæ 100 öæ 10-1öæ 101öæ 100 ö【解析】通過代入驗證ç 2-10 ÷ç 2-11 ÷ç 013÷

15、= ç 010 ÷.ç÷ç÷ç÷ç÷ç -321 ÷ç -125 ÷ ç001 ÷ç 00 10÷èøèøèøèø選 C二、填空題（11-16 小題，每小題 5 分，共 30 分）ò11. +¥ x 3- x2 dx = .-¥【答案】1ln3【解析】原式= 2+¥ x3- x2 dx =ò

16、;0+¥ 3- x2 dx 2 = -ò0ìïx = 2et + t +1,1ln 3- x2 +¥301=ln 312. 設(shè)函數(shù) y = y ( x ) 由參數(shù)方程í確定，則ïî y = 4 (t -1)et + t 2.d2 ydx2t =02【答案】.3【解析】dyy¢(t )4et + 4 (t -1)et + 2tdx = x¢(t ) =2e t +1d2 ydx2t =0= d (2t ) × dt= 1= 2t ,= 2t =0dtdxt =022e t +1313 .

17、設(shè)函數(shù) z = z(x, y) 由方程(x +1)z + y ln z - arctan(2xy) = 1 確定，則=.¶z¶x(0,2)【答案】1【解析】將 x = 0, y = 2 代入得 z = 1 ，又對(x +1)z + y ln z - arctan (2xy ) = 1 兩邊同時求 x 的導(dǎo)數(shù)得z + (x +1) ¶z + y 1 ¶z -¶xz ¶x2 y= 01+ (2xy)2將 x = 0, y = 2, z = 1 代入上式得 ¶z = 1 .t¶xt214. 已知函數(shù) f (t) = &#

18、242;1dxò x sinxdy ，則 fæpö¢=ç÷.【答案】 cos 2 .2t2tyxty2è 2 øxt æ y2xö【解析】 f (t ) = ò1dxò x sin ydy = ò1 dy ò1sin ydx = ò1 çò1 sin ydx ÷dy, 則èøf ¢(t ) =2tò1 sinxdx ，所以tf ¢æ ö =

19、1; 2 ÷èøæ ö2òè ø sinç 2 ÷1x dx = -2 cos 2æ ö2ç ÷2x2è ø =12cos.2 15. 微分方程 y ¢ - y = 0 的通解 y =.33- 1 x æö【答案】C ex + e 2 çC sinx + C cosx ÷ ，其中C ,C ,C 為任意常數(shù).31è 222ø123【解析】設(shè)其特征方程為 r3 -1 =

20、0 ，則 r= 1; r= - 1 +3 i; r= - 1 -3 i. 故其通解為1233- 1 x æö223221C ex + e 2çC2èsin2 x + C3cosx .÷2øxx12x1x2-121x12-11x16. 多項式 f (x) =【答案】 -5中 x3 項的系數(shù)為.【解析】 x3 項為(-1)1+2+2 4 x3 + (-1)1 x3 = -5x3 ，因此 x3 項系數(shù)為-5ò三、解答題：1722 小題，共 70 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17 .（本題滿分 10 分）1+求極限l

21、im(x et2 dt0- 1 ) .x®0【解析】ex -1sin xæ 1+ x et 2 dtösin x +x t 2- ex +1limçò0- 1 ÷ = limsin xò0 e dtx®0 çex -1sin x ÷x®0(ex -1)sin xèøsin x +x t2- e x +1xx t2= limsin xò0 e dt= lim sin x - e +1+ lim sin xò0 e dtx®0x2x

22、4;0x2x®0x2x - 1 x3 +o (x3 )-1- x - 1 x2 +o (x2 )x et2 dt2.= lim 62+ lim ò0= - 1+1 = 1x®0xx®0x2218 .（本題滿分 12 分）x x已知 f (x) =1+ x，求 f (x) 的凹凸區(qū)間及漸近線.ì -x2ï1+ x,f (x) = íx £ 0, x ¹ -1ï x2ïî1+ x ,x2x > 0-0f '(0)= lim 1+ x= 0+x®0x2- x

