函數(shù)極值和其求法

1、整理課件整理課件函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法 由單調(diào)性的判定法則，結(jié)合函數(shù)的圖形可知，由單調(diào)性的判定法則，結(jié)合函數(shù)的圖形可知，曲線在升、降轉(zhuǎn)折點(diǎn)處形成曲線在升、降轉(zhuǎn)折點(diǎn)處形成“峰峰”、“谷谷”，函，函數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值大于或小于兩側(cè)附近各點(diǎn)數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值大于或小于兩側(cè)附近各點(diǎn)處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點(diǎn)，無論處的函數(shù)值。函數(shù)的這種性態(tài)以及這種點(diǎn)，無論在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都具有重要的意義，在理論上還是在實(shí)際應(yīng)用上都具有重要的意義，值得我們作一般性的討論值得我們作一般性的討論.整理課件整理課件一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x

2、6xoxyoxy0 x0 x整理課件整理課件二、函數(shù)極值的求法二、函數(shù)極值的求法 設(shè)設(shè))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x處具有導(dǎo)數(shù)處具有導(dǎo)數(shù), ,且且在在0 x處取得極值處取得極值, ,那末必定那末必定0)(0 xf. .定理定理1 1( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實(shí)根的實(shí)根即方程即方程使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)xfxf 注意注意:.,)(是極值點(diǎn)是極值點(diǎn)但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定但函數(shù)的駐點(diǎn)卻不一定點(diǎn)點(diǎn)的極值點(diǎn)必定是它的駐的極值點(diǎn)必定是它的駐可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)xf例如例如,3xy , 00 xy.0不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)但但 x整理課件整理課件注注這個(gè)結(jié)論又稱為

3、這個(gè)結(jié)論又稱為Fermat定理定理如果一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在所論區(qū)間上沒有駐點(diǎn)如果一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)在所論區(qū)間上沒有駐點(diǎn) 則此函數(shù)沒有極值，此時(shí)導(dǎo)數(shù)不改變符號則此函數(shù)沒有極值，此時(shí)導(dǎo)數(shù)不改變符號不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)可疑極值點(diǎn)：可疑極值點(diǎn)：駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn) 可疑極值點(diǎn)是否是真正的極值點(diǎn)，還須進(jìn)一步可疑極值點(diǎn)是否是真正的極值點(diǎn)，還須進(jìn)一步判明。由單調(diào)性判定法則知，若可疑極值點(diǎn)的左、判明。由單調(diào)性判定法則知，若可疑極值點(diǎn)的左、右兩側(cè)鄰近，導(dǎo)數(shù)分別保持一定的符號，則問題右兩側(cè)鄰近，導(dǎo)數(shù)分別保持一定的符號，則問題即可得到解決。即可得到解決。整理課件整理課件(1)(1)如果如果),(

4、00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, , 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值. .(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值. .(3)(3)如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時(shí)時(shí), , )(xf符號相同符號相同, ,則則)(xf在在0 x處無極值處無極值. .定理2(第一充分條件)xyoxyo0 x0 x (是極值點(diǎn)情形是極值點(diǎn)情形)000(, )fxUx設(shè) 在點(diǎn) 連續(xù)，在某鄰域內(nèi)可導(dǎo)整理課件整理課件xyoxyo

5、0 x0 x 求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù);0)()2(的根的根求駐點(diǎn)，即方程求駐點(diǎn)，即方程 xf;,)()3(判斷極值點(diǎn)判斷極值點(diǎn)在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號檢查檢查xf .)4(求極值求極值(不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形)整理課件整理課件00,( )xxfx0因?yàn)樵趨^(qū)間上，000 (,);f(x)f(x )xxx00,( )xxf x所以在區(qū)間上單調(diào)增( )f x所以單調(diào)減0( ) f x故為極大值000( )( ) ,f xf xxx x(1),(2)(3) 證 只證與類似證明。00,( )0 xx xf x當(dāng)時(shí)，整理課件整理課件例1解963)(2

6、 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)列表討論列表討論x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00 極大值極大值極小值極小值)3(f極小值極小值.22 )1( f極大值極大值,10 )3)(1(3 xx32( )395.f xxxx求出函數(shù)的極值整理課件整理課件593)(23 xxxxfMm圖形如下圖形如下整理課件整理課件2例32( )(1).f xxx求函數(shù)的極值解232(1)( )33xfxxx3523xx( )02fxx5令得駐點(diǎn)；0( )xfx當(dāng)時(shí)，不存在列表討論如下：32 0(0)0( )20523xxff525 為極大點(diǎn)，為極小點(diǎn)，

7、極大值，極小值222 (, 0) 0 (0,) (,) 555x 33 0( 20 25f(x) 極大）（極小） f (x) 不存在0整理課件整理課件定理定理3(3(第二充分條件第二充分條件) )證證)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 異異號號，與與故故xxfxxf )()(00時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 x)()(00 xfxxf 有有, 0 所以所以,函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值整理課件整理課件例3解解.20243)(23的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)( xf.

