五年級不規(guī)則圖形面積計算

1、精選文檔五班級不規(guī)章圖形面積計算我們曾經(jīng)學過的三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形、菱形、圓和扇形等圖形，一般稱為基本圖形或規(guī)章圖形.我們的面積及周長都有相應的公式直接計算.如下表：實際問題中，有些圖形不是以基本圖形的外形消滅，而是由一些基本圖形組合、拼湊成的，它們的面積及周長無法應用公式直接計算.一般我們稱這樣的圖形為不規(guī)章圖形。那么，不規(guī)章圖形的面積及周長怎樣去計算呢？我們可以針對這些圖形通過實施割補、剪拼等方法將它們轉化為基本圖形的和、差關系，問題就能解決了。一、例題與方法指導例1如右圖，甲、乙兩圖形都是正方形，它們的邊長分別是10厘米和12厘米.求陰影部分的面積。思路導航：陰影部分

2、的面積等于甲、乙兩個正方形面積之和減去三個“空白”三角形（ABG、BDE、EFG）的面積之和。例2如右圖，正方形ABCD的邊長為6厘米，ABE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，求三角形AEF的面積. 思路導航：ABE、ADF與四邊形AECF的面積彼此相等，四邊形 AECF的面積與ABE、ADF的面積都等于正方形ABCD的。在ABE中，由于AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，ECF的面積為2×2÷2=2。所以SAEF=S四邊形AECF-SECF=12-2=10（平方厘米）。BC例3兩塊等腰直角三角形的三角板，直角邊分別是10厘米和6厘米。如右圖那樣

3、重合.求重合部分（陰影部分）的面積。思路導航：在等腰直角三角形ABC中AB=10EF=BF=AB-AF=10-6=4，陰影部分面積=SABG-SBEF=25-8=17（平方厘米）。例4如右圖，A為CDE的DE邊上中點，BC=CD，若ABC（陰影部分）面積為5平方厘米.求ABD及ACE的面積.思路導航：取BD中點F，連結AF.由于ADF、ABF和ABC等底、等高，所以它們的面積相等，都等于5平方厘米.ACD的面積等于15平方厘米，ABD的面積等于10平方厘米。又由于ACE與ACD等底、等高，所以ACE的面積是15平方厘米。二、鞏固訓練1.如右圖，在正方形ABCD中，三角形ABE的面積是8平方厘米

4、，它是三角形DEC的面積的，求正方形ABCD的面積。解：過E作BC的垂線交AD于F。在矩形ABEF中AE是對角線，所以SABE=SAEF=8.在矩形CDFE中DE是對角線，所以SECD=SEDF。D2.如右圖，已知：SABC=1，AE=ED,BD=BC.求陰影部分的面積。解：連結DF。AE=ED，SAEF=SDEF；SABE=SBED 3.如右圖，正方形ABCD的邊長是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的長DG為5厘米，求它的寬DE等于多少厘米？解：連結AG，自A作AH垂直于DG于H，在ADG中，AD=4，DC=4（AD上的高）.SAGD=4×4÷2=8，又DG=5，SAG

5、D=AH×DG÷2，AH=8×2÷5=3.2（厘米），DE=3.2（厘米）。4.如右圖，梯形ABCD的面積是45平方米，高6米，AED的面積是5平方米，BC=10米，求陰影部分面積.解：梯形面積=（上底+下底）×高÷2即45=（AD+BC）×6÷2，45=（AD+10）×6÷2，AD=45×2÷6-10=5米。ADE的高是2米。 EBC的高等于梯形的高減去ADE的高，即6-2=4米，5.如右圖，四邊形ABCD和DEFG都是平行四邊形，證明它們的面積相等.證明：連結CE，ABC

