Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法

1、1第第10章章 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法優(yōu)化方法 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法2Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法n10.1 人工神經(jīng)網(wǎng)絡模型人工神經(jīng)網(wǎng)絡模型n10.2 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡神經(jīng)網(wǎng)絡n10.3 Hopfield網(wǎng)絡與最優(yōu)化問題網(wǎng)絡與最優(yōu)化問題 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法3人工神經(jīng)網(wǎng)絡n人工神經(jīng)網(wǎng)絡是指由大量簡單人工神經(jīng)元互聯(lián)而成的一種計算結構。它可以在某種程度上模擬生物神經(jīng)系統(tǒng)的工作過程，從而具備解決實際問題的能力。n人工神經(jīng)網(wǎng)絡由于其大規(guī)模并行處理、學習、聯(lián)想和記憶等功能，以及它高度的自組織和自適應能力，已成為解決許多工程問題的有力

2、工具，近年來得到了飛速的發(fā)展。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法4生物神經(jīng)系統(tǒng)生物神經(jīng)系統(tǒng) n生物神經(jīng)系統(tǒng)是一個有高度組織和相互作用的數(shù)目龐大的細胞組織群體。這些細胞被稱為神經(jīng)細胞，也稱作神經(jīng)元。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法5人工神經(jīng)元模型人工神經(jīng)元模型 n人工神經(jīng)元是構成人工神經(jīng)網(wǎng)絡的基本單元，是對生物神經(jīng)元特性及功能的一種數(shù)學抽象，通常為一個多輸入單輸出器件。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法6人工神經(jīng)元模型人工神經(jīng)元模型 n輸入與輸出信號輸入與輸出信號：s1、s2、.sn為輸入，vi為輸出。輸出也稱為單元的狀態(tài)。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法7人工神經(jīng)元模型人工神經(jīng)元模型 n權

3、值：給不同的輸入的信號一定的權值，用wij表示。一般權值為+表示激活，為-表示抑制； Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法8人工神經(jīng)元模型人工神經(jīng)元模型 n求和器：用表示，以計算各輸入信號的加權和，其效果等同于一個線性組合； Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法9人工神經(jīng)元模型人工神經(jīng)元模型 n激活函數(shù)：圖中的f()，主要起非線性映射作用，另外還可以作為限幅器將神經(jīng)元輸出幅度限制在一定范圍內(nèi)； Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法10人工神經(jīng)元模型人工神經(jīng)元模型 n閾值：控制激活函數(shù)輸出的開關量，用i表示。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法11人工神經(jīng)元模型人工神經(jīng)元模型 n上述作用可用數(shù)學方式表示如下：

4、 1( )niijjjiiiiiuw sxuvf xi=1, 2, n 式中，sj為輸入信號；wij為神經(jīng)元i對輸入信號sj的權值；ui為線性組合結果；i為閾值；f()為激活函數(shù)；vi為神經(jīng)元i的輸出。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法12激活函數(shù)的若干形式激活函數(shù)的若干形式 n（1）閾值函數(shù)，即階躍函數(shù) 1 0( )sgn( )0 0 xf xxx于是神經(jīng)元i的相應輸出為： 01 00iiixvx式中， injjijiswx1 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法13激活函數(shù)的若干形式激活函數(shù)的若干形式 n（2）分段線性函數(shù) 特點：類似于系數(shù)為1的非線性放大器，當工作于線性區(qū)時它是一個線性組合器

5、，放大系數(shù)趨于無窮大時變成一個閾值單元 111( )(1) 11210 xf xx xx Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法14激活函數(shù)的若干形式激活函數(shù)的若干形式 n（3）sigmoid函數(shù) 式中，c為大于0的參數(shù)，可控制曲線斜率 1( )1 exp()f xcx Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法1510.1.3 人工神經(jīng)網(wǎng)絡的互連模式人工神經(jīng)網(wǎng)絡的互連模式 n根據(jù)連接方式的不同，將現(xiàn)有的各類神經(jīng)網(wǎng)絡分為根據(jù)連接方式的不同，將現(xiàn)有的各類神經(jīng)網(wǎng)絡分為如下如下2種形式：種形式：前饋型網(wǎng)絡前饋型網(wǎng)絡 ，反饋型網(wǎng)絡，反饋型網(wǎng)絡（1）前饋型網(wǎng)絡）前饋型網(wǎng)絡 n各神經(jīng)元接受前一層的輸入，并輸出給下各神經(jīng)元

