一階微分方程的初等解法ppt課件

1、第二章 一階微分方程的初等解法 2.1 變量分離方程與變量變換變量分離方程與變量變換yxyedxdy122yxdxdy先看例子：xyeye定義1形如) 1 . 2()()(yxfdxdy方程,稱為變量分離方程.,)(),(的連續(xù)函數(shù)分別是這里yxyxf),(yxFdxdy一、變量分離方程的求解一、變量分離方程的求解,10分離變量,)()(dxxfydy這樣變量就“分別開了.( ).(2.2)( )dyf x dxcy的某一原函數(shù))(1y的某一原函數(shù))(xf(2.2)G( )( , )(2.1).yx c由所確定的函數(shù)就為的解) 1 . 2()()(yxfdxdy兩邊積分得02寫成將時當(dāng)) 1

2、. 2(,0)(y例：122yxdxdydxxydy221Cdxxydy22131arctan.3yxC分離變量:兩邊積分:.,)2 . 2(,) 1 . 2(, 0)(,000必須予以補上的通解中它不包含在方程可能的解也是則使若存在yyyy注:例1求微分方程)101 (yydxdy的所有解.解:再積分方程兩邊同除以),101 (yy1)101 (cdxyydy積分得:110lncxyy得再將常數(shù)記為從上式中解出,cy,110 xcey. 0c,100, 0)101 (yyyy和求出方程的所有解為由故方程的所有解為:10,1xycce為任意常數(shù). 0y和110lncxyy解:分離變量后得dxx

3、dyy123兩邊積分得:121ln2cxy整理后得通解為:21)(ln4cxy,)(ln42cx,0,1231無意義在由于函數(shù)其中xxyecc.00之一中有意義或故此解只在xx., 0應(yīng)補上這個解未包含在通解中此外還有解 y例223ydxdyx求微分方程的通解.例3求微分方程yxpdxdy)(.)(,的連續(xù)函數(shù)是其中的通解xxp解:將變量分離后得dxxpydy)(兩邊積分得:1)(lncdxxpy由對數(shù)的定義有1)(cdxxpey即dxxpceey)(1.)(dxxpce,0, 0,0也包括在上式中即知若在上式中充許也是方程的解此外ycy( ),.p x dxycec為任意常數(shù)故方程的通解為1

4、)(cdxxpey例4.1)0(cos2的特解求初值問題yxydxdy解:，xydxdy的通解先求方程cos2得將變量分離時當(dāng),0yxdxydycos2兩邊積分得:,sin1cxy因而通解為:,sin1cxy.為任意常數(shù)其中c.,0得到的且不能在通解中取適當(dāng)也是方程的解此外cy 再求初值問題的通解,1,1)0(cy得代入通解以所以所求的特解為:.sin111sin1xxy分離變量積分(轉(zhuǎn)化為積分的形式)討論解的完整性如分母為零的解）寫出通解變量分離方程的解題步驟變量分離方程的解題步驟分離變量( )得方程的通解為解：積分得0y 而經(jīng)檢驗而經(jīng)檢驗y=0也是原方程的解。也是原方程的解。,)()(dx

5、dxcdybya例5 求解方程 ， 并求滿足初始條件: 當(dāng) 時， 的特解. )()(byaxdxcydxdy0 xx0yy .0, 0yx,lnlnCdxxcbyyaCeyxbydxac)(解題步驟：分別、積分、寫出通解和求特解。解題步驟：分別、積分、寫出通解和求特解。假設(shè) ,則所求初值解為00y. 0y00y假設(shè) , 則所求初值問題的解為00 ()()00() ()1.d x xb y ycaxyexy2.1.2、可化為變量分離方程的類型、可化為變量分離方程的類型 引言：有的微分方程從表面上看，不引言：有的微分方程從表面上看，不是可分離變量的微分方程，但是，通是可分離變量的微分方程，但是，通