6、D的面積等于CDE面積的2倍，而 DEFG的面積也是CDE面積的2倍。 ABCD的面積與 DEFG的面積相等。（1） 不規(guī)章圖形面積計算（2）不規(guī)章圖形的另外一種狀況，就是由圓、扇形、弓形與三角形、正方形、長方形等規(guī)章圖形組合而成的，這是一類更為簡單的不規(guī)章圖形，為了計算它的面積，經(jīng)常要變動圖形的位置或對圖形進行適當?shù)姆指?、拼補、旋轉等手段使之轉化為規(guī)章圖形的和、差關系，同時還常要和“容斥原理”（即：集合A與集合B之間有：SABSASb-SAB）合并使用才能解決。1、 例題與方法指導例1.如右圖，在一個正方形內(nèi)，以正方形的三條邊為直徑向內(nèi)作三個半圓.求陰影部分的面積。解法1：把上圖靠下邊的半圓

7、換成（面積與它相等）右邊的半圓，得到右圖.這時，右圖中陰影部分與不含陰影部分的大小外形完全一樣，因此它們的面積相等.所以上圖中陰影部分的面積等于正方形面積的一半。解法2：將上半個“弧邊三角形”從中間切開，分別補貼在下半圓的上側邊上，如右圖所示.陰影部分的面積是正方形面積的一半。解法3：將下面的半圓從中間切開，分別貼補在上面弧邊三角形的兩側，如右圖所示.陰影部分的面積是正方形的一半.例2.如右圖，正方形ABCD的邊長為4厘米，分別以B、D為圓心以4厘米為半徑在正方形內(nèi)畫圓，求陰影部分面積。解：由容斥原理 S陰影S扇形ACBS扇形ACD-S正方形ABCD例3如右圖，矩形ABCD中，AB6厘米，BC

8、4厘米，扇形ABE半徑AE6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求陰影部分的面積。例4.如右圖，直角三角形ABC中，AB是圓的直徑，且AB20厘米，假如陰影（）的面積比陰影（）的面積大7平方厘米，求BC長。分析 已知陰影（）比陰影（）的面積大7平方厘米，就是半圓面積比三角形ABC面積大7平方厘米；又知半圓直徑AB20厘米，可以求出圓面積.半圓面積減去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面積，進而求出三角形的底BC的長.2、 鞏固訓練1.如右圖，兩個正方形邊長分別是10厘米和6厘米，求陰影部分的面積。分析 陰影部分的面積，等于底為16、高為6的直角三角形面積與圖中（I）的面積之差。而（I）的面積等于

9、邊長為6的正方形的面積減去以6為半徑的圓的面積。2.如右圖，將直徑AB為3的半圓繞A逆時針旋轉60°，此時AB到達AC的位置，求陰影部分的面積（取=3）. 解：整個陰影部分被線段CD分為和兩部分，以AB為直徑的半圓被 弦AD分成兩部分，設其中AD右側的部分面積為S，由于弓形AD是兩個半圓的公共部分，去掉AD弓形后，兩個半圓的剩余部分面積相等.即=S，由于：3.如右圖，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求陰影部分的面積.4.如下頁右上圖，ABC是等腰直角三角形，D是半圓周上的中點，BC是半圓的直徑，且AB=BC=10，求陰影部分面積（取3.14）。解：三角形ABC是等腰直角三角

10、形，以AC為對角線再作一個全等的等腰直角三角形ACE，則ABCE為正方形（利用對稱性質(zhì)）?？偨Y：對于不規(guī)章圖形面積的計算問題一般將它轉化為若干基本規(guī)章圖形的組合，分析整體與部分的和、差關系，問題便得到解決.常用的基本方法有：一、 相加法：這種方法是將不規(guī)章圖形分解轉化成幾個基本規(guī)章圖形，分別計算它們的面積，然后相加求出整個圖形的面積.例如，右圖中，要求整個圖形的面積，只要先求出上面半圓的面積，再求出下面正方形的面積，然后把它們相加就可以了. 二、 相減法：這種方法是將所求的不規(guī)章圖形的面積看成是若干個基本規(guī)章圖形的面積之差.例如，右圖，若求陰影部分的面積，只需先求出正方形面積再減去里面圓的面積

