二次不等式恒成立問題

1、基礎(chǔ)梳理1. 一元二次不等式的解法(1)將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0).(2)求出相應(yīng)的一元二次方程的根.(3)利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集.2. 一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系如下表：判別式A=b24acA>0A=0A<0二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象LN/l1>I一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩相異實(shí)根xi,x2(xi<x2)有兩相等實(shí)根bxi=x2=2a沒有實(shí)數(shù)根ax

2、2+bx+c>0(a>0)的解集x|x>x2或x<xi,bx|五Rax2+bx+c<0(a>0)的解集x|xi<x<x2?助老磁博一個技巧一元二次不等式ax2+bx+c<0(a#0)的解集的確定受a的符號、b24ac的符號的影響，且與相應(yīng)的二次函數(shù)、.一二元二次方程有密切聯(lián)系，.可結(jié)合相應(yīng).的函2數(shù)一匕一ax-土bx土c(a主0)的圖象數(shù)形結(jié)合求得丕等式的解集,若二兀二次不等一一式經(jīng)過丕笠式的回解變形后，化為ax2.+.bx+_c>0(或三。(其中包二0)的四式其對應(yīng)白方程ax2+bx+c=0有兩個不等實(shí)根xi,X2,(Xi<X

3、2)(止匕時A=b24ac2QK則可根據(jù):大壬取兩邊，小于夾中皿:求解集，一一一兩個防范(1) .二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時“參數(shù)的符號影響不等式的解集不要忘了二次項(xiàng)系數(shù)是否為零.的情況;.一(2) J圣盒參數(shù)的二元二次丕等式可先考慮因式分解一再對根的大小進(jìn)行分類討論.；.若不能因式分解,則可對判別式進(jìn)行分類討論，.一分類要不重不漏.二次不等式恒成立問題不等式ax2+bx+c>0的解是全體實(shí)數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)a=0時，b一一,a>0,一2=0,c>0；當(dāng)a#0時，不等式ax+bx+c<0的解是全體頭數(shù)(或A<0;a<0,怛成立)的條件是當(dāng)a=0時，b=0,

4、c<0;當(dāng)a#0時，A<0.一、恒成立問題的基本類型:類型1:設(shè)f(x)ax2bxc(a0),(1)f(x)0在xR上恒成立a0且0；(2) f(x)0在xR上恒成立a0且0。類型2:設(shè)f(x)ax2bxc(a0)(1)當(dāng)a0時，f(x)0在x,上恒成立bbb2a或2a或2af()00f()0f(x)0在x,上恒成立f()0f()0(2)當(dāng)a0時，f(x)0在x,上恒成立f()0f()02a或2a0f()0f(x)0在x,上恒成立2a或f()0類型3:f(x)對一切xHI成立f(x)minf(X)對一切xHI成立f(x)max。類型4:f(x)g(x)對一切xI恒成立f(x)的圖象

5、在g(x)的圖象的上方或f(x)ming(x)max(xI)二、恒成立問題常見的解題策略：策略一：利用二次函數(shù)的判別式對于一*元二次函數(shù)f(x)ax2bxc0(a0,xR)有：(1) f(x)0在xR上恒成立a0且0;(2) f(x)0在xR上恒成立a0且0例1.若不等式(m1)x2(m1)x20的解集是R,求m的范圍。解析：要想應(yīng)用上面的結(jié)論，就得保證是二次的，才有判別式，但二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)m,所以要討論m-1是否是0。(1)當(dāng)m-1=0時，元不等式化為2>0恒成立，滿足題意；m10時，只需m102,所以，m1,9)。(m1)28(m1)0策略二：利用函數(shù)的最值(或值域)(1) f(

6、x)m對任意X都成立f(X)minm；(2) f(x)m對任意x都成立mf(x)max。簡單計(jì)作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本類問題實(shí)質(zhì)上是一類求函數(shù)的最值問題。例2.已知f(x)x2ax3a,若x2,2,f(x)2恒成立,求a的取值范圍.解析本題可以化歸為求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上白最值問題，只要對于任意x2,2,f(x)min2若x2,2,f(x)2恒成立x2,2,f(x)min2a22f(x)minf(2)73a222或2成2f(x)minf()3a2242f(x)min,即a的取值范圍為f(2)7a2策略三：利用零點(diǎn)分布例3,已知f(x)x2ax3a,若x2,2,f(