6、接受前一層的輸入，并輸出給下一層，沒有反饋。一層，沒有反饋。n結點分為兩類，即輸入單元和計算單元，結點分為兩類，即輸入單元和計算單元，每一計算單元可有任意個輸入，但只有一每一計算單元可有任意個輸入，但只有一個輸出（它可耦合到任意多個其他結點作個輸出（它可耦合到任意多個其他結點作為輸入）。為輸入）。n可分為不同的層，第可分為不同的層，第i-1層輸出是第層輸出是第i層的輸層的輸入，輸入和輸出結點與外界相連，而其他入，輸入和輸出結點與外界相連，而其他中間層稱為隱層。中間層稱為隱層。 主要起函數(shù)映射作用，常用于模式識別和函數(shù)逼近主要起函數(shù)映射作用，常用于模式識別和函數(shù)逼近 。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡

7、優(yōu)化方法16（2）反饋型網(wǎng)絡）反饋型網(wǎng)絡 n所有結點都是計算單元，同時也可接受輸入，并向外界輸出。所有結點都是計算單元，同時也可接受輸入，并向外界輸出。n若總的單元數(shù)為若總的單元數(shù)為n，則每一個結點有，則每一個結點有n-1個輸入、個輸入、個輸出，如圖個輸出，如圖10-7 的的形式。形式。 反饋網(wǎng)絡反饋網(wǎng)絡按對能量函數(shù)極按對能量函數(shù)極小點的利用分為兩類：小點的利用分為兩類：一類是能量函數(shù)的所有極一類是能量函數(shù)的所有極小點都起作用，主要用作小點都起作用，主要用作各種各種聯(lián)想存儲器聯(lián)想存儲器；第二類只利用全局極小點，第二類只利用全局極小點，主要用于主要用于優(yōu)化問題求解優(yōu)化問題求解。Hopfield模

8、型、波爾茲曼模型、波爾茲曼機（機（BM）模型等可以完成）模型等可以完成此類計算。此類計算。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法1710.2 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡神經(jīng)網(wǎng)絡 - HNN n網(wǎng)絡中引入了反饋，所以它是一個非線性動力學系統(tǒng) .n非線性動力學系統(tǒng)著重關心的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。 n在Hopfield模型中，神經(jīng)網(wǎng)絡之間的聯(lián)系總是設為的，這保證了系統(tǒng)最終會達到一個固定的有序狀態(tài)，即穩(wěn)定狀態(tài)。 特點：特點： Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法18Hopfield網(wǎng)絡基本結構網(wǎng)絡基本結構: 其中，I1, I2,., In是外部對網(wǎng)絡的輸入；v1, v2,., vn是網(wǎng)絡系統(tǒng)的輸出；u1, u2,

9、 ., un是對相應神經(jīng)元輸入，wij是從第j個神經(jīng)元對第i個神經(jīng)元的輸入的權值，wji=wij，wii=0。f()是特性函數(shù)，決定了網(wǎng)絡是離散離散的還是連續(xù)連續(xù)的。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法19離散型離散型Hopfield網(wǎng)絡網(wǎng)絡 n定義定義：對圖10-8中的特性函數(shù)f()取閾值函數(shù)（見圖10-3）等硬限函數(shù)，使神經(jīng)元的輸出取離散值，就得到離散型離散型Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡神經(jīng)網(wǎng)絡。 n工作原理工作原理：設有n個神經(jīng)元，v為神經(jīng)網(wǎng)絡的狀態(tài)矢量，為第i個神經(jīng)元的輸出，輸出取值為0或者為l的二值狀態(tài)。對任一神經(jīng)元i， 為第i個神經(jīng)元的內(nèi)部未加權輸入，它們對該神經(jīng)元的影響程度用連接權wi

10、j表示。 為第i個神經(jīng)元的閾值。 i01 00iiixvx（10-6） ivj ijv Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法20離散型離散型Hopfield網(wǎng)絡網(wǎng)絡 n2種狀態(tài)更新方式種狀態(tài)更新方式：q異步方式異步方式：在任一時刻t，只有某一個神經(jīng)元按式（10-6）發(fā)生變化，而其余n-1個神經(jīng)元的狀態(tài)保持不變。q同步方式同步方式：在任一時刻t，有部分神經(jīng)元按式（10-6）變化（部分同步）或所有神經(jīng)元按式（10-6）變化（全并行方式）。 一旦給出一旦給出Hopfield網(wǎng)絡的權值和神經(jīng)元的閾值，網(wǎng)絡的權值和神經(jīng)元的閾值，則網(wǎng)絡的狀態(tài)轉移序列就確定了。則網(wǎng)絡的狀態(tài)轉移序列就確定了。 Hopfield神