11、即可. 三、 直接求法：這種方法是依據(jù)已知條件，從整體動身直接求出不規(guī)章圖形面積.如下頁右上圖，欲求陰影部分的面積，通過分析發(fā)覺它就是一個底是2，高為4的三角形，面積可直接求出來。四、 重新組合法：這種方法是將不規(guī)章圖形拆開，依據(jù)具體狀況和計算上的需要，重新組合成一個新的圖形，設法求出這個新圖形面積即可.例如，欲求右圖中陰影部分面積，可以把它拆開使陰影部分分布在正方形的4個角處，這時接受相減法就可求出其面積了.五、 幫助線法：這種方法是依據(jù)具體狀況在圖形中添一條或若干條幫助線，使不規(guī)章圖形轉化成若干個基本規(guī)章圖形，然后再接受相加、相減法解決即可.如右圖，求兩個正方形中陰影部分的面積.此題雖然可

12、以用相減法解決，但不如添加一條幫助線后用直接法作更簡便. 六、 割補法：這種方法是把原圖形的一部分切割下來補在圖形中的另一部分使之成為基本規(guī)章圖形，從而使問題得到解決.例如，如右圖，欲求陰影部分的面積，只需把右邊弓形切割下來補在左邊，這樣整個陰影部分面積恰是正方形面積的一半. 七、 平移法：這種方法是將圖形中某一部分切割下來平行移動到一恰當位置，使之組合成一個新的基本規(guī)章圖形，便于求出面積.例如，如右圖，欲求陰影部分面積，可先沿中間切開把左邊正方形內(nèi)的陰影部分平行移到右邊正方形內(nèi)，這樣整個陰影部分恰是一個正方形。八、 旋轉法：這種方法是將圖形中某一部分切割下來之后，使之沿某一點或某一軸旋轉肯定

13、角度貼補在另一圖形的一側，從而組合成一個新的基本規(guī)章的圖形，便于求出面積.例如，欲求圖（1）中陰影部分的面積，可將左半圖形繞B點逆時針方向旋轉180°，使A與C重合，從而構成如右圖（2）的樣子，此時陰影部分的面積可以看成半圓面積減去中間等腰直角三角形的面積.九、 對稱添補法：這種方法是作出原圖形的對稱圖形，從而得到一個新的基本規(guī)章圖形.原來圖形面積就是這個新圖形面積的一半.例如，欲求右圖中陰影部分的面積，沿AB在原圖下方作關于AB為對稱軸的對稱扇形ABD.弓形CBD的面積的一半就是所求陰影部分的面積。十、重疊法：這種方法是將所求的圖形看成是兩個或兩個以上圖形的重疊部分，然后運用“容斥

14、原理”（SABSASB-SAB）解決。例如，欲求右圖中陰影部分的面積，可先求兩個扇形面積的和，減去正方形面積，由于陰影部分的面積恰好是兩個扇形重疊的部分.2010年五班級奧數(shù)題：圖形與面積（B）一、填空題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1（3分）如圖是由16個同樣大小的正方形組成的，假如這個圖形的面積是400平方厘米，那么它的周長是_厘米2（3分）第一屆保良局亞洲區(qū)城市學校數(shù)學邀請賽在7月21日開幕，下面的圖形中，每一小方格的面積是1那么7，2，1三個數(shù)字所占的面積之和是_3（3分） 如圖中每一小方格的面積都是1平方厘米，那么用粗線圍成的圖形面積是_平方厘米4（3分）（2014長沙模擬）

15、如圖的兩個正方形，邊長分別為8厘米和4厘米，那么陰影部分的面積是_平方厘米5（3分）在ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知ABC的面積是18平方厘米，則四邊形AEDC的面積等于_平方厘米6（3分）如圖是邊長為4厘米的正方形，AE=5厘米、OB是_厘米7（3分） 如圖正方形ABCD的邊長是4厘米，CG是3厘米，長方形DEFG的長DG是5厘米，那么它的寬DE是_厘米8（3分）如圖，一個矩形被分成10個小矩形，其中有6個小矩形的面積如圖所示，那么這個大矩形的面積是_9（3分）如圖，正方形ABCD的邊長為12，P是邊AB上的任意一點，M、N、I、H分別是邊BC、AD上的三等分點，E、F、G是邊CD

