第二章(1) 數(shù)學(xué)模型(微分方程)A

1、教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)： 控制系統(tǒng)微分方程、控制系統(tǒng)微分方程、傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)、系統(tǒng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖。教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)： 根據(jù)根據(jù)系統(tǒng)工作系統(tǒng)工作原理圖繪制系統(tǒng)原理圖繪制系統(tǒng)”結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖”。教學(xué)內(nèi)容：教學(xué)內(nèi)容： 2.1 概述概述 2.2 控制系統(tǒng)微分方程的建立控制系統(tǒng)微分方程的建立 2.3 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 2.4 控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖 2.5 控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖 2.6 控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第二章第二章 連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1、控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)過(guò)程、控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)過(guò)程擬定方案器件組裝提出課題設(shè)計(jì)裝置試驗(yàn)調(diào)試性能測(cè)試修改設(shè)

2、計(jì)修改方案 系統(tǒng)設(shè)計(jì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)：根據(jù)用戶對(duì)被控對(duì)象性能的要求，設(shè)計(jì)控根據(jù)用戶對(duì)被控對(duì)象性能的要求，設(shè)計(jì)控制裝置，使被控對(duì)象的性能指標(biāo)滿足用戶提出的要求制裝置，使被控對(duì)象的性能指標(biāo)滿足用戶提出的要求. 系統(tǒng)分析系統(tǒng)分析：對(duì)已經(jīng)存在的控制系統(tǒng)，分析系統(tǒng)的性能對(duì)已經(jīng)存在的控制系統(tǒng)，分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)，作出系統(tǒng)性能優(yōu)劣狀況的判斷。指標(biāo)，作出系統(tǒng)性能優(yōu)劣狀況的判斷。 系統(tǒng)分析是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)系統(tǒng)分析是系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ).系統(tǒng)設(shè)計(jì)是系統(tǒng)分析的結(jié)系統(tǒng)設(shè)計(jì)是系統(tǒng)分析的結(jié)果果. 系統(tǒng)分析設(shè)計(jì)的對(duì)象是什么系統(tǒng)分析設(shè)計(jì)的對(duì)象是什么?2.1 概述概述2、什么是系統(tǒng)物理模型？、什么是系統(tǒng)物理模型？ 任何元件或系統(tǒng)實(shí)際上都是很

3、復(fù)雜的，在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)任何元件或系統(tǒng)實(shí)際上都是很復(fù)雜的，在對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行初步分析設(shè)計(jì)時(shí)行初步分析設(shè)計(jì)時(shí),難以對(duì)它作出精確、全面的描述，必難以對(duì)它作出精確、全面的描述，必須進(jìn)行簡(jiǎn)化或理想化。例如須進(jìn)行簡(jiǎn)化或理想化。例如:電阻器電阻器電阻電阻. 簡(jiǎn)化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的簡(jiǎn)化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型物理模型。 系統(tǒng)的簡(jiǎn)化是有條件的，要根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和求解的系統(tǒng)的簡(jiǎn)化是有條件的，要根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)和求解的精確要求，來(lái)確定出合理的物理模型。精確要求，來(lái)確定出合理的物理模型。3、什么是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？、什么是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？ 根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的物理根據(jù)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的物理、 化學(xué)規(guī)律化學(xué)規(guī)律,

4、描述系統(tǒng)或元描述系統(tǒng)或元件運(yùn)動(dòng)規(guī)律件運(yùn)動(dòng)規(guī)律、特性和輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式特性和輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式(曲線曲線,表表格和計(jì)算機(jī)程序等格和計(jì)算機(jī)程序等),統(tǒng)稱為系統(tǒng)或元件的統(tǒng)稱為系統(tǒng)或元件的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型。為什么要對(duì)實(shí)際模型進(jìn)行簡(jiǎn)化為什么要對(duì)實(shí)際模型進(jìn)行簡(jiǎn)化?數(shù)學(xué)模型怎么表示數(shù)學(xué)模型怎么表示?4、控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的幾種表示方式、控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的幾種表示方式（微分方程）微分方程） （傳遞函數(shù)）（傳遞函數(shù)） （伯德圖）（伯德圖） （微分方程組）（微分方程組） 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù),結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖,頻域模型將是本門課程主要涉及的數(shù)頻域模型將是本門課程主要涉及的數(shù)學(xué)模型學(xué)模型. 。如何建立實(shí)際系統(tǒng)的

