概率論與隨機(jī)過(guò)程：第10章 10-1隨機(jī)過(guò)程的概念及統(tǒng)計(jì)特性

1、 10.1 隨機(jī)過(guò)程概念及統(tǒng)計(jì)特性 一、隨機(jī)過(guò)程的定義二、隨機(jī)過(guò)程的分類三、隨機(jī)過(guò)程的概率分布四、二維隨機(jī)過(guò)程 隨機(jī)過(guò)程 引言引言 現(xiàn)實(shí)世界中的許多現(xiàn)象是隨時(shí)間的進(jìn)展而變化與發(fā)展的，這些現(xiàn)象通常稱為過(guò)程。可分為兩類：(1)確定性的變化過(guò)程：例如例如(2)不確定的變化過(guò)程：例如例如 如果質(zhì)點(diǎn)在一個(gè)隨機(jī)的力（它由各種隨機(jī)因素形成）的作用下，那么質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的位置也是隨機(jī)的。 如何描述這樣的變化過(guò)程：1. 如果對(duì)其變化過(guò)程的全過(guò)程做一次觀察,得到一個(gè)位置與時(shí)間關(guān)系的函數(shù)x1 1( (t ) ),若再次觀察，又得到函數(shù)x2 2( (t ) ), ,因而得到一族函數(shù).2. 如果在時(shí)刻t觀察質(zhì)點(diǎn)的位置x( (

2、t ) ),則x( (t ) )是一個(gè)隨機(jī)變量,這樣對(duì)于每個(gè)時(shí)刻t便得到一個(gè)隨機(jī)變量X( (t ) ),于是我們就得到一族隨機(jī)變量X(t),t0,（最初始時(shí)刻為t=0）,它描述了此隨機(jī)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程.一、隨機(jī)過(guò)程的定義 1.定義1 設(shè)E是一隨機(jī)實(shí)驗(yàn),樣本空間為=，參數(shù)T(-,+),如果對(duì)每個(gè) ,總有一個(gè)確定的時(shí)間函數(shù)X(,t)與之對(duì)應(yīng),這樣對(duì)于所有的 ,就得到一族時(shí)間t的函數(shù),我們稱此時(shí)間t的函數(shù)族為隨機(jī)過(guò)程,而族中每一個(gè)函數(shù)稱為這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)。 我們稱這種隨時(shí)間的進(jìn)展而變化與發(fā)展的隨機(jī)現(xiàn)象為隨機(jī)過(guò)程。 定義定義2 2：設(shè)E是一隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，樣本空間為=，參數(shù)T( (-,+) ),如果對(duì)任意t

3、 T ，有一定義在上的隨機(jī)變量X( (,t) )與之對(duì)應(yīng),則稱X( (,t),),t T為隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)記為X( (t),),t T 或X( (t) ),也可記為X( (t) ). 注釋：(1) 隨機(jī)過(guò)程X( (t),),t T是定義在T上的二元函數(shù)，因此可以從兩個(gè)角度去理解, 因而有如上的兩個(gè)定義。 在理論分析往往用隨機(jī)變量族的描述方式，在實(shí)際測(cè)量和處理中往往采用樣本函數(shù)族的描述方式。 (3)從定義2的角度上看，隨機(jī)過(guò)程是有限維隨機(jī)變量的推廣. (2)通常將隨機(jī)過(guò)程X( (t),),t T 解釋為一個(gè)物理系統(tǒng)， X( (t) )表示系統(tǒng)在時(shí)刻t所處的狀態(tài),X( (t) )的所有可能狀態(tài)所構(gòu)成的

4、集合稱為狀態(tài)空間，記為I，對(duì)于給定的t0 T，及x I,X( (t0)=)=x 說(shuō)成是在時(shí)刻t0，系統(tǒng)處于狀態(tài)x.2.隨機(jī)過(guò)程的例 （4）隨機(jī)過(guò)程X(t),tT中參數(shù)t通常解釋為時(shí)間集，便于理解，符合實(shí)際。但參數(shù)t可以表示為其它的量，例如序號(hào)，距離等等. 例2測(cè)量運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的距離.測(cè)量存在隨機(jī)誤差.,)(它是一個(gè)隨機(jī)變量的測(cè)量誤差表示在時(shí)刻以tt.)(,而變化隨時(shí)間也測(cè)量誤差按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)當(dāng)目標(biāo)隨時(shí)間ttt.)(的一族隨機(jī)變量是依賴于時(shí)間tt.0, )(是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程tt).,( :狀態(tài)空間例1:(分枝過(guò)程)兩個(gè)個(gè)體（第0代）可能生產(chǎn) 0,1,2個(gè)子女形成第一代，每一個(gè)子女再生子女，他們合在一

