二項分布數(shù)學期望與方差專題復習有詳解重點中學用

1、第十講二項分布及應(yīng)用隨機變量的均值與方差知識要點1 .事件的相互獨立性(概率的乘法公式)設(shè)AB為兩個事件，如果RAB=RA)RB),則稱事件A與事件B相互獨立.2 .互斥事件概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A+B)=RA)+P(B).3 .對立事件的概率：若事件A與事件B互為對立事件，則RA)=1RB).4 .條件概率的加法公式：若RC是兩個互斥事件，則RBUqA)=P(B|A)+RC|A)5 .獨立重復試驗：在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗，即若用A(i=1,2,，n)表示第i次試驗結(jié)果，則RAAA-A)=P(Ai)RA)P(A)-P(A).注：判斷某事件發(fā)生是

2、否是獨立重復試驗，關(guān)鍵有兩點(1)在同樣的條件下重復，相互獨立進行；(2)試驗結(jié)果要么發(fā)生，要么不發(fā)生.6 .二項分布：在n次獨立重復試驗中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X,在每次試3中事件A發(fā)生的概率為p,那么在n次獨立重復試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X=k)=Ckpk-(1-p)nk(k=0,1,2，n),此時稱隨機變量X服從二項分布，記作XB(n,p),并稱p為成功概率.注：判斷一個隨機變量是否服從二項分布，要看兩點(1)是否為n次獨立重復試驗.(2)隨機變量是否為在這n次獨立重復試驗中某事件發(fā)生的次數(shù).7 .離散型隨機變量的均值與方差及其性質(zhì)定義：若離散型隨機變量X的分布列為RE=X

3、i)=pi,i=1,2,，n.(1)均值：稱E(X)=Xp+X2P2+Xipi+Xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學期望.n(2)方差：D(K=匯(Xi-E(X)2pi為隨機變量X的方差，其算術(shù)平方根.DX為隨機變量X的標準差.i=12(3)均值與萬差的性質(zhì)：(1)E(aX+b)=aRX)+b；(2)D(aX+b)=aD(X).(a,b為常數(shù))8 .兩點分布與二項分布的均值、方差變量X服從兩點分布：E(X)=p,QX)=p(1p);XB(n,p)：E(X)=np,QK=np(1p)典例精析例1.12015高考四川，理17】某市A,B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦3名男生，2名女生，B中學

4、推薦了3名男生，4名女生，兩校推薦的學生一起參加集訓，由于集訓后隊員的水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人，女生中隨機抽取3人組成代表隊(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率.(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X得分布列和數(shù)學期望.1/13例2.如圖，用K、A、A三類不同的元件連接成一個系統(tǒng).當K正常工作且A、A至少有一個正常工作時,系統(tǒng)正常工作.已知K、A、入正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為()A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576例3.(2013山東高考)甲、乙兩支排球隊進行比賽，

5、約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是；外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是3,假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立.(1)分別求甲隊以3：0,3：1,3:2勝利的概率.(2)若比賽結(jié)果為3：0或3：1,則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3:2,則勝利方得2分，對方得1分.求乙隊得分X的分布列及數(shù)學期望.例4.為貫徹“激情工作，快樂生活”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進行，每位選手最多有5次選答題的機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽白比賽，答對3題者直接進入決賽，答錯3題

6、者則被2淘汰，已知選手甲答題的正確率為；.3(1)求選手甲答題次數(shù)不超過4次可進入決賽的概率；(2)設(shè)選手甲在初賽中答題的個數(shù)己，試寫出己的分布列，并求己的數(shù)學期望.2/13例5.(2014福建高考改編)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵，規(guī)定:每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元.求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望.(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場

7、的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡.下面給出兩種方案：方案1:4個球中所標面值分別為10元，10元，50元，50元；方案2:4個球中所標面值分別為20元，20元，40元，40元.發(fā)率也1距月均用水，噸如果你作為商場經(jīng)理，更傾向選擇哪種方案？例6.(13分)如圖所示，是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖.(1)求直方圖中x的值；(2)若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居民(看作有放回的抽樣)，求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列、數(shù)學期望與方差.例7.(12分)某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取16名，以下莖葉圖記錄了

