一,自變量趨于有限值時函數的極限ppt課件

1、 第一章 一、自變量趨于有限值時函數的極限第三節(jié)0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(二、自變量趨于無窮大時函數的極限本節(jié)內容本節(jié)內容 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 函數的極限(17)( ),yf x自變量變化過程的六種形式:對趨于有限值趨于無窮大一、自變量趨于有限值時函數的極限一、自變量趨于有限值時函數的極限1. 0 xx 時函數極限的定義時函數極限的定義引例引例. 測量正方形面積測量正方形面積.面積為A )邊長為(真值:;0 x邊長面積2x直接觀測值間接觀測值任給精度 ,要求 Ax2確定直接觀測值精度 :0 xx0 xAx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢

2、定義定義1 . 設函數設函數)(xf在點0 x的某去心鄰域內有定義 ,0,0當00 xx時, 有 Axf)(則稱常數 A 為函數)(xf當0 xx 時的極限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf當即,0,0當),(0 xx時, 有假設記作 Axf)(Axfxx)(lim0幾何解釋幾何解釋:AAAx0 xy)(xfy 機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 x0 xy)(xfy AAA0 x0 x01x02x12min, 取例例1. 證明證明)(lim0為常數CCCxx證證:Axf)(CC 0故,0對任意的,0當00 xx時 , 0CC因而0limxxCC總有機動 目錄 上頁 下頁 返回

3、完畢 由于重要結論重要結論: 常數的極限就是它本身常數的極限就是它本身.證畢.由函數極限存在函數局部有界(P36定理2) Axf)( ),Af xA可得這表明:例例2. 證明證明1)12(lim1xx證證:Axf)(1) 12(x12x要使,0取,2則當10 x時 , 必有不等式1) 12()(xAxf因而,)( Axf只要,21x1)12(lim1xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 由于成立,證畢.例例3. 證明證明211lim21xxx證證:Axf)(2112xx21 x故,0取,當10 x時 , 2112xx因而211lim21xxx1 x機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 由于成立

4、,必有不等式證畢.注意注意: 本題中在處無定義.這表明函數在一點處有無定義 , 與函數在該點處有無極限無關! 211xf xx1x 例例4. 證明證明: 當當00 x證證:Axf)(0 xx 001xxx要使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因而,)( Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx時00 xxxx故取,min00 xx則當00 xx時,00 xxx保證 .必有ox0 xx機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 由于成立,證畢.2. 保號性定理保號性定理定理定理1 . 假設假設,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0時使當xx. 0)(xf)0)(xf證證

5、: 知知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 x當時, 有.)(AxfA當 A 0 時, 取正數,A則在對應的鄰域上. 0)(xf( 0)(A則存在( A 0 ),(0 x),(0 xx),(0 x(P37定理3)0 x0 xAAAx0 xy)(xfy )0(機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 AxfA)(:0A:0A若取,2A則在對應的鄰域上 假設,0)(lim0Axfxx則存在使當時, 有.2)(Axf推論推論:23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 x, ),(0 x),(0 xx(P37 推論)0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 分析分析:機動 目錄 上頁 下頁 返回

6、完畢 定理定理 2 . 若在若在0 x的某去心鄰域內0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx那么. 0A)0(A證證: 用反證法用反證法.則由定理 1,0 x的某去心鄰域 , 使在該鄰域內,0)(xf與已知所以假設不真, .0A(同樣可證0)(xf的情形)考慮: 若定理 2 中的條件改為, 0)(xf是否必有?0A不是不是! 0lim20 xx存在如 假設 A 0 , 條件矛盾,故時,當0)(xf機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 左極限與右極限左極限與右極限左極限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0當),(00 xxx時, 有.)( Axf右極限 :)(0 xf

7、Axfxx)(lim0,0,0當),(00 xxx時, 有.)( Axf定理定理 3 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00( P38 題8 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 設函數設函數0,10,00, 1)(xxxxxxf討論 0 x時)(xf的極限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理利用定理 3 .因為)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1顯然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、自變量趨于無窮大時函數的極限二、自變量趨

8、于無窮大時函數的極限定義定義2 . 設函數設函數xxf當)(大于某一正數時有定義,假設,0X,)(,AxfXx有時當則稱常數時的極限,Axfx)(lim)()(xAxf當或( )f xA XxXx或記作,0 xxf當)(機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 A 為函數注意注意:xX( )f xA即為:即為:也即為:AxfA)(1X2XAAoxy)(xfy A幾何解釋幾何解釋:取12max,XXX機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 oxy)(xfy AAAXX直線 y = A 為曲線)(xfy 的水平漸近線.Axfx)(lim例例6. 證明證明. 01limxx證證:01xx1取,1X,時當Xx

9、01x因而01limxx注注:就有故,0要使,01x即,1xoxyxy1機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 .10的水平漸近線為xyy由于成立,證畢 .直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .兩種特殊情況兩種特殊情況 :Axfx)(lim,0,0X當Xx 時, 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X當Xx時, 有 Axf)(幾何意義幾何意義 :例如，xxxgxf21)(,21)(都有水平漸近線. 1yoxyx21x21機動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理 4 .lim( )xf xA lim( )lim.xxf xf xA內容小結內容小結1. 函數極限的及X定義及應用2. 函數極限的性質:保號性定理與左右極限等價定理思考與練習思考與練習1. 若極限)(lim0 xf