16、上的四等分點，圖中陰影部分的面積是_10（3分） 圖中的長方形的長和寬分別是6厘米和4厘米，陰影部分的總面積是10平方厘米，四邊形ABCD的面積是_平方厘米二、解答題（共4小題，滿分0分）11圖中正六邊形ABCDEF的面積是54AP=2PF，CQ=2BQ，求陰影四邊形CEPQ的面積12如圖，涂陰影部分的小正六角星形面積是16平方厘米問：大正六角星形面積是多少平方厘米13一個周長是56厘米的大長方形，按圖中（1）與（2）所示意那樣，劃分為四個小長方形在（1）中小長方形面積的比是：A：B=1：2，B：C=1：2而在（2）中相應的比例是A'：B'=1：3，B'：C'=

17、1：3又知，長方形D'的寬減去D的寬所得到的差，與D'的長減去在D的長所得到的差之比為1：3求大長方形的面積14（2012武漢模擬）如圖，已知CD=5，DE=7，EF=15，F(xiàn)G=6，直線AB將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38，右邊部分面積是65，那么三角形ADG的面積是_2010年五班級奧數(shù)題：圖形與面積（B）參考答案與試題解析一、填空題（共10小題，每小題3分，滿分30分）1（3分）如圖是由16個同樣大小的正方形組成的，假如這個圖形的面積是400平方厘米，那么它的周長是170厘米考點：巧算周長菁優(yōu)網(wǎng)版權全部分析：要求該圖形的周長，先求出每個小正方形的面積，依據(jù)正方形的面積

18、公式，得出小正方形的邊長，然后先算出該圖形的外周的長，由于內(nèi)、外的長相等，再乘2即可得出結論解答：解：400÷16=25（平方厘米），由于5×5=25（平方厘米），所以每個小正方形的邊長為5厘米，周長為：（5×4+5×4+5×3+5×2+5×3+5）×2，=85×2，=170（厘米）；答：它的周長是170厘米點評：此類題解答的關鍵是先求出每個小正方形的面積，依據(jù)正方形的面積公式，得出小正方形的邊長，進而算出該圖形的外周的長，由于內(nèi)、外的長相等，再乘2即可得出結論2（3分）第一屆保良局亞洲區(qū)城市學校數(shù)學邀請

19、賽在7月21日開幕，下面的圖形中，每一小方格的面積是1那么7，2，1三個數(shù)字所占的面積之和是25考點：組合圖形的面積菁優(yōu)網(wǎng)版權全部分析：此題需要進行圖形分解：“7”分成一個長方形、一個等腰直角三角形、一個平行四邊形；“2”分成一個梯形、一個平行四邊形、一個長方形；“1”分成一個梯形和兩個長方形然后進行圖形轉換，依據(jù)題目條件即可求出結果解答：解：“7”所占的面積和=+3+4=，“2”所占的面積和=3+4+3=10，“1”所占的面積和=+7=，那么7，2，1三個數(shù)字所占的面積之和=+10=25故答案為：25點評：此題關鍵是進行圖形分解和轉換3（3分） 如圖中每一小方格的面積都是1平方厘米，那么用粗

20、線圍成的圖形面積是6.5平方厘米考點：組合圖形的面積菁優(yōu)網(wǎng)版權全部分析：由圖可以觀看出：大正方形的面積減粗線以外的圖形面積即為粗線圍成的圖形面積解答：解：大正方形的面積為4×4=16（平方厘米）；粗線以外的圖形面積為：整格有3個，左上，右上，右中，右下，左中，右中，共有3+5×=9.5（平方厘米）；所以粗線圍成的圖形面積為169.5=6.5（平方厘米）；答：粗線圍成的圖形面積是6.5平方厘米故此題答案為：6.5點評：此題關鍵是對圖形進行合理地割補4（3分）（2014長沙模擬）如圖的兩個正方形，邊長分別為8厘米和4厘米，那么陰影部分的面積是24平方厘米考點：組合圖形的面積菁優(yōu)