5、起形成第二代，等等，假定第n代的個(gè)體數(shù)目為Xn，則Xn, n=0,1,2.是隨機(jī)過(guò)程。 例3某城市的120急救電話臺(tái)接收呼叫., 0(: )(內(nèi)接收到的呼叫次數(shù)時(shí)間間隔ttX.0, )(是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程ttX. , 3, 2, 1, 0狀態(tài)空間是例例4 4拋擲一顆骰子的試驗(yàn)拋擲一顆骰子的試驗(yàn). .)1(:) 1 (拋擲的點(diǎn)數(shù)次第nnXn.1,是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程nXn伯努利過(guò)程或伯努利隨機(jī)序列.)1(:)2(拋擲中出現(xiàn)的最大點(diǎn)數(shù)次前nnXn.1,也是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程nXn. 6, 5, 4, 3, 2, 1狀態(tài)空間都是例5:(熱噪聲電壓)電子元件或器件由于內(nèi)部微觀粒子（如電子）的隨機(jī)熱騷動(dòng)所引起的端電壓稱

6、為熱噪聲電壓，在無(wú)線電通訊技術(shù)中，接收機(jī)在接收信號(hào)時(shí)，機(jī)內(nèi)的熱噪聲電壓要對(duì)信號(hào)產(chǎn)生持續(xù)的干擾，為要消除這種干擾（假設(shè)沒(méi)有其他干擾因素），就必須考慮熱噪聲電壓隨時(shí)間變化的過(guò)程，現(xiàn)以電阻的熱噪聲電壓為例說(shuō)明這種變化過(guò)程的描述方法，我們通過(guò)某種裝置對(duì)電阻兩端的熱噪聲電壓進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的測(cè)量，并把結(jié)果記錄下來(lái)，作為一次試驗(yàn)結(jié)果，便得到一個(gè)電壓-時(shí)間函數(shù)（即電壓關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)）V1(t),如圖.它在任一確定時(shí)刻的值是隨機(jī)變量.0, )(是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程電壓的變化過(guò)程ttV. ),( :狀態(tài)空間一次測(cè)得的電壓時(shí)間函數(shù)是一個(gè)樣本函數(shù).二、隨機(jī)過(guò)程的分類1 1按狀態(tài)和時(shí)間是可列集還是連續(xù)集分類按狀態(tài)和時(shí)間是可列集

7、還是連續(xù)集分類：(1). 連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程:T是連續(xù)集,且tT,X( (t) )是連續(xù)型隨機(jī)變量,則稱過(guò)程X( (t) ),tT為連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程.(2).離散型隨機(jī)過(guò)程:T是連續(xù)集，且tT,X( (t) )是是離散型隨機(jī)變量，則稱過(guò)程X( (t) ),tT為離散型隨機(jī)過(guò)程。(3).連續(xù)型隨機(jī)序列: T是可列集,且tT,X( (t) )是連續(xù)型隨機(jī)變量，則稱過(guò)程X( (t) ),tT為連續(xù)型隨機(jī)序列. (4).離散型隨機(jī)序列:T是可列集, 且tT, X( (t) )為離散型隨機(jī)變量, 則稱過(guò)程X( (t) ),tT為離散型隨機(jī)序列。通常T取為T =0,1,2或T =0, 1，2,此時(shí)隨機(jī)序列常記成