5、數(shù)學(xué)模型如何建立實(shí)際系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型?數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型時(shí)域模型時(shí)域模型復(fù)域模型復(fù)域模型頻域模型頻域模型結(jié)構(gòu)圖結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間狀態(tài)空間5、建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型、建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 深入了解元件及系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，準(zhǔn)確建立系統(tǒng)輸深入了解元件及系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，準(zhǔn)確建立系統(tǒng)輸入輸出的關(guān)系入輸出的關(guān)系(數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型)稱為稱為建模建模。常用方法：常用方法： 1）機(jī)理分析）機(jī)理分析 6）圖解法）圖解法 2）直接相似法）直接相似法 7）隔艙法）隔艙法 3）系統(tǒng)辨識(shí)）系統(tǒng)辨識(shí) 8）蒙特卡羅）蒙特卡羅 4）定理推理）定理推理 9）量綱分析）量綱分析 5）層次分析）層次分析 10）計(jì)算機(jī)）計(jì)算機(jī)建立系統(tǒng)（元件）數(shù)學(xué)模型

6、常用方法：建立系統(tǒng)（元件）數(shù)學(xué)模型常用方法：1.分析法分析法對(duì)系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)（元件）（元件）各部分的運(yùn)動(dòng)各部分的運(yùn)動(dòng)”機(jī)理機(jī)理”進(jìn)進(jìn) 行分析，應(yīng)用物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律找出系統(tǒng)輸行分析，應(yīng)用物理規(guī)律、化學(xué)規(guī)律找出系統(tǒng)輸 入入/輸出變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。輸出變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。 應(yīng)用：系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)機(jī)理（原理）比較清楚應(yīng)用：系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)機(jī)理（原理）比較清楚.2.實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄系統(tǒng)的輸人為施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄系統(tǒng)的輸 出響應(yīng)出響應(yīng).然后再根據(jù)測(cè)得的系統(tǒng)輸入輸出之間的然后再根據(jù)測(cè)得的系統(tǒng)輸入輸出之間的 關(guān)系關(guān)系,找出系統(tǒng)中變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。找出系統(tǒng)中變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。 應(yīng)用：系統(tǒng)內(nèi)

7、部運(yùn)動(dòng)機(jī)理原理不清楚。應(yīng)用：系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)動(dòng)機(jī)理原理不清楚。舉例舉例1. 分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的幾個(gè)步驟分析法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的幾個(gè)步驟：1）建立系統(tǒng)和元件的物理模型。）建立系統(tǒng)和元件的物理模型。2）列寫原始方程。）列寫原始方程。 利用適當(dāng)?shù)奈锢矶衫眠m當(dāng)?shù)奈锢矶扇缗ｎD定律、基爾霍夫如牛頓定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等電流和電壓定律、能量守恒定律等.3）選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及狀態(tài)變量（僅）選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及狀態(tài)變量（僅在建立狀態(tài)模型時(shí)要求），消去中間變量，建在建立狀態(tài)模型時(shí)要求），消去中間變量，建立適當(dāng)?shù)妮斎胼敵瞿Ｐ突驙顟B(tài)空間模型。立適當(dāng)?shù)妮斎胼敵瞿Ｐ突驙顟B(tài)空間模型

8、。4)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn).建立微分方程的關(guān)鍵是什么建立微分方程的關(guān)鍵是什么?舉例舉例2. 實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的幾個(gè)步驟： 黑黑匣匣子子輸輸入入（已已知知）輸輸出出（已已知知）.已知知識(shí)和辨識(shí)目的已知知識(shí)和辨識(shí)目的.實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)-選擇實(shí)驗(yàn)條件選擇實(shí)驗(yàn)條件.模型階次模型階次-適合于應(yīng)用的適當(dāng)?shù)碾A次適合于應(yīng)用的適當(dāng)?shù)碾A次.參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)-最小二乘法最小二乘法.模型驗(yàn)證模型驗(yàn)證將實(shí)際輸出與模型的計(jì)算輸出進(jìn)行比較，系將實(shí)際輸出與模型的計(jì)算輸出進(jìn)行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個(gè)輸出之間在選定意義上的接近統(tǒng)模型需保證兩個(gè)輸出之間在選定意義上的接近. 系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型是反映系統(tǒng)變量之間