21、網(wǎng)版權全部分析：兩個正方形的面積減去兩個空白三角形的面積解答：解：4×4+8×8×4×（4+8）×8×8，=16+642432，=24（cm2）；答：陰影的面積是24cm2故答案為：24點評：求組合圖形面積的化為求常用圖形面積的和與差求解5（3分）在ABC中，BD=2DC，AE=BE，已知ABC的面積是18平方厘米，則四邊形AEDC的面積等于12平方厘米考點：相像三角形的性質(zhì)（份數(shù)、比例）；三角形的周長和面積菁優(yōu)網(wǎng)版權全部分析：依據(jù)題意，連接AD，即可知道ABD和ADC的關系，ADE和BDE的關系，由此即可求出四邊形AEDC的面積解答

22、：解：連接AD，由于BD=2DC，所以，SABD=2SADC，即，SABD=18×=12（平方厘米），又由于，AE=BE，所以，SADE=SBDE，即，SBDE=12×=6（平方厘米），所以AEDC的面積是：186=12（平方厘米）；故答案為：12點評：解答此題的關鍵是，依據(jù)題意，添加幫助線，掛念我們找到三角形之間的關系，由此即可解答6（3分）如圖是邊長為4厘米的正方形，AE=5厘米、OB是3.2厘米考點：組合圖形的面積菁優(yōu)網(wǎng)版權全部分析：連接BE、AF可以看出，三角形ABE的面積是正方形面積的一半，再依據(jù)三角形面積公式就可以求出OB的長度解答：解：如圖連接BE、AF，則B

23、E與AF相交于D點SADE=SBDF則SABE=S正方形=×（4×4）=8（平方厘米）；OB=8×2÷5=3.2（厘米）；答：OB是3.2厘米故答案為：3.2點評：此題主要考查三角形和正方形的面積公式，將數(shù)據(jù)代入公式即可7（3分） 如圖正方形ABCD的邊長是4厘米，CG是3厘米，長方形DEFG的長DG是5厘米，那么它的寬DE是3.2厘米考點：組合圖形的面積菁優(yōu)網(wǎng)版權全部分析：連接AG，則可以依據(jù)題目條件求出三角形AGD的面積，由于DG已知，進而可以求三角形AGD的高，也就是長方形的寬，問題得解解答：解：如圖連接AGSAGD=S正方形ABCDSCDGSAB

24、G，=4×43×4÷21×4÷2=1662=8（平方厘米）；8×2÷5=3.2（厘米）；答：長方形的寬是3.2厘米故答案為：3.2點評：依據(jù)題目條件做出合適的幫助線，問題得解8（3分）如圖，一個矩形被分成10個小矩形，其中有6個小矩形的面積如圖所示，那么這個大矩形的面積是243考點：組合圖形的面積菁優(yōu)網(wǎng)版權全部分析：從圖中可以看出每上、下兩個小矩形的一個邊是相鄰的，也就是說長是相等的，那么依據(jù)矩形的面積公式知，假如長相同，面積之比也就是寬之比，反之寬之比也就是面積之比；由中間面積20和16的矩形，可以算出空著的小矩形面積，最

25、終把全部小矩形面積加起來就是大矩形的面積解答：解：由圖和題意知，中間上、下小矩形的面積比是：20：16=5：4，所以寬之比是5：4，那么，A：36=5：4得A=45；25：B=5：4得B=20；30：C=5：4得C=24；D：12=5：4得D=15；所以大矩形的面積=45+36+25+20+20+16+30+24+15+12=243；故答案為：243點評：此題考查了假如長方形的長相同，寬之比等于面積之比，還考查了比例的有關學問9（3分）如圖，正方形ABCD的邊長為12，P是邊AB上的任意一點，M、N、I、H分別是邊BC、AD上的三等分點，E、F、G是邊CD上的四等分點，圖中陰影部分的面積是60

