一,自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限ppt課件

1、 第一章 一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限第三節(jié)0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 函數(shù)的極限(17)( ),yf x自變量變化過程的六種形式:對趨于有限值趨于無窮大一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限1. 0 xx 時(shí)函數(shù)極限的定義時(shí)函數(shù)極限的定義引例引例. 測量正方形面積測量正方形面積.面積為A )邊長為(真值:;0 x邊長面積2x直接觀測值間接觀測值任給精度 ,要求 Ax2確定直接觀測值精度 :0 xx0 xAx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢

2、定義定義1 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0,0當(dāng)00 xx時(shí), 有 Axf)(則稱常數(shù) A 為函數(shù))(xf當(dāng)0 xx 時(shí)的極限,Axfxx)(lim0或)()(0 xxAxf當(dāng)即,0,0當(dāng)),(0 xx時(shí), 有假設(shè)記作 Axf)(Axfxx)(lim0幾何解釋幾何解釋:AAAx0 xy)(xfy 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 x0 xy)(xfy AAA0 x0 x01x02x12min, 取例例1. 證明證明)(lim0為常數(shù)CCCxx證證:Axf)(CC 0故,0對任意的,0當(dāng)00 xx時(shí) , 0CC因而0limxxCC總有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

3、完畢 由于重要結(jié)論重要結(jié)論: 常數(shù)的極限就是它本身常數(shù)的極限就是它本身.證畢.由函數(shù)極限存在函數(shù)局部有界(P36定理2) Axf)( ),Af xA可得這表明:例例2. 證明證明1)12(lim1xx證證:Axf)(1) 12(x12x要使,0取,2則當(dāng)10 x時(shí) , 必有不等式1) 12()(xAxf因而,)( Axf只要,21x1)12(lim1xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 由于成立,證畢.例例3. 證明證明211lim21xxx證證:Axf)(2112xx21 x故,0取,當(dāng)10 x時(shí) , 2112xx因而211lim21xxx1 x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 由于成立

4、,必有不等式證畢.注意注意: 本題中在處無定義.這表明函數(shù)在一點(diǎn)處有無定義 , 與函數(shù)在該點(diǎn)處有無極限無關(guān)! 211xf xx1x 例例4. 證明證明: 當(dāng)當(dāng)00 x證證:Axf)(0 xx 001xxx要使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因而,)( Axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx時(shí)00 xxxx故取,min00 xx則當(dāng)00 xx時(shí),00 xxx保證 .必有ox0 xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 由于成立,證畢.2. 保號(hào)性定理保號(hào)性定理定理定理1 . 假設(shè)假設(shè),)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0時(shí)使當(dāng)xx. 0)(xf)0)(xf證證

5、: 知知,)(lim0Axfxx即,0, ),(0 x當(dāng)時(shí), 有.)(AxfA當(dāng) A 0 時(shí), 取正數(shù),A則在對應(yīng)的鄰域上. 0)(xf( 0)(A則存在( A 0 ),(0 x),(0 xx),(0 x(P37定理3)0 x0 xAAAx0 xy)(xfy )0(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 AxfA)(:0A:0A若取,2A則在對應(yīng)的鄰域上 假設(shè),0)(lim0Axfxx則存在使當(dāng)時(shí), 有.2)(Axf推論推論:23)(2AxfA2)(23AxfA),(0 x, ),(0 x),(0 xx(P37 推論)0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 分析分析:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

6、完畢 定理定理 2 . 若在若在0 x的某去心鄰域內(nèi)0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0Axfxx那么. 0A)0(A證證: 用反證法用反證法.則由定理 1,0 x的某去心鄰域 , 使在該鄰域內(nèi),0)(xf與已知所以假設(shè)不真, .0A(同樣可證0)(xf的情形)考慮: 若定理 2 中的條件改為, 0)(xf是否必有?0A不是不是! 0lim20 xx存在如 假設(shè) A 0 , 條件矛盾,故時(shí),當(dāng)0)(xf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 3. 左極限與右極限左極限與右極限左極限 :)(0 xfAxfxx)(lim0,0,0當(dāng)),(00 xxx時(shí), 有.)( Axf右極限 :)(0 xf

7、Axfxx)(lim0,0,0當(dāng)),(00 xxx時(shí), 有.)( Axf定理定理 3 .Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00( P38 題8 )機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論 0 x時(shí))(xf的極限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理利用定理 3 .因?yàn)?(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1顯然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨

8、于無窮大時(shí)函數(shù)的極限定義定義2 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf當(dāng))(大于某一正數(shù)時(shí)有定義,假設(shè),0X,)(,AxfXx有時(shí)當(dāng)則稱常數(shù)時(shí)的極限,Axfx)(lim)()(xAxf當(dāng)或( )f xA XxXx或記作,0 xxf當(dāng))(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 A 為函數(shù)注意注意:xX( )f xA即為:即為:也即為:AxfA)(1X2XAAoxy)(xfy A幾何解釋幾何解釋:取12max,XXX機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 oxy)(xfy AAAXX直線 y = A 為曲線)(xfy 的水平漸近線.Axfx)(lim例例6. 證明證明. 01limxx證證:01xx1取,1X,時(shí)當(dāng)Xx

9、01x因而01limxx注注:就有故,0要使,01x即,1xoxyxy1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 .10的水平漸近線為xyy由于成立,證畢 .直線 y = A 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .兩種特殊情況兩種特殊情況 :Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx 時(shí), 有 Axf)(Axfx)(lim,0,0X當(dāng)Xx時(shí), 有 Axf)(幾何意義幾何意義 :例如，xxxgxf21)(,21)(都有水平漸近線. 1yoxyx21x21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理 4 .lim( )xf xA lim( )lim.xxf xf xA內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極限的及X定義及應(yīng)用2. 函數(shù)極限的性質(zhì):保號(hào)性定理與左右極限等價(jià)定理思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 若極限)(lim0 xf