8、他們的幸福度分數(shù)(以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉)：(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；(2)若幸福度不低于9,則稱該人的幸福度為“極幸?！?求從這“極幸?！钡母怕?；(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)到“極幸?！钡娜藬?shù)，求己的分布列及數(shù)學期望.幸福度306666778899765516人中隨機選取3人，至多有1人是(人數(shù)很多)任選3人，記士表示抽例8.12015高考湖南，理18】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎3/13都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的個球中，若

9、都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率；(2)若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望例9.(2016河北張家口市三模21)(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)fx=ex-1-xax2.(1)若!=0,求fx的單調(diào)區(qū)間；(陰若當乂0時，fx0,求a的取值范圍.4/13參考答案例1.12015高考四川，理17】某市A,B兩所中學的學生組隊參加辯論賽，A中學推薦3名男生，2名女生,B中學推薦了3名男生，4名女生，兩校推薦的學生一起參加集訓，由于集訓后隊員的水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3人，女

10、生中隨機抽取3人組成代表隊(1)求A中學至少有1名學生入選代表隊的概率(2)某場比賽前，從代表隊的6名隊員中隨機抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X得分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)A中學至少1名學生入選的概率為p99100X123p15355(2)X的分布列為:X的期望為E(X)2.【解析】(1)由題意，參加集訓的男女生各有6名.參賽學生全從B中抽取(等價于A中沒有學生入選代表隊)的概率為C；C：1C；C；100一，一、，1因此，A中學至少1名學生入選的概率為110099100(2)根據(jù)題意，X的可能取值為1,2,3.P(X1)膽1P(X2)-3P(XI)44,P(X2)4AC65C6

11、5P(X3)C；C；1C：5所以X的分布列為:X123P15355因此，X的期望為E(X)131232.55例2.如圖1081,用K、A1、A2三類不同的元件連接成一個系統(tǒng).當K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時,系統(tǒng)正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為A.0.960B.0.864C.0.720D.0.5765/13【答案】BA1、A2至少有一個正常工作的概率為P1(10.8)20.96,則系統(tǒng)正常工作的概率為PKP0.90.960.864例3.(2013山東高考)甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨一，

12、.一1.一*，一一2,，一，即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是1外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是今假設(shè)各局比23賽結(jié)果相互獨立.(1)分別求甲隊以3：0,3：1,3：2勝利的概率.(2)若比賽結(jié)果為3：0或3：1,則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3：2,則勝利方得2分，對方得1分.求乙隊得分X的分布列及數(shù)學期望.【嘗試解答】(1)記“甲隊以3：0勝利”為事件A1,“甲隊以3：1勝利”為事件A2,“甲隊以3：2勝利”為事件A3,由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，“、238一、-222,228一、-222,2214故P(A1)=3=27，p(A2)=c33213*3=去，p(A3)=c4-21

13、-*/=云.所以甲隊以3：0勝利，以3：1勝利的概率都為捺，以3：2勝利的概率為27.設(shè)“乙隊以3：2勝利”為事件A4,由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，2222214所以p(A4)=c413232x12=云.由題意，隨機變量X的所有可能的取值為0,1,2,3,根據(jù)事件的互斥性得16P44P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=27.又P(X=1)=P(A3)=27,P(X=2)=P(A4)=27,3P(X=3)=1P(X=0)P(X=1)P(X=2)=27，故X的分布列為X0123P1627427427327164437所以ex=0x27+1x27+2x27+3x27=9.例4.

14、為貫徹“激情工作，快樂生活”的理念，某單位在工作之余舉行趣味知識有獎競賽，比賽分初賽和決賽兩部分，為了增加節(jié)目的趣味性，初賽采用選手選一題答一題的方式進行，6/13每位選手最多有5次選答題的機會，選手累計答對3題或答錯3題即終止其初賽的比賽，答對3題者直接進入決賽，答錯3題者則被淘汰，已知選手甲答題的正確率為1.3(1)求選手甲答題次數(shù)不超過4次可進入決賽的概率；(2)設(shè)選手甲在初賽中答題的個數(shù)己，試寫出己的分布列，并求己的數(shù)學期望.28【嘗試解答】(1)選手甲答3道題進入決賽的概率為33=27，2c128選手甲答4道題進入決賽的概率為c33233=27,8816.選手甲答題次數(shù)不超過4次可進