11、經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法21離散型離散型Hopfield網(wǎng)絡網(wǎng)絡 n定義定義10.1 若神經(jīng)元i在更新過程中，輸出變量v不再變化，則稱神經(jīng)元i已穩(wěn)定穩(wěn)定。若Hopfield網(wǎng)絡從t=0的任意一個初始輸出狀態(tài)開始，存在一個有限的時間，此時間點后系統(tǒng)中所有神經(jīng)元都是穩(wěn)定的，即網(wǎng)絡狀態(tài)不再發(fā)生變化，則稱該的，即： ，對所有 。 ()( )tttvv0t Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法22離散型離散型Hopfield網(wǎng)絡網(wǎng)絡 若神經(jīng)網(wǎng)絡的連接權矩陣W是零主對角元素的對稱矩陣，即滿足wij=wji且wii0，il，2，n，網(wǎng)絡狀態(tài)按串行異步方式更新，則網(wǎng)絡必收斂于狀態(tài)空間中的某一穩(wěn)定狀態(tài)。 如果網(wǎng)絡是穩(wěn)定的，則

12、在滿足一定的參數(shù)條件下，某種能量函數(shù)在網(wǎng)絡運行過程中是不斷降低并最后趨于穩(wěn)定平衡狀態(tài)的網(wǎng)絡網(wǎng)絡中任意一個神經(jīng)元節(jié)點狀態(tài)發(fā)生變化時，能量中任意一個神經(jīng)元節(jié)點狀態(tài)發(fā)生變化時，能量E都將減小都將減小。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法23能量函數(shù)與穩(wěn)定性能量函數(shù)與穩(wěn)定性iviviEiEiE假設第i個神經(jīng)元節(jié)點狀態(tài)的變化量記為，相應的能量變化量記為。能量隨狀態(tài)變化而減小意味著總是負值?？疾靸煞N情況：iviv由0變?yōu)?時，0，必有xi0。（1）當狀態(tài)由1變?yōu)?時，0，必有xi0。 （2）當狀態(tài)iviv可見iv與xi的積總是正正的。 iEiv)(nijijijvwiv=-xi=故節(jié)點i的能量可定義為： n

13、ijiijijivvwE)(對于離散型網(wǎng)絡方程，Hopfield將網(wǎng)絡整體能量函數(shù)定義為： iiininijjiijvvvwtE121)( Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法24能量函數(shù)與穩(wěn)定性能量函數(shù)與穩(wěn)定性n容易證明它滿足Lyapunov函數(shù)的三個條件：函數(shù)函數(shù)連續(xù)可導；函數(shù)正定以及；函數(shù)的導數(shù)半連續(xù)可導；函數(shù)正定以及；函數(shù)的導數(shù)半負定。負定。 從iijjijivwvVE)(可以看出E對于所有V的分量是連續(xù)的。 嚴格來說，式（10-9）并不能滿足Lyapunov函數(shù)的正定條件。但是，對于神經(jīng)元有界的神經(jīng)網(wǎng)絡的穩(wěn)定性來說，正定條件可以退化為只要求該函數(shù)有界。即前面已討論過的即前面已討論過的“E

14、隨狀態(tài)變化而嚴格隨狀態(tài)變化而嚴格單調(diào)遞減單調(diào)遞減” Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法25能量函數(shù)與穩(wěn)定性能量函數(shù)與穩(wěn)定性nW和 （由n個i構成的列向量）都是有確定值的矩陣和向量，且 有界，因此E有下界： n因為式（10-9）的E是有界函數(shù)，從而可知式（10-9）是正定的，即網(wǎng)絡將最終達到穩(wěn)定狀態(tài)網(wǎng)絡將最終達到穩(wěn)定狀態(tài)。niininjijwE111min21訂正：P155 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法26能量函數(shù)與穩(wěn)定性能量函數(shù)與穩(wěn)定性 離散Hopfield模型的穩(wěn)定狀態(tài)與能量函數(shù)E在狀態(tài)空間的局部極小點是一一對應的。 需要指出：一般在Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡中，能量函數(shù)可能存在局部最小值，