8、Xn,n=0,1,或Xn,n0。 2 2按分布特性分類：按分布特性分類： 依照過(guò)程在不同時(shí)刻狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)依賴關(guān)系分類。例如：獨(dú)立增量過(guò)程，馬爾可夫過(guò)程，平穩(wěn)過(guò)程等。 1 1n n維分布函數(shù)：維分布函數(shù)： 設(shè)X( (t) ),tT是隨機(jī)過(guò)程，對(duì)于任意整數(shù)n1及T中任意n個(gè)不同的參數(shù)t1,t2，tn，稱隨機(jī)向量（X(t1),X(t2),X(tn)）的分布函數(shù) )(,)(,)(,;,nnnnxtXxtXxtXPtttxxxF 22112121為隨機(jī)過(guò)程X( (t) ),tT的n維分布函數(shù).三、隨機(jī)過(guò)程的概率分布 變化n及t1,t2，tn所得到的有限維分布函數(shù)的全體 1212121nTtTttttttx

9、xxFFnnn,;,稱為X( (t) ),tT的有限維分布函數(shù)族。 當(dāng)n=1時(shí),得到一維分布函數(shù)F( (x; ;t)=)=PPX( (t)x ,一維分布函數(shù)的全體 F( (x; ;t), ), tT 稱為一維分布函數(shù)族.2 2隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征 函數(shù)TttXEtX ),()( 為X( (t) ),tT的均方值函數(shù)均方值函數(shù). )()(tXEtX22 為X( (t) ),tT的方差函數(shù)方差函數(shù). . )()()(tXDtDtXX 2 為X( (t) ),tT的協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù). )()()()()(),(),(ttXssXEtXsXCovtsCXXX 為X( (t) ),t

10、T的均值函數(shù)均值函數(shù). Rx(s,t)=EX(s)X(t)為X( (t) ),tT的自相關(guān)函數(shù)，簡(jiǎn)稱相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù) 3.諸數(shù)字特征的關(guān)系：諸數(shù)字特征的關(guān)系： )()(),()(ttttCtXXXX222 )()(),(),(),()(tstsRtsCttRtXXXXXX 2例6: 設(shè)隨機(jī)過(guò)程 X(t)=Ycost+Zsint,t0,其中Y,Z是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且E(Y)=E(Z)=0,D(Y)=D(Z)= 2，求X(t),t0均值函數(shù) x x(t)和自相關(guān)函數(shù)Rx x(s,t)。 解: x x(t)=EX(t)=EYcost+Zsint因?yàn)閅與Z相互獨(dú)立,于是 =costE(Y)+sin

11、t E(Z)=0, sincossincos)()(),(tZtYsZsYEtXsXEtsRX )(sinsin)(coscos22ZEtsYEts )(cos2st 解: 的概率密度為 )2 , 0(0)2 , 0(21)( f于是 )cos()()(taEtXEtX )cos()cos()()(),(2 tsaEtXsXEtsRX dtsa21coscos202 sta cos22.2)(),()(222atttRtXXX 例7: 考慮隨機(jī)過(guò)程 X(t)=acos(t+),t(-,+) 其中a和是常數(shù)，是在（0，2）上服從均勻分布的隨機(jī)變量，通常稱此隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)相位正弦波，求隨機(jī)相位正弦

12、波的均值函數(shù)，方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù). 021)cos(20dta例8: 設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)=Y+Zt, tT=(-,+),其中Y，Z是相互獨(dú)立的服從N(0,1)的隨機(jī)變量，求 X(t),-t+的一，二維概率密度。解: tT，由正態(tài)分布的性質(zhì)知X(t)服從正態(tài)分布:EX(t)=E(Y)+tE(Z)=0, DX(t)=D(Y)+t 2 D(Z)=1+t 2 所以一維概率密度為 )()(),(22122121txettxf 又由正態(tài)分布的性質(zhì)知，對(duì)于任意 s,tT， ( (X( (s),),X( (t)服從二維正態(tài)分布而 tsZtYZsYEtsRtsCXX 1),(),( 22111,tststsX

13、 EX(s)= EX(t)=0；DX(s)=1+s2 ,DX(t)=1+t2 所以二維概率密度為 2222222121212122222121211)1)(1 (21)1 (21exp1)1)(1 (21),;,(txttxxtxttttxxf其中=x x( (t1 1, t2 2) ). 四、二維隨機(jī)過(guò)程 1定義定義： X( (t) )、Y( (t) )為定義在同一樣本空間和同一參數(shù)集T上的隨機(jī)過(guò)程，對(duì)于任意t T，若( (X( (t),),Y( (t)是二維隨機(jī)變量，則稱( (X( (t),),Y( (t),t T為二維隨機(jī)過(guò)程。 2有限維分布函數(shù)和獨(dú)立性有限維分布函數(shù)和獨(dú)立性(1)( (