9、系統(tǒng)最基本的數(shù)學(xué)模型是反映系統(tǒng)變量之間動(dòng)態(tài)特性的動(dòng)態(tài)特性的微分方程式微分方程式。 建立微分方程的步驟如下：建立微分方程的步驟如下： 將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié)將系統(tǒng)劃分為若干環(huán)節(jié),確定各個(gè)環(huán)節(jié)的輸確定各個(gè)環(huán)節(jié)的輸入量和輸出量。入量和輸出量。 從輸入端開始，按信號(hào)傳遞的順序，依據(jù)從輸入端開始，按信號(hào)傳遞的順序，依據(jù)各各變量所遵循的物理變量所遵循的物理、化、化學(xué)定律，列出各個(gè)環(huán)節(jié)的學(xué)定律，列出各個(gè)環(huán)節(jié)的原始方程原始方程(線性化線性化) 。 消去中間變量，寫出僅包含系統(tǒng)輸入、輸消去中間變量，寫出僅包含系統(tǒng)輸入、輸出出變量的微分方程式。變量的微分方程式。建立微分方程的關(guān)鍵是什么建立微分方程的關(guān)鍵是什么?2.

10、2 控制系統(tǒng)微分方程的建立控制系統(tǒng)微分方程的建立【例例1 1】圖由一圖由一RCRC組成的四端無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。試列寫以組成的四端無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。試列寫以U Ui i（t t）為輸入量，）為輸入量，Uc(t)Uc(t)為輸出量的微分方程。為輸出量的微分方程。解：設(shè)電容兩端的電壓為解：設(shè)電容兩端的電壓為 .根據(jù)電路定理，得根據(jù)電路定理，得icuRiu cciduRCuudtdtduCic 將（將（1）代入（）代入（2），消取中間變量），消取中間變量i，得，得iuiCRcu上述問(wèn)題中有上述問(wèn)題中有3個(gè)變量個(gè)變量,需列出需列出2個(gè)獨(dú)立方程個(gè)獨(dú)立方程.由此推知由此推知,N個(gè)變量的問(wèn)題應(yīng)建立個(gè)變量的問(wèn)題應(yīng)建立N-1個(gè)獨(dú)

11、立方程個(gè)獨(dú)立方程cu( )1( )( )1ciUsG sUsRCs傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)：【例例2 2】求圖示求圖示RLCRLC回回路的微分方程。路的微分方程。RL+_+_u(t)uc(t)+_yi(t)輸 入輸 出解：以解：以 作為中間變量，列寫該回路的微分方程作為中間變量，列寫該回路的微分方程 消去中間變量消去中間變量 ，得，得)(),(tituL( )( )( )( )Lu tRi tuty t( )( )cdu tdy tiCCdtdtdtdiLuL22( )( )( )( )d y tdy tLCRCy tu tdtdt)(),(tituLC2( )1( )( )1Y sG sU sLCs

12、RCs傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)：222dyLsdtd yLsdt拉氏變換拉氏變換2( )( )( )( )LCs Y sRCsY sY sU s【例3】如圖所示為由一RC組成的四端無(wú)源網(wǎng)絡(luò)。試列寫以U1（t）為輸入量，U2(t)為輸出量的微分方程。U U1 1R R1 1R R2 2U U2 2C C1 1C C2 2圖圖2 2- -1 1 R RC C組組成成的的四四端端網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò)解：解： 設(shè)回路電流為設(shè)回路電流為i1、i2，根據(jù)克?；舴蚨桑鶕?jù)克?；舴蚨?， 列寫方程如下：列寫方程如下： 1111cUiRU dtiiCUc)(12111 2221ccUiRU dtiCUc2221 22cUU 由、

13、得由、得:i1U U1 1R R1 1R R2 2U U2 2C C1 1C C2 2圖圖2 2- -1 1 R RC C組組成成的的四四端端網(wǎng)網(wǎng)絡(luò)絡(luò)2i1i1idtdUCdtdUCic22222由于 dtdUCdtdUCidtdUCicc22112111將i1、i2代入、，則得 11 12 22cURiR iU222222111)(UdtdUCRdtdUCdtdUCRc22222222211)(UdtdUCRdtdUCUiRdtdCR22222212112222211UdtdUCRdtdUCRdtdUCRdtUdCRCR1222221112222121)(UUdtdUCRCRCRdtUdCC