8、 2, 421 xx得得駐駐點(diǎn)點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f, 018 )4( f故故極極大大值值,60 )2(f, 018 )2(f故故極極小小值值.48 20243)(23 xxxxf圖形如下圖形如下整理課件整理課件Mm注意注意: :. 2,)(,0)(00仍仍用用定定理理處處不不一一定定取取極極值值在在點(diǎn)點(diǎn)時(shí)時(shí)xxfxf 整理課件整理課件例4解解.)2(1)(32的極值的極值求出函數(shù)求出函數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfx 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x. 0)( xf.)(1)2(的的極極大大值值

9、為為xff .)(在該點(diǎn)連續(xù)在該點(diǎn)連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf注意注意: :函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn)函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn),也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).M整理課件整理課件例例5)0(12,02 aeaxxxx時(shí)時(shí)證證明明證證xeaxxxf 12)(2記記xeaxxf 22)(則則（不易判明符號）（不易判明符號）xexf 2)(2ln0)( xxf得得令令0)(,2ln xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0)(,2ln xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)牡囊灰粋€(gè)個(gè)極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)是是)(2lnxfx 而且是一個(gè)最大值點(diǎn)，而且是一個(gè)最大值點(diǎn)， )2(ln)(fxf 222ln2 a0 )(,0 xfx時(shí)時(shí)0)0()( fxfxeaxx 122即即

10、整理課件整理課件例6 20( ).10 xxxf xxx求出函數(shù)的極值)ln1(2)(02xxxfxx 時(shí)時(shí)，.)(,0可可能能不不存存在在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xfx ,1 ex得駐點(diǎn)得駐點(diǎn)無駐點(diǎn)，無駐點(diǎn)，時(shí)，時(shí)，, 1)(0 xfx, 01 exx有兩個(gè)可疑點(diǎn)：有兩個(gè)可疑點(diǎn)：是是極極小小值值的的極極大大值值，為為經(jīng)經(jīng)判判斷斷知知，)()(1)0(1 efxff.)(在該點(diǎn)連續(xù)在該點(diǎn)連續(xù)但函數(shù)但函數(shù)xf解解整理課件整理課件定理定理4 4 ( (判別法的推廣判別法的推廣) )0( )f xxn若函數(shù)在點(diǎn)有直到階導(dǎo),0)()()(0)1(00 xfxfxfn,0)(0)(xfn則:數(shù) , 且1) 當(dāng)當(dāng) 為偶數(shù)

11、為偶數(shù)時(shí)時(shí),n,0)(0)(時(shí)xfn0 x是極小點(diǎn)是極小點(diǎn) ;,0)(0)(時(shí)xfn0 x是極大點(diǎn)是極大點(diǎn) .2) 當(dāng)當(dāng) 為奇數(shù)為奇數(shù)時(shí)時(shí),n0 x為極值點(diǎn)為極值點(diǎn) , 且且0 x不是極值點(diǎn)不是極值點(diǎn) .)()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0 xfxf)(0nxxonnxxnxf)(!)(00)(當(dāng)當(dāng) 充分接近充分接近 時(shí)時(shí), 上式左端正負(fù)號由右端第一項(xiàng)確定上式左端正負(fù)號由右端第一項(xiàng)確定 ,0 xx故結(jié)論正確故結(jié)論正確 .證證: 利用利用 在在 點(diǎn)的泰勒公式點(diǎn)的泰勒公式 ,)(xf0 x可得可得整理課件整理課件三、最值的求法三、最值的求法o

12、xyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上上的的最最大大值值與與最最小小值值存存在在為為零零的的點(diǎn)點(diǎn)，則則并并且且至至多多有有有有限限個(gè)個(gè)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)處處可可導(dǎo)導(dǎo)，上上連連續(xù)續(xù)，除除個(gè)個(gè)別別點(diǎn)點(diǎn)外外處處在在若若函函數(shù)數(shù)baxfbaxf整理課件整理課件)1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例7. 7. 求函數(shù)求函數(shù)xxxxf1292)(23在閉區(qū)間在閉區(qū)間,2541上的最大值和最小值上的最大值和最小值 .解解: 顯然顯然, ,)(2541Cxf且且)(xf, )1292(23xxx,129223xxx)(xf121862

13、xx121862xx內(nèi)有極值可疑點(diǎn)在,)(2541xf2, 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(25f故函數(shù)在故函數(shù)在0 x取最小值取最小值 0 ; 在在1x及及25取最大值取最大值 5., )2)(1(6xx, )2)(1(6xx整理課件整理課件點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停暫停例例8 8敵人乘汽車從河的北岸敵人乘汽車從河的北岸A處以處以1千米千米/分鐘分鐘的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸南岸B處向正東追擊，處向正東追擊，速度為速度為2千米千米/分鐘分鐘問我軍摩托車何問我軍摩托車何時(shí)射

14、擊最好（相時(shí)射擊最好（相距最近射擊最好）？距最近射擊最好）？整理課件整理課件解解公公里里5 . 0(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系建立敵我相距函數(shù)關(guān)系).(分分追擊至射擊的時(shí)間追擊至射擊的時(shí)間處發(fā)起處發(fā)起為我軍從為我軍從設(shè)設(shè)Bt敵我相距函數(shù)敵我相距函數(shù)22)24()5 . 0()(ttts 公公里里4B A )(ts)(ts.)()2(的的最最小小值值點(diǎn)點(diǎn)求求tss )(ts.)24()5 . 0(5 . 7522ttt , 0)( ts令令得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn). 5 . 1 t.5 . 1分分鐘鐘射射擊擊最最好好處處發(fā)發(fā)起起追追擊擊后后故故得得我我軍軍從從B整理課件整理課件思考題思考題下命題正確嗎？下命題正確嗎？ 如如果果0 x為為)(xf的的極極小小值值點(diǎn)點(diǎn)，那那么么必必存存在在0 x的的某某鄰鄰域域，在在此此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)，)(xf在在0 x的的左左側(cè)側(cè)下下降降，而而在在0 x的的右右側(cè)側(cè)上上升升.整理課件整理課件思考題解答思考題解答不正確不正確例例 0, 20),1