15、如圖10-9所示。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法27能量函數(shù)與穩(wěn)定性能量函數(shù)與穩(wěn)定性例例10-1 試計算一個有8個神經(jīng)元的離散Hopfield網(wǎng)絡， 其網(wǎng)絡權值W和閾值向量如下： 023. 015. 0065. 005. 053. 022. 017. 023. 0081. 070. 014. 077. 030. 024. 015. 081. 0015. 032. 026. 061. 078. 0065. 070. 015. 0066. 019. 058. 063. 005. 014. 032. 066. 0010. 047. 033. 053. 077. 026. 019. 010. 00

16、91. 045. 022. 030. 061. 058. 047. 091. 0055. 017. 024. 078. 063. 033. 045. 055. 00W0.650.30.40.750.150.250.950.35 試確定網(wǎng)絡最后的平衡狀態(tài)。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法28能量函數(shù)與穩(wěn)定性能量函數(shù)與穩(wěn)定性例例10-1 試計算一個有8個神經(jīng)元的離散Hopfield網(wǎng)絡， 其網(wǎng)絡權值W和閾值向量如下： 解：解：1計算步驟如下：（1）按式（10-9）確定如下能量函數(shù)： iiininijjiijvvvwE121（2）隨機選取神經(jīng)元i，按下式判斷該神經(jīng)元輸出狀態(tài)vi（即采用了閾值為0的

17、雙極硬限函數(shù)），按串行工作方式，直至狀態(tài)不變，計算終止： niijjij ixw vniijjij ixw v若神經(jīng)元i的狀態(tài) 0，則取vi=1若記憶模式較少，同時模式之間的差異較大，則聯(lián)想的結果就比較正確；而當需記憶的模式較多時，網(wǎng)絡到達的穩(wěn)定狀態(tài)往往不是己記憶的模式，亦即容易引起混淆； 再者，當模式間差異較小時，網(wǎng)絡可能無法辨別出正確的模式，此時即便采用已記憶的模式作為聯(lián)想模式（自聯(lián)想），也仍可能出錯，如本例所示。注意：本例m1和m2是該網(wǎng)絡的兩個穩(wěn)定狀態(tài)?？沈炞C，對于該網(wǎng)絡的其余6個網(wǎng)絡狀態(tài)中的任何一個，都可在一次運行后收斂于這兩個狀態(tài)中的一個。解畢。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法3

18、610.2.3 連續(xù)型連續(xù)型Hopfield網(wǎng)絡網(wǎng)絡n將離散的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡模型擴展到連續(xù)時間的動力學模型，其網(wǎng)絡的連接方式不變，仍然是全互連對稱結構，特性函數(shù)f()選用Sigmoid函數(shù)，使神經(jīng)元的輸出取連續(xù)值。連續(xù)的Hopfield網(wǎng)絡可與一電子線路對應，如圖10-10所示。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法3710.2.3 連續(xù)型連續(xù)型Hopfield網(wǎng)絡網(wǎng)絡n圖10-11表示由運算放大器實現(xiàn)的一個節(jié)點的模型。 對于該模型，其電路方程可寫為： 1( )njiiiiijiijiivuduuCIdtRRvf u（10-12） Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法38式中，iI為系統(tǒng)的外

19、部激勵。經(jīng)過整理，得： 1( )njiiijiiijiiiivduuIdtR CR CCvf u （10-13） 式中， njijiiRRR1111令 1,iiiijiijiiIRC wR CC，有： )(11iiinjjijiiufvvwudtdu Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法39定義定義10.2 對式（10-14）的連續(xù)Hopfield網(wǎng)絡，其能量函數(shù)E(t)為( )1011111( )( )2innnnv tijijiiij iiiE tw vvvfx dx （10-15） 證明式（10-15）表示的能量函數(shù)滿足李雅普諾夫函數(shù)的前兩個條件是很容易的事。第三個條件的滿足則可用式（10-

20、15）推導得到。從式（10-15）不難看出： dtduvwudvdEinijijijii)(連續(xù)連續(xù)Hopfield網(wǎng)絡收斂性網(wǎng)絡收斂性（10-16） 于是， niiiiiniiiiniiiniiidtdvdvdudtdvdtdvdvdudtdvdtdudtdvdvdEdtdE12111)()(iiufv 為Sigmoid函數(shù)時，其逆函數(shù) )(1iivfu為非減函數(shù)，即 當 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法400)(1iiiivfdvddvdu（10-18） 0dtdE故 。 注意，式（10-15）的最后一項在Sigmoid函數(shù)值高增益下由于接近限幅器而可以忽略不計。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡

21、優(yōu)化方法41對于連續(xù)Hopfield網(wǎng)絡，如果f- -1()為單調(diào)遞增的連續(xù)函數(shù)，Ci0，wij= wji，則沿系統(tǒng)運動軌道有 0dtdE（10-19） 0dtdui0dtdE當且僅當時，(i=1,2,n) 由定理10.2可知，連續(xù)Hopfield網(wǎng)絡隨時間推移其能量函數(shù)總是在不斷地減少。網(wǎng)絡的平衡點就是E(t)的極小值點。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法42連續(xù)連續(xù)Hopfield網(wǎng)絡的工作方式有如下網(wǎng)絡的工作方式有如下結論：結論： n系統(tǒng)過程從任意非平衡狀態(tài)出發(fā)，最終收斂于平衡狀態(tài)，平衡點有限。如果平衡點是穩(wěn)定的，那么一定是漸近穩(wěn)定的。漸近穩(wěn)定平衡點為其能量函數(shù)的極小點；n通過適當?shù)膶W習

22、，該網(wǎng)絡能將任意一級正交矢量存儲起來作為漸近穩(wěn)定平衡點；n連續(xù)Hopfield網(wǎng)絡的信息存儲表現(xiàn)為神經(jīng)元之間互連的分布動態(tài)存儲；n連續(xù)Hopfield網(wǎng)絡以大規(guī)模非線性連續(xù)時間并行方式處理信息，其計算時間就是系統(tǒng)趨于平衡點的時間。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法43連續(xù)連續(xù)Hopfield網(wǎng)絡神經(jīng)網(wǎng)絡迭代過程網(wǎng)絡神經(jīng)網(wǎng)絡迭代過程的框圖的框圖 初始化在每個周期（掃描）重復下列步驟：是否到達穩(wěn)定狀態(tài)隨機抽取一個在此周期中尚未更新的神經(jīng)元。 vi+=sgm( ui+)。停止否是injjijiiiivwtudvdEtuu1計算 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法4410.3 Hopfield網(wǎng)絡與最優(yōu)

23、化問題網(wǎng)絡與最優(yōu)化問題 n如果把一個動態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定點視為個能量函數(shù)的極小點，而把能量函數(shù)視為一個優(yōu)化問題的目標函數(shù)，那么從初態(tài)朝這個穩(wěn)定點的演變過程就是一個求解該優(yōu)化問題的過程。n反饋網(wǎng)絡用于優(yōu)化計算和作為聯(lián)想存儲這兩個問題是對偶的：用于優(yōu)化計算時權矩陣W已知，目的是尋找E以達到最小的穩(wěn)定狀態(tài)；而作聯(lián)想存儲時穩(wěn)定狀態(tài)則是給定的（對應于待存的模式向量），要通過學習來尋找合適的W。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法45旅行商問題（旅行商問題（TSP） n給定N個城市和它們兩兩之間的直達距離，找出一個閉合旅程，使每個城市只經(jīng)過一次，且總的旅行距離必須為最短。nHopfield與Tank將N城市TSP

24、問題映射到連續(xù)Hopfield網(wǎng)絡中，通過這N個城市的一個旅程旅程次序表次序表給出問題的一個可行解。n在旅程次序表中，一個旅程的城市次序由一組神經(jīng)元的輸出狀態(tài)表示。建立能量方程使最優(yōu)旅程次序表對應網(wǎng)絡的穩(wěn)定終止狀態(tài)。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法46旅行商問題（旅行商問題（TSP）n對一個N城市的TSP問，因為有N個城市，并對應有N種次序，所以要有NN個神經(jīng)元。n在圖10-13（a）給出了一個路徑，其旅程總距離d為d=dBH+dHS+dSG+dGC+dCX+dXB，其中B是第一個被訪問的，隨后依次為H、S、G、C和X。這里，dIJ表示從I市到J市的直達距離。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方