15、入決賽的概率P=27+27=元;一，2Q1Q1(2)依題意，己的可取取值為3、4、5,則有P(3)=33+33=3,3+2_-31-3212211022212333=27，P(5)=C43322一3+2-31212,3327,因此，有345P1108327271108107.E仁3X3+4X27+5X27=3.規(guī)律方法2求離散型隨機變量的均值與方差的方法：(1)先求隨機變量的分布列，然后利用均值與方差的定義求解.(2)若隨機變量XB(n,p),則可直接使用公式E(X)=np,D(X)=np(1p)求解.例5.(2014福建高考改編)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1000位顧客進行獎勵

16、，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出2個球，球上所標的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.若袋中所裝的4個球中有1個所標的面值為50元，其余3個均為10元.求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學期望.商場對獎勵總額的預(yù)算是60000元，為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡.下面給出兩種方案：方案1:4個球中所標面值分別為10元，10元，50元，50元；方案2:4個球中所標面值分別為20元，20元，40元，40元.如果你作為商場經(jīng)理，更傾向選擇哪種方案？7/13【解答】(1)設(shè)顧客所獲的獎勵額為X.c1c311

17、依題意，得P(X=60)=-c=2,即顧客所獲的獎勵額為60兀的概率為2.-，1C211依題意，得X的所有可能取值為20,60.P(X=20)=C2=2，P(X=60)=2，即X的分布列為X2060p112211所以顧客所獲的獎勵額的數(shù)學期望為E(X)=20X2+60X2=40(兀).(2)對于方案1:設(shè)每位顧客獲得的獎勵額為X1元，則隨機變量X1的分布列為X12060100121DP636121.數(shù)學期望E（X1）=20X-+60X-+100X=60,636、20-602221006021600方差d（X1）=6+3x（60-60）+63-根據(jù)預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元，且E(X1)

18、=E(X2)=60,D(X1)D(X2).因此，根據(jù)商場的設(shè)想，應(yīng)選擇方案2.例6.如圖10-9-4所示，是某城市通過抽樣得到的居民某年的月均用水量(單位：噸)的頻率分布直方圖.8/13月均用水量/噸圖1094（1）求直方圖中x的值；（2）若將頻率視為概率，從這個城市隨機抽取3位居民（看作有放回的抽樣），求月均用水量在3至4噸的居民數(shù)X的分布列、數(shù)學期望與方差.【解】（1）依題意及頻率分布直方圖知，0.02+0.1+X+0.37+0.39=1,解得x=0.12.由題意知，XB(3,0.1).因此P(X=0)=C0X0.93=0.729,P(X=1)=C3x0.1X0.92=0.243,P(X=

19、2)=C3x0.12X0.9=0.027,P(X=3)=C3X0.13=0.001.故隨機變量X的分布列為X0123P0.7290.2430.0270.001X的數(shù)學期望為E(X)=3X0.1=0.3.X的方差為D(X)=3X0.1X(10.1)=0.27.例7.某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機抽取16名，以下莖葉圖10-93記錄了他們的幸福度分數(shù)（以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉）：9/13幸福度67788995圖1093(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù);(2)若幸福度不低于9,則稱該人的幸福度為“極幸?！?求從這16人中隨機選取3人，至多有1人

20、是“極幸?！钡母怕?；(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記己表示抽到“極幸?！钡娜藬?shù)，求己的分布列及數(shù)學期望.【解】(1)眾數(shù)：8,6;中位數(shù)：8.75由莖葉圖可知，幸福度為“極幸?！钡娜擞?人.設(shè)A表示所取3人中有i個人是“極幸?！保炼嘤?人是“極幸?！庇洖槭录嗀,“、C?2C4C2212141一行=4,故依題則P(A)=P(A0)+P(A1)=C36+CV=140(3)從16人的樣本數(shù)據(jù)中任意選取1人，抽到“極幸福”的人的概率為1意可知，從該社區(qū)中任選1人，抽到極幸布的人的概率p=4己的可能取值為0,1,2,3p(仁s=43=67；p(41