14、RR這就是RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，是一個(gè)二階線性微分方程。整理,得微分方程:【例例4 4】建立慣性環(huán)節(jié)的微分方程。其中，建立慣性環(huán)節(jié)的微分方程。其中，U1U1（t t）為輸入量，為輸入量，U2(t)U2(t)為輸出量為輸出量。2RC12 0 0 K1R1 0 0 KD /A 1A /D 11u2u0R1 0 0 K111uiR解：利用運(yùn)算放大器解：利用運(yùn)算放大器“虛地虛地” ” 的概念，得的概念，得2222()uduiCRdt22121duuuCdtRR由由i i1 1=i=i2 2，得，得i1i2212/( )1RRG sR Cs傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)： 【例5】建立比例微分器（建立比例微分

15、器（PDPD）的微分方程。其中，）的微分方程。其中，U1U1（t t）為輸入量，）為輸入量，U2(t)U2(t)為輸出量為輸出量。11111uduiCRdt解：利用運(yùn)算放大器解：利用運(yùn)算放大器“虛地虛地” ” 的概念，得的概念，得22222()uduiCRdt22112121duuduuCCdtRdtR 由由i i1 1=i=i2 2，得，得i1i22R2C0.01100K1CD/A1A/D111R100K0R100K2121212122/( )(/)1R C sRRG sR C sRRR C s 【例例6 6】. .建立下列機(jī)械系統(tǒng)的微分方程建立下列機(jī)械系統(tǒng)的微分方程. .bfby Ku(t

16、)my(t)b( )kbu tffmakfky解：根據(jù)牛頓力學(xué):( )dymybkyu tdt& &微分方程微分方程:bfky【例例7 7】建立建立單容水箱單容水箱的的微分方程的的微分方程。解：HVCQHR水頭（高度）的變化被儲(chǔ)存液體變化液容流量變化液面差變化液阻根據(jù)物料平衡原理，根據(jù)物料平衡原理，dt時(shí)間內(nèi)水箱液體時(shí)間內(nèi)水箱液體的增加，應(yīng)與進(jìn)水量相等：的增加，應(yīng)與進(jìn)水量相等：12d hqqCdt根據(jù)托里拆定理，出水量與水位高度的根據(jù)托里拆定理，出水量與水位高度的平方根成正比：平方根成正比：20hqR10dhhCqdtR非線性非線性!微分方程微分方程:10012dhhCqdth

17、 R 12dhqqCdt2hqR1d hhCqdtR 1( )1hRG sqRCs線性化線性化線性化線性化0012Rh R線性線性【例例8 8】建立建立有延遲的單容水箱有延遲的單容水箱的微分方程的微分方程。解：根據(jù)物料平衡原理，根據(jù)物料平衡原理，dt時(shí)間內(nèi)時(shí)間內(nèi)水箱液體的增加，應(yīng)與進(jìn)水量水箱液體的增加，應(yīng)與進(jìn)水量相等：相等：根據(jù)出水量的增量與水位高度的增量近根據(jù)出水量的增量與水位高度的增量近似成正比：似成正比：微分方程微分方程:12()( )dhqtqtCdt2hqR10()d hhCqtdtR 1( )1shRG seqRCs傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：拉氏變換：拉氏變換：1( )( )( )sRC

18、s h sh sR qs e ()( )sL f tf s e/l v【例9】建立熱容系統(tǒng)的微分方程建立熱容系統(tǒng)的微分方程。rucicq0qRC，熱阻箱體熱容解：根據(jù)熱容定義和熱平衡方程，解：根據(jù)熱容定義和熱平衡方程， dt時(shí)間內(nèi)加給熱爐的熱量應(yīng)時(shí)間內(nèi)加給熱爐的熱量應(yīng) 與其爐內(nèi)溫度的上升所需熱量與其爐內(nèi)溫度的上升所需熱量 平衡。平衡。dtqqCdcc)(0Rqic0熱爐向外散出的熱量與爐內(nèi)外溫差成正比：熱爐向外散出的熱量與爐內(nèi)外溫差成正比：微分方程：微分方程：irccrRudtdRC2ruqrc2電爐絲通電發(fā)出的熱量為：電爐絲通電發(fā)出的熱量為：【例10】建立無(wú)自恒水箱的微分方程建立無(wú)自恒水箱的