6、過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，就可以很容易地過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q，就可以很容易地化為化為“變量分離方程變量分離方程”，在這里，介，在這里，介紹兩類這樣的方程。紹兩類這樣的方程。 二、可化為變量分離方程類型二、可化為變量分離方程類型（I齊次方程齊次方程 111222111222(II),.a xb ycdyfdxa xb yca b c a b c形如的方程其中為任意常數(shù)(I) 形如)5 . 2()(xygdxdy.)(的連續(xù)函數(shù)是這里uug方程稱為齊次方程,求解方法:方程化為引入新變量作變量代換,)(10 xyu ,)(xuugdxdu)(udxduxdxdy這里由于解以上的變量分離方程02.30變量還原例4

7、求解方程)0(2xyxydxdyx解:方程變形為)0(2xxyxydxdy這是齊次方程,代入得令xyu uu 2即udxdux2將變量分離后得xdxudu2udxdux兩邊積分得:cxu)ln(即為任意常數(shù)ccxcxu, 0)ln(,)(ln(2代入原來變量,得原方程的通解為2ln() ,ln()0,0.xxcxcyxdxudu2例6求下面初值問題的解0) 1 (,)(22yxdydxyxy解:方程變形為2)(1xyxydxdy這是齊次方程,代入方程得令xyu 21 udxdux將變量分離后得xdxudu21兩邊積分得:cxuulnln1ln2整理后得cxuu21變量還原得cxxyxy2)(1

8、(1)0,1.yc最后由初始條件可得到故初值問題的解為) 1(212xyxdxudu21(II) 形如,222111cybxacybxadxdy.,222111為常數(shù)這里cbacba的方程可經(jīng)過變量變換化為變量分離方程.分三種情況討論的情形0121 cc)(2211xygxybaxybaybxaybxadxdy2211為齊次方程,由(I)可化為變量分離方程.的情形022121bbaa則方程可改寫成設(shè),2121kbbaa222111cybxacybxadxdy則方程化為令,22ybxaudxdu)(22ybxaf222122)(cybxacybxak)(22ufba dxdyba22這就是變量分

9、離方程不同時為零的情形與且21212103ccbbaa,00222111cybxacybxa則).0 , 0(),(,解以上方程組得交點平面兩條相交的直線代表xy作變量代換(坐標(biāo)變換),yYxX則方程化為YbXaYbXadXdY2211為 (1)的情形,可化為變量分離方程求解.解的步驟:,0012221110cybxacybxa解方程組,yx得解方程化為作變換,20yYxXYbXaYbXadXdY2211)(XYg離方程將以上方程化為變量分再經(jīng)變換,30XYu 求解04變量還原05例7求微分方程31yxyxdxdy的通解.解:解方程組0301yxyx, 2, 1yx得代入方程得令2, 1yYx

10、XYXYXdXdY得令,XYu uudXduX112XYXY11將變量分離后得XdXuduu21)1 (兩邊積分得:cXuuln)1ln(21arctan2變量還原并整理后得原方程的通解為.)2() 1(ln12arctan22cyxxy注:上述解題方法和步驟適用于更一般的方程類型.)()(2211222111XYgYbXaYbXafdXdYcybxacybxafdxdy此外,諸如)(cbyaxfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxyu 2xyu xyu 以及0)(,()(,(ydxxdyyxNydyxdxyxM.,),(變量分離

11、方程均可適當(dāng)變量變換化為些類型的方程等一次數(shù)可以不相同的齊次函數(shù)為其中yxNM例8求微分方程0)()(22dyyxxdxxyy的通解.解:,xyu 令ydxxdydu則代入方程并整理得0)(1 ()1 (udxxduudxuu即0)1 (22duuxdxu分離變量后得xdxduuu212兩邊積分得cxuu2lnln1變量還原得通解為.ln1cyxxy三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例例9、雪球的融化 設(shè)雪球在融化時體積的變化率與表面積成比例，且在融化過程中它始終為球體，該雪球在開始時的半徑為6cm，經(jīng)過2小時后，其半徑縮小為3cm，求雪球的體積隨時間變化的關(guān)系。解:則表面積為雪球的體積為設(shè)在時刻),(),(tstvt)()(tksdttdv根據(jù)球