7、x)0恒成立,求a的取值范圍.解析本題可以考慮f(x)的零點(diǎn)分布情況進(jìn)行分類討論，分無零點(diǎn)、零點(diǎn)在aa區(qū)間的左側(cè)、零點(diǎn)在區(qū)間的右側(cè)三種情況，即A<0或W2或W2,即af(2)0f(2)0f(2)0f(2)0的取值范圍為-7,2.點(diǎn)評對于含參數(shù)的函數(shù)在閉區(qū)間上函數(shù)值恒大于等于零的問題，可以考慮函數(shù)的零點(diǎn)分布情況，要求對應(yīng)閉區(qū)間上函數(shù)圖象在x軸的上方或在x軸上就行了.變式：設(shè)f(x)x22mx2,當(dāng)x1,)時，f(x)m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范F(x)0顯然成立;圍。解：設(shè)F(x)x22mx2m,則當(dāng)x當(dāng)4(m1)(m2)0即2m1日寸,0時，如圖，F(xiàn)(x)0恒成立的充要條件為:F(01)0

8、解得3m2m.122。綜上可得實(shí)數(shù)m的取值范圍為3,1)。策略四：分離參數(shù)法若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：1) f(x)g(a)(a為參數(shù))'恒成立g(a)f(x)max2) f(x)g(a)(a為參數(shù))，恒成立g(a)f(x)max例4.函數(shù)f(x)*2xa,x1,)，若對任意x1,),f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)xa的取值范圍。解：若對任意x1,),f(x)0恒成立，即對x1,),f(x)x一名-0恒成立，x考慮到不等式的分母x1,),只需x22

9、xa0在x1,)時恒成立而得x22xa0在x1,)時恒成立，只要ax22x在x1,)時恒成立。而易求得二次函數(shù)h(x)x22x在1,)上的最大值為3,所以a3。變式：已知函數(shù)f(x)axv4xx2,x(0,4時f(x)0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：將問題轉(zhuǎn)化為a小一工對x(0,4恒成立。x人42令g(x),則ag(x)minx由g(x)士44-1可知g(x)在(0,4上為減函數(shù)，故g(x)ming(4)0x，x.a0即a的取值范圍為(,0)注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問題順利得到解決。策略五：確定主元在給出的含有兩個變量的不等式中，學(xué)生習(xí)慣把變量X看成是主元(未知數(shù))，而把另一個

10、變量a看成參數(shù)，在有些問題中這樣的解題過程繁瑣。如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，則可簡化解題過程。例5.若不等式2x1m(x21)對滿足2m2的所有m都成立，求X的范圍。解析：我們可以用改變主元的辦法，將m視為主變元，即將元不等式化為：m(x21)(2x1)0,;令f(m)m(x21)(2x1),則2m2時，f(m)0恒成立,所以只需f(2)0即2(x21)(2x1)0,所以x的范圍是x(17,心)f(2)02(x21)(2x1)022總結(jié)：利用了一次函數(shù)f(x)kxb,xm,n有：f(m)0-f(m)0f(x)0包成立,f(x)0包成立f(n)0f(n)0變式

11、：對任意a1,1,不等式x2(a4)x42a0恒成立，求x的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于x的一元二次不等式，但若把a(bǔ)看成主元，則問題可轉(zhuǎn)化為一次不等式(x2)ax24x40在a1,1上恒成立的問題。解：令f(a)(x2)ax24x4,則原問題轉(zhuǎn)化為f(a)0恒成立(a1,1)。當(dāng)x2時，可得f(a)0,不合題意。當(dāng)x2時，應(yīng)有f0解之得x1或x3。f(1)0故x的取值范圍為(,1)(3,)。策略六：消元轉(zhuǎn)化例6.已知f(x)是定義在-1,1上的奇函數(shù)，且f(1)=1,若m,n1,1,mn0時f(m)f0,若f(x)t22at1對于所有的x1,1,a1,1恒成立，mn求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解

12、析本題不等式中有三個變量，因此可以通過消元轉(zhuǎn)化的策略，先消去一個變量，容易證明f(x)是定義在-1,1上的增函數(shù)，故f(x)在-1,1上的最大值為f(1)=1,則f(x)t22at1對于所有的x1,1,a1,1恒成立1t22at1對于所有的a1,1恒成立，即2tat20對于所有的a1,1恒成立，令g(a)2tat2,只要g(1)0t城t2或t0.g(1)0點(diǎn)評對于含有兩個以上變量的不等式恒成立問題，可以根據(jù)題意依次進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化，從而轉(zhuǎn)化為只含有兩變量的不等式問題，使問題得到解決.以上介紹的幾種常見不等式恒成立問題的求解策略，只是分別從某個側(cè)面入手去探討不等式中參數(shù)的取值范圍。事實(shí)上，這些策略不

