泰勒公式的余項學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1泰勒泰勒(ti l)公式的余項公式的余項第一頁，共11頁。)(xf)(0 xf)(00 xxxf10) 1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx特例特例(tl):(1) 當 n = 0 時, 泰勒(ti l)公式變?yōu)?(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 當 n = 1 時, 泰勒(ti l)公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可見)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 誤差fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與

2、在xx第2頁/共11頁第二頁，共11頁。誤差(wch)估計1010) 1(|)!1( |)()!1()(| | )(|nnnnxxnMxxnfxR 上的一個上界，那么或，在是設(shè),| )(|M00)1(xxxxxfn泰勒(ti l)公式的誤差)()(xfxRn)(!)(00)(nnxxnxf)(0 xf)(00 xxxfnnxxnxf)(!)(00)(有下列估計(gj)公式：第3頁/共11頁第三頁，共11頁。, ) 10(,00 xx則馬克(mk)勞林為：)(xf)0(fxf)0( 1)1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒(ti l)公式中若取)(xf)

3、(0 xf)(00 xxxf10) 1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,)() 1(Mxfn則有誤差(wch)估計式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的區(qū)間上由此得近似公式第4頁/共11頁第四頁，共11頁。211321113!21 !cos1;21 !nnnnxxxxnxxn 2. sin 2211112!2!cos122 !nnnxxxnxn 3. cos xe. 11x!33x!nxn!22x).(!) 1(1xxnen初等函數(shù)(hn

4、sh)帶拉格朗日余項的幾個泰勒公式:第5頁/共11頁第五頁，共11頁。 11111 1nnnxxn . 1231111;23nnnxxxxxo xn 5. ln 1+211112!ana aa aanxaxxxn 4. 1+111111 !a nna aanxxn 習(xí)題(xt) 4-3 1. (2),(5);2.(1);3.(1);4.(1),(2);6.第6頁/共11頁第六頁，共11頁。已知補例補例 計算計算(j sun)無理數(shù)無理數(shù) e 的近似值的近似值 , 使誤差不超過使誤差不超過.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(! ) 1(!1!2111ne

5、n) 10(由于(yuy), 30ee欲使) 1 (nR! ) 1(3n610由計算(j sun)可知當 n = 9 時上式成立 ,因此e718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麥克勞林公式為!91!2111第7頁/共11頁第七頁，共11頁。)()(xfn解解),2sin(nxxsinx!33x!55x!) 12(12nxn1) 1(n)sin(212mx其誤差(wch)|)!12(cos) 1( | )(|122nnnxnxR)!12(|12nxn例例1的泰勒公式在使用帶拉格朗日余項設(shè),44x取多少項？。應(yīng)在泰勒公式中時，為使公式誤差小于計算7105sinx)!12()4(12n

6、n.)!12(1n.)!12(cos) 1(12 nnxn,1057為使公式誤差小于.103!1118因為即可取,5n第8頁/共11頁第八頁，共11頁。需解問題(wnt)的類型:1) 已知 x 和誤差(wch)限 , 要求確定項數(shù) n ;2) 已知項數(shù) n 和 x , 計算近似值并估計(gj)誤差;3) 已知項數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.第9頁/共11頁第九頁，共11頁。補例補例 用近似用近似(jn s)公式公式!21cos2xx計算(j sun) cos x 的近似值,使其精確(jngqu)到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.解解近似公式的誤差)cos(!4)(43xxxR244x令005. 0244x解得588. 0