19、微分方程。解：由于輸出流量解：由于輸出流量q2為定值，因此為定值，因此 水箱水位高度的變化與輸入流水箱水位高度的變化與輸入流 量成正比量成正比 1d hCqdt1( )G sCs傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)【例例1111】建立建立電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程 圖圖2-3 所示為電樞控制直流所示為電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的電動(dòng)機(jī)的原理圖。原理圖。要求要求以以電樞電樞電壓電壓Ua(t)（v）為輸入量，電）為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速m（t）（）（rad/s）為輸出量，列寫微分方程。為輸出量，列寫微分方程。 圖中圖中Ra()、La(H)分別是分別是電樞電路的電阻和電感，

20、電樞電路的電阻和電感，Mc是是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)距。激磁磁通為常值。距。激磁磁通為常值。圖圖2 2- -3 3 電電樞樞控控制制直直流流電電動(dòng)動(dòng)機(jī)機(jī)原原理理圖圖S SM M負(fù)載- - -L La aR Ra aE Ea aW Wm mJ Jm m, ,f fm mU Ua ai if fi ia a激磁磁通激磁磁通輸入輸入輸出輸出例例1212、電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程 解：解： 電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的工作實(shí)質(zhì)是將輸入電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的工作實(shí)質(zhì)是將輸入的電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能的電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能. .也就是由輸入的電樞電壓也就是由輸入的電

21、樞電壓U Ua a(t)(t)在電樞回路中產(chǎn)生在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流電樞電流i ia a(t)(t)，再由電流再由電流i ia a（t t）與）與激磁磁通相互作用產(chǎn)生激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距電磁轉(zhuǎn)距M Mm m(t)(t)，從從而拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)。而拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)。即：即：電壓電壓電流電流轉(zhuǎn)距轉(zhuǎn)距 因此，直流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程可由以下三部分因此，直流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程可由以下三部分組成組成: : 1 1）電樞回路電壓平衡方程）電樞回路電壓平衡方程; ; 2 2）電磁轉(zhuǎn)矩方程）電磁轉(zhuǎn)矩方程; ; 3 3）電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程）電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程. .1）電樞回路電壓平衡方程）電樞回路電壓平

22、衡方程：Eb是電樞反電勢(shì)，它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)是電樞反電勢(shì)，它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的反電勢(shì)，其大小與激磁磁時(shí)產(chǎn)生的反電勢(shì)，其大小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與電樞電壓通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與電樞電壓Ua(t)相反，即相反，即 Eb=Cem（t） Ce反電勢(shì)系數(shù)反電勢(shì)系數(shù)（v/rad/s）( )( )( )aaaa abdi tUtLR i tEdt圖圖 2 2- -3 3 電電 樞樞 控控 制制 直直 流流 電電 動(dòng)動(dòng) 機(jī)機(jī) 原原 理理 圖圖S SM M負(fù)載- - -L La aR Ra aE Ea aW Wm mJ Jm m, ,f fm mU Ua ai if fi ia a由電樞電壓由電樞電壓Ua

23、(t)在電樞回路在電樞回路中產(chǎn)生電樞電流中產(chǎn)生電樞電流ia(t)2）電磁轉(zhuǎn)距方程：）電磁轉(zhuǎn)距方程：-電動(dòng)機(jī)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩系數(shù)轉(zhuǎn)矩系數(shù) （Nm/A） -由電樞電流產(chǎn)生的由電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩電磁轉(zhuǎn)矩（Nm）3)電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程： Jm轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的）（電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的） kgm fm-粘性摩擦系數(shù)粘性摩擦系數(shù)(電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的)（Nm/rad/s）)()(tiCtMamm( )( )( )mmmmmdtJftMtdt mC)(tMm圖圖 2 2- -3 3 電電 樞樞 控控

24、制制 直直 流流 電電 動(dòng)動(dòng) 機(jī)機(jī) 原原 理理 圖圖S SM M負(fù)載- - -L La aR Ra aE Ea aW Wm mJ Jm m, ,f fm mU Ua ai if fi ia a電流電流ia（t）與激磁磁通相互）與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距Mm(t)，由電磁轉(zhuǎn)距由電磁轉(zhuǎn)距Mm(t)拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)，拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)，、求出求出ia(t)，代入，代入同時(shí)同時(shí)亦代入亦代入得：得：2( )( )()()( )( )mmamamamammemmadtdtL JL fR JR fC CtC Utdtdt微分方程微分方程:這是一個(gè)線性二階微分方程這是一個(gè)線性二階微分方程.不同系統(tǒng)的