21、)=3_4=64八212391P(仁2)=C3424=64；P(仁3)=4所以己的分布列為0123P27279164646464_272791E0x64+1x64+2x64+3X64=0.7510/1311另解由題可知己B3,彳，所以Ee3X4=0.75.例8.12015高考湖南，理18】某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額商品后即可抽獎，每次抽獎都從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率；(2)若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客

22、在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.【答案】(1)二；(2)詳見解析.10【解析】試題分析：(1)記事件a從甲箱中摸出的1個球是紅球,a2從乙箱中摸出的1個球是紅球B1顧客抽獎1次獲一等獎,B2顧客抽獎1次獲二等獎,C顧客抽獎1次能獲獎,則可知A與A相互獨立，AA2與A1A2互斥，B1與B2互斥，且B1AA2,B2A再入與，CB1B2,1再利用概率的加法公式即可求解；(2)分析題意可知X:B(3-),分別求得5P(X0)C0(1)0(4)3受，P(X1)C3(1)1(4)2逑，P(X2)C11)2)1衛(wèi),551255512555125P(X3)C；d)3(4)0工，即可知X

23、的概率分布及其期望.55125從乙箱中摸出的1個球是紅球顧客抽獎1次能獲獎,由題意,試題解析：(1)記事件A從甲箱中摸出的1個球是紅球,AB1顧客抽獎1次獲一等獎,B2顧客抽獎1次獲二等獎,CB1B2,A與A相互獨立，AA2與AA2互斥，B1與B2互斥，且BAA2,B2A1A2AA2,C4251211P(Al)而5P(A2)而2P(AA2)心)555P(B2)P(AA2A1A2)RA1A2)P(AA2)P(A1)(1P(A2)(1P(A)P(A2)(2)(1J(1215)21117一,故所求概率為P(C)P(BB2)P(B1)P(Bz)；2521011/13客抽英2次獨立重復試驗,由門)知，麗

24、客抽獎1次獲一等獎的概率為匕X、于是產(chǎn)(，=o)=T占。=黑，a是=1)=原紙務(wù)=露小=4=吠&奮=2，351力!?125512;.14A1P(X=)=Cr(-T(-y=.敵的分布列為n312Ci：P641254812512125J_125文的教學期望為(=3x1=4【考點定位】1.概率的加法公式；2.離散型隨機變量的概率分布與期望.【名師點睛】本題主要考查了離散型隨機變量的概率分布與期望以及概率統(tǒng)計在生活中的實際應(yīng)用，這一直都是高考命題的熱點，試題的背景由傳統(tǒng)的摸球，骰子問題向現(xiàn)實生活中的熱點問題轉(zhuǎn)化，并且與統(tǒng)計的聯(lián)系越來越密切，與統(tǒng)計中的抽樣，頻率分布直方圖等基礎(chǔ)知識綜合的試題逐漸增多，在

25、復習時應(yīng)予以關(guān)注.例9.12015高考四川，理21】已知函數(shù)f(x)2(xa)lnxx22ax2a2a,其中a0.(1)設(shè)g(x)是f(x)的導函數(shù)，評論g(x)的單調(diào)性；(2)證明：存在a(0,1),使得f(x)0在區(qū)間(1,+)內(nèi)恒成立，且f(x)0在(1,+)內(nèi)有唯一解【答案】(1)當0a1時，g(x)在區(qū)間(0,1，14a),(114a,)上單調(diào)遞增，在區(qū)間422(114a,114a)上單調(diào)遞減；當a1時，g(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增.(2)詳見解析.224【解析】(1)由已知，函數(shù)f(x)的定義域為(0,),121a22a2(x/22(a,)g(x)f(x)2x2a2lnx2(1),所以g(x)22號2-.xxxx，.一1114a114a當0a一時，g(x)在區(qū)間(0,),(,)上單調(diào)遞增，422114a114a在區(qū)間(114a,17；4a)上單調(diào)遞減;-1當a時，g(x)在區(qū)間(0,)上單調(diào)遞增.由f(x)2x2a2lnx2(1-)0,解得aIn