26、考點：組合圖形的面積菁優(yōu)網(wǎng)版權全部分析：依據(jù)題意：正方形ABCD的邊長為12，P是邊AB上的任意一點，M、N、I、H分別是邊BC、AD上的三等分點，E、F、G是邊CD上的四等分點，可連接DP，然后再利用三角形的面積公式進行計算即可得到答案解答：解：陰影部分的面積=×DH×AP+×DG×AD+×EF×AD+×MN×BP=×4×AP+×3×12+×3×12+×4×BP=2AP+18+18+2BP=36+2×（AP+BP）=36+2

27、×12=36+24=60答：這個圖形陰影部分的面積是60點評：此題主要考查的是三角形的面積公式10（3分） 圖中的長方形的長和寬分別是6厘米和4厘米，陰影部分的總面積是10平方厘米，四邊形ABCD的面積是4平方厘米考點：重疊問題；三角形的周長和面積菁優(yōu)網(wǎng)版權全部分析：由于SEFC+SGHC=四邊形EFGH面積÷2=12，SAEF+SAGH=四邊形EFGH面積÷2=12，所以SABE+SADH=SBFC+SDGC=四邊形EFGH面積÷2陰影部分的總面積是10平方厘米=2平方厘米 所以：四邊形ABCD面積=SECH（SABE+SADH）=四邊形ABCD面積&

28、#247;42=62=4平方厘米解答：解：由題意推出：SABE+SADH=SBFC+SDGC=四邊形EFGH面積÷2陰影面積10平方厘米=2平方厘米所以：四邊形ABCD面積=SECH（SABE+SADH）=四邊形ABCD面積÷42=62=4平方厘米故答案為：4點評：此題在重疊問題中考查了三角形的周長和面積公式，此題設計的格外精彩二、解答題（共4小題，滿分0分）11圖中正六邊形ABCDEF的面積是54AP=2PF，CQ=2BQ，求陰影四邊形CEPQ的面積考點：等積變形（位移、割補）菁優(yōu)網(wǎng)版權全部分析：如圖，將正六邊形ABCDEF等分為54個小正三角形，依據(jù)平行四邊形對角線平分

29、平行四邊形面積，接受數(shù)小三角形的方法來計算面積解答：解：如圖，SPEF=3，SCDE=9，S四邊形ABQP=11上述三塊面積之和為3+9+11=23因此，陰影四邊形CEPQ面積為5423=31點評：此題主要利用面積分割，用數(shù)基本小三角形面積來解決問題12如圖，涂陰影部分的小正六角星形面積是16平方厘米問：大正六角星形面積是多少平方厘米考點：等積變形（位移、割補）菁優(yōu)網(wǎng)版權全部分析：由圖及題意知，可把涂陰影部分小正六角星形等分成12個小三角形，且都與外圍的6個空白小三角形面積相等，已知涂陰影部分的小正六角星形面積是16平方厘米，可求出大正六角星形中心正六邊形的面積，而這個正六邊形又可等分成6個小正三角形，且它們與外圍六個大角的面積相等，進而可求出大正六角星形面積解答：解：如下圖所示，涂陰影部分小正六角星形可等分成12個小三角形，且都與外圍的6個空白小三角形面積相等，所以正六邊形ABCDEF的面積：16÷12×（12+6）=24（平方厘米）；又由于正六邊形ABCDEF又可等分成6個小正三角形，且它們與外圍六個大角的面積相等，所以大正六角星形面積：24×2=48（平方厘米）；答：大正六角星形面積是48平方厘米點評：此題要借助求正六邊形的面積來解答，它既可看作是18個小正三角形，又