14、X( (t),),Y( (t),t T為二維隨機(jī)過(guò)程,對(duì)于任意的正整數(shù)n和m，以及任意的t1 1, ,t2 2, , ,tn n；t1 1, t2 2,tm m T ，稱n+m元函數(shù) F(x1,x2,xn；y1,y2,ym；t1,t2,tn；t1,t2,tm) =PX(t1)x1, X(tn) xn；Y(t1) y1,Y(tm) ym為( (X( (t),),Y( (t),t T的n+m維分布函數(shù)，類似的可定義有限維分布函數(shù)族。 （2）若對(duì)于任意的正整數(shù)n和m，以及任意的t1 1, ,t2 2, , ,tn n；t1 1, t2 2,tm m T，任意的x1 1,x2 2,xn n；y1 1,

15、y2 2,ym m R,有 F(x1,x2,xn；y1,y2,ym；t1,t2,tn；t1,t2,tm)=FX Xx1 , xn;t1 , tn FY Yy1, ym;t1 , tm 稱X( (t) )與Y( (t) )相互獨(dú)立，其中FX，F(xiàn)Y分別為X( (t) )，Y( (t) )的有限維分布函數(shù). 3 3二維隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征二維隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征(1) 互相關(guān)函數(shù): 稱 RXY(s,t)=EX(s)Y(t) 為( (X( (t),),Y( (t),t T的互相關(guān)函數(shù). 若對(duì)于任意的s,tT, RXY(s,t)=0,稱X( (t) )與Y( (t) )正交. (2)互協(xié)方差函數(shù)： )()(

16、)()(),(ttYssXEtsCYXXY稱為( (X( (t),),Y( (t),t T的互協(xié)方差函數(shù).顯然)()(),(),(tstsRtsCYXXYXY若X( (t) ),Y( (t) )相互獨(dú)立，且二階矩存在，則X( (t) ),Y( (t) )不相關(guān). 若對(duì)于任意的s,tT,有CXY(s,t)=0, 稱X( (t) ),Y( (t) )不相關(guān). 例9: 設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X X( (t t) )=Ucost+Vsintt+Vsint和 Y Y( (t t)=)=UsinUsint t + +VcostVcost，其中U和V獨(dú)立,E(U)=E(V)=0,E(U2)=E(V2)=C2.求互

17、相關(guān)函數(shù)R RXYXY(s(s，t)t)的表達(dá)式.)()(),(tYsXEtsRXY)sincos)(sincos(tVtUsVsUECtsUVEtstsCts22cossin)(sinsincoscossincos解:)sin(2tsC例10: 設(shè)X( (t) )為信號(hào)過(guò)程,Y( (t) )為噪聲過(guò)程，令W( (t) )=X( (t) )+Y( (t) )，則 (1) W( (t) )的均值函數(shù)為注：兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的之和的自相關(guān)函數(shù)為各個(gè)隨機(jī)過(guò)程的相關(guān)函數(shù)與它們的互相關(guān)函數(shù)之和。若兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的均值函數(shù)均恒為零，且互不相關(guān)時(shí)，有 RW(s,t)= Rx(s,t)+RY Y(s,t) W(t)= X(t)+ Y(t). (2) 其自相關(guān)函數(shù)為 RW(s,t)=EX( (s s) )+Y( (s s) )X( (t) )+Y( (t) ) =RX(s,t)+RXY(s,t)+RYX(s,t)+RY(s,t) 五、復(fù)隨機(jī)過(guò)程 1定義定義： X( (t) )、Y( (t) )為定義在同一樣本空間和同一參數(shù)集T上的實(shí)隨機(jī)過(guò)程，則稱Z(tZ(t)=)=X( (t)+i)+iY( (t) )為復(fù)隨機(jī)過(guò)程。 2 2隨機(jī)過(guò)