23、- 0f '(0)= lim 1+ x= 0-x®0x所以ïì-1+í0,f '(x) = ïïï1-1,(1+ x)21,x < 0, x ¹ -1x = 0x > 0îï(1+ x)21-f ''(0)= lim1- 0=(1+ x)22+x®0x-1+1- 0f ''(0)= lim(1+ x)2= -2-x®0x所以-ì2ï (1+ x)3x < 0, x ¹ -1

24、7;f ''(x) = ï2ï ïî(1+ x)3x < -1時， f '' > 0x > 0-1 < x < 0 時， f '' < 0x > 0 時， f '' > 0因此，凹區(qū)間(-¥, -1), (0, +¥) ，凸區(qū)間(-1, 0)x®-¥x2-x2limx®+¥ 1+ x = +¥, lim 1+ x = +¥ ，因此沒有水平漸近線；x = -1, x

25、+1 = 0 ，且 lim-x2= -¥, lim-x2= +¥ ，因此存在鉛直漸近線 x = -1 ；limx21+ x= 1, limx®-1+ 1+ xx1x2 -= -x®-1- 1+ x，因此存在斜漸近線 y = x -1；x®+¥xx®+¥ 1+ x= -+=- x2數(shù)學(xué)（二）試題及解析第 12頁（共 12頁）lim 1+ xx21, limx 1，因此存在斜漸近線 y = -x + 1；x®-¥xx®+¥1+ x19 .（本題滿分 12 分）f (x) 滿足&#

26、242;f (x)dx = 1 x2 - x + C ，L 為曲線 y = f (x)(4 £ x £ 9) ，L 的弧長為 S ，L 繞 xx6軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面面積為 A ，求 S和A .f (x)1x解：=x -13f (x) =311x 2 - x 2311 29 1 æ 11 - ös = ò+ çx 2 -x 2 ÷ dx4è 22ø1 91- 1= 2 ò4 (x + x22 )dx= 2239 1 æ 131 öæ 1-1 öA=2p&

27、#242;çx 2 - x 2 ÷ç x 2 + x2 ÷ dx4 2 è 3= 425p 9øèø20 . （本題滿分 12 分）y = y(x) 微分方程 xy¢ - 6 y = -6 ，滿足 y( 3) = 10（1） 求 y(x)（2）P 為曲線 y = y(x) 上的一點(diǎn)，曲線 y = y(x) 在點(diǎn) P 的法線在 y 軸上截距為I p ，為使I p最小，求 P 的坐標(biāo)。解：（1） y¢ - 6 y = - 6 ，xx= ò 6 dx æ6-ò 6 dx&

28、#246;ye xç ò-× e x+ C ÷èxø= x6 æ - 6 × x-6dx + C öç òx÷èø= 1+ Cx6 .根據(jù)由初始條件得C= 1 .所以 y = 1+ 1 x6 .æ x ,1+1x6 ö 的法線為 y - æ1+1x6 ö = -1ç 0è30 ÷øçè30 ÷ø2 x5033（2） 設(shè)在在 y 軸上的截距

29、為 I = 1 + 1 x6 +1 = h ( x ) ，(x - x0 ) ，0P2x43 00h¢( x ) = - 2x-5 + 2x5 = 0 ，得 x = ±1，得 P 點(diǎn)坐標(biāo)為æ1, 4 ö ， æ -1, 4 ö .0000ç3 ÷ç3 ÷èøèø21 .（本題滿分 12 分）曲線(x2 + y2 )2 = x2 - y2 (x ³ 0, y ³ 0) 與 x 軸圍成的區(qū)域 D，求òò xydxdy .D【解析】 r 4= r 2 co s 2q,r 2 = co s 2q1f ( x)I =òò xydxdy = ò0 dxò0Dxydy11 21 122=ò0 x × 2 f(x)dx = 4 ò0 f ( x)d ( x )x = r cos