25、法47旅行商問題（旅行商問題（TSP）n用換位矩陣來表示TSP一條路徑的方法 ：在該矩陣中，每一列只有一個元素為l，其余為0，列的大小表示對某城市訪問的次序。同樣每一行也只有一個元素為1，其余為0。通過這樣的矩陣，可惟一地確定一條旅行路線。 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法48對于用Hopfield網(wǎng)絡來求解TSP問題，就是要恰當?shù)貥嬙煲粋€能量函數(shù)，使得Hopfield網(wǎng)絡中的n個神經(jīng)元能夠求得問題的解，并使其能量處于最低狀態(tài)。為此，構造能量函數(shù)需考慮以下兩個問題：（1）能量函數(shù)要具有適合于換位矩陣的穩(wěn)定狀態(tài)（約束條件）。（2）能量函數(shù)要有利于表達在TSP所有合法旅行路線中最短路線的解（目標函

26、數(shù)）。能量函數(shù)的合法形式可以通過考慮神經(jīng)元的輸出是0或1來實現(xiàn)。先考慮第（2）個問題。 定義優(yōu)化目標函數(shù)為： )(21min)(1,1,xxyiyiyixixyvvvdvJ Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法49旅行商問題（旅行商問題（TSP）xxyiyiyixixyvvvdvJ )(21)(min1,1,xjxjjixivvvJ0)(1ixyixyxivvvJ0)(2xixiNvvJ0)()(23TSP可表示為如下優(yōu)化問題： （10-21）（10-22）（10-23）(10-24) s.t.糾正P162yj Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法50旅行商問題（旅行商問題（TSP）寫在一起，其目標函

27、數(shù)為 xiiyiyxyxixyxixiixxyyixixiijxjxivvvdD nvCvvBvvAE)(22221,1,2（10-25） 此即描述TSP的Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡的能量函數(shù)。 糾正P162yj Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法51旅行商問題（旅行商問題（TSP）比較式（10-25）與式（10-15）同一變量兩端的系數(shù)，可得到網(wǎng)絡連接權和閾值的表達式（這里需要注意的是，因為網(wǎng)絡是二維的，每個變量有兩個下標，而且求和符號也相應增加一倍）： CnDdCBATxiijijxyxyijijxyyjxi)()1 ()1 (1,1,（10-26） ijjiji ij, 0, 1式中，為Kr

28、onecker函數(shù)，糾正P163xi,yj-Cn Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法52旅行商問題（旅行商問題（TSP）相應的神經(jīng)網(wǎng)絡動力學方程為 )2exp(11)()()(01,1,uuufvvvdDnvCvBvAudtduxixixiijxyxyiyiyxyyjyjyixjxixi（10-27） 選擇合適的參數(shù)A，B，C，D和初始狀態(tài)0u，用式（10-27）引導網(wǎng)絡狀態(tài)的變化，就可得到用其穩(wěn)定的網(wǎng)絡狀態(tài)所表示的TSP的最優(yōu)解。 糾正P163 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法53二分圖最優(yōu)化問題二分圖最優(yōu)化問題 定義：給定n（n為偶數(shù)）個節(jié)點，選擇任意兩節(jié)點進行相互連線，由此連成一個線圖；對

29、于此線圖，用分割線將所有節(jié)點分為二等份，從而獲得一個二分圖，要求該分割線跨越這兩組之間的連線最少。如圖10-14的線圖中，給出了兩種不同的分割方式，分割1有10條跨越連線，分割2有2條跨越連線（此為最小值）。二分圖問題的在超大規(guī)模集成電路（VLSI）的布線設計中有廣泛應用。 圖10-14 二分圖示例 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法54二分圖最優(yōu)化問題二分圖最優(yōu)化問題 可用如下連接矩陣表示圖10-14的連接方式： 0110000000100100000010011000000110100001001101000100001010010000010101000000101100000001010

30、000111110 W（10-28） 1 , 0 , iji jwi j相連不連式中， 糾正P164 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法55二分圖最優(yōu)化問題二分圖最優(yōu)化問題 記分割節(jié)點后形成的兩個區(qū)為A和B，定義一個在節(jié)點i處的神經(jīng)元為： 式中，n是節(jié)點數(shù)，是一個常數(shù)（拉格朗日參數(shù)），且wij=cij- 。 1 1 iiAviB（10-30） 這一問題的Hopfield網(wǎng)絡能量函數(shù)為： （10-31） ijijjiniiijijjiwvvnvcvvE212)(22121糾正P164 Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡優(yōu)化方法56二分圖最優(yōu)化問題二分圖最優(yōu)化問題可證明該函數(shù)是李雅普諾夫函數(shù)。1niijjjidEuw vdv （1