13、是孤立的，在具體的解題實(shí)踐中，往往需要綜合考慮，靈活運(yùn)用，才能使問題得以順利解決。三、鞏固練習(xí)1 .(1)若關(guān)于x的不等式x2axa0的解集為(，)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若關(guān)于x的不等式x2axa3的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:(1)設(shè)fxx2axa.則關(guān)于x的不等式x2axa0的解集為(,)fx0在，上恒成立fminx0,即fminx包上0,解得4a04(2)設(shè)fxx2axa.則關(guān)于x的不等式x2axa3的解集不是空集fx3在，上能成立fminx3,即fminx竺-3,解得a6或a2.42 .若函數(shù)y4有26mxm8在R上恒成立，求m的取值范圍。分析：該題就轉(zhuǎn)化為被開方數(shù)mx

14、26mxm80在R上恒成立問題，并且注意對二次項(xiàng)系數(shù)的討論。略解：要使yJmx2_6mxm_8在R上恒成立，即mx26mxm80在R上恒成立。0時,0成立2"m0時,0一236m,0m14m832mm10由1：,2；可知,3.已知向量a(x2,x1),b(1x,t),若函數(shù)fxab在區(qū)間1,1上是增函數(shù)，求t的取值范圍.解：依定義f(x)x2(1x)t(x1)x3x2txt,則f(x)3x22xt.fx在區(qū)間1,1上是增函數(shù)等價于fx0在區(qū)間1,1上恒成立；而fx0在區(qū)間1,1上恒成立又等價于t3x22x在區(qū)間1,1上恒成立；設(shè)gx3x22x,x1,1進(jìn)而tgx在區(qū)間1,1上恒成立等

15、價于tgmaxx,x1,1考慮到gx3x22x,x1,1在1,1上是減函數(shù)，在1,1上是增函數(shù)，33則gmaxxg15.于是，t的取值范圍是t5.4 .已知函數(shù)fxx33ax1,gxfxax5,其中f'x是fx的導(dǎo)函數(shù).對滿足1a1的一切a的值，都有g(shù)x0,求實(shí)數(shù)x的取值范圍；解法1.由題意gx3x2ax3a5,這一問表面上是一個給出參數(shù)a的范圍，解不等式gx0的問題，實(shí)際上，把以x為變量的函數(shù)gx,改為以a為變量的函數(shù)，就轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立的問題，即令a3xa3x25,1a1,則對1a1,恒有g(shù)x0,即a0,從而轉(zhuǎn)化為對1a1,a0恒成立，又由a是a的一次函數(shù)，因而是一個單調(diào)函數(shù)，

16、它的最值在定義域的端點(diǎn)得到.為此只需:00即;:20,80.解彳#fx1.故x21時，對滿足a1的一切a的值，都有g(shù)x0.解法2.考慮不等式gx3x2ax3a50.由1a1知，a236a600,于是，不等式的解為a,-a236a60ax-6a236a606但是，這個結(jié)果是不正確的，因?yàn)闆]有考慮a的條件，還應(yīng)進(jìn)II*羊少兀害.為此，設(shè)ga上嚴(yán),haa236a60a6不等式化為gaxha,1a1恒成立，即gamaxxhamin,1a1.a、a236a60人由于gaaa-在16a1上是增函數(shù)，則gamaxhaa'a236a60在1a1上是減函數(shù)，則ha6minh11.所以，故x2,1時，對滿

17、足1a1的一切a的值，都有g(shù)x0.35 .若對任意的實(shí)數(shù)x,sin2x2kcosx2k20恒成立，求k的取值范圍。解法一：原不等式化為cos2x2kcosx2k10令tcosx,則t1,即ft22kt2k1tk2k22k1在t1,1上恒大于0。1若k1,要使f(t)0,即f(1)0,k-k不存在2若1k1,若使f(t)0,即f(k)k22k101V2k1721V2k1若k1,要使f(t)0,即f(1)0,k1由，可知，k1.工。解法二：f(t)t22kt2k10,在1,1上恒成立。(1) k22k101.2k1,2k22k10f(1)0k-2f(1)0k1或k1由，可知，k1、2。6 .已知函數(shù)f(x)x2ax10對于一切x(0,1成立，求a的取值范圍。27 .已知函數(shù)f(x)x24xm對于x(0,1恒成立一求m的取值范圍。8 .若不等式“6鼓a22a60在;x捫恒成立,求a的取值范圍9 .已知函數(shù)ylgx2(a1)xa2的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。