25、微分方程的形式有什么相同之處不同系統(tǒng)的微分方程的形式有什么相同之處?簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化2）:如果電樞電阻如果電樞電阻Ra和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm都很小而忽略不計(jì)時(shí)都很小而忽略不計(jì)時(shí) 還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為還可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為( )mt()aU t)()(tUtCame電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速 與電樞電壓 成正比，于是 電動(dòng)機(jī)可作為測(cè)速發(fā)電機(jī)使用。簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化1）:在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感La較小，通常較小，通常忽略不計(jì)，因而忽略不計(jì)，因而可簡(jiǎn)化為：可簡(jiǎn)化為：( )( )( )mmmmadtTtK UtdtemmamamCCfRJRTemmaCCRafRK2mmammeCKR f

26、C C電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)（s） 一.傅里葉變換: 如果定義在 上的函數(shù) 滿足條件; 1) 在任一區(qū)間滿足荻利克雷條件; a)除去有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)外,處處連續(xù); b)分段單調(diào),單調(diào)區(qū)間的個(gè)數(shù)有限; 2) 絕對(duì)可積:則稱表達(dá)式為傅里葉變換.( ) t(,) ( ) t( ) t dt ( ) t1( )( )j tFt edt 拉普拉斯變換拉普拉斯變換傅里葉變換的問(wèn)題1)絕對(duì)可積的條件太強(qiáng);2)要求在 上有意義較難;改造傅里葉變換1)用 乘以 可以使 絕對(duì)可積;2)用 乘以 可以使區(qū)間變?yōu)?;(0)te0,)(,) ( ) t( ) t( )u t( ) t二.拉普拉斯變換,( )( ) ( )

27、sjf tt u t()00()( ) ( )( )( )tjtjtstFt u t eedtf t edtf t edt11( )()( )sFFF sj其中,而所以0( )( )stF sf t edt( ) ( )F sL f t1( )( )j tFt edt拉普拉斯變換簡(jiǎn)單即為：拉氏變換定義：拉氏變換定義： 設(shè)函數(shù)f(t)滿足: t0時(shí)，f(t)分段連續(xù) 則f(t)的拉氏變換存在，其表達(dá)式記作 拉氏變換基本定理拉氏變換基本定理n線性定理 n位移定理 dtetfst0)(dtetftfLsFst0)()()( 原函數(shù)原函數(shù)f(t) f(t) 拉氏變換拉氏變換F(t)F(t) 1 1(t

28、) kTse21s( ) t()tkTt1s1saatesintcost22ss22s拉氏變換拉氏變換表表三.拉普拉斯變換的性質(zhì):設(shè)設(shè)1.1.線性性質(zhì)線性性質(zhì): :2.2.微分性質(zhì)微分性質(zhì): :3.3.積分性質(zhì)積分性質(zhì): :4.4.位移性質(zhì)位移性質(zhì): :5.5.延遲定理延遲定理 6.6.終值定理終值定理1212( )( )( )( )Laf tbfta L f tb L ft ( )( )(0)L f tsF sf01( )( )tLfdF ss1122()( ),()( )L f tF sL f tF s ()( )(0)(0)L f tsF ssff&)()(asFtfeLat)(

29、)(sFetfLs)(lim)(lim0ssFtfst ( )( )L f tsF s& ()( )L f tsF s& &零初始條件：四四.拉普拉斯反變換拉普拉斯反變換F(s)F(s)化成下列因式分解形式：化成下列因式分解形式： a. F(s)F(s)中具有不同的極點(diǎn)時(shí)，可展開為中具有不同的極點(diǎn)時(shí)，可展開為 )()()()()()()(2121nmpspspszszszsksAsBsF nnpsapsapsasF 2211)(kpskkpssAsBa)()()(1( )( ),02jstjf tF s e dstj 查表求得f(t)ka可以采用待定系數(shù)法，或留數(shù)法確定

30、。可以采用待定系數(shù)法，或留數(shù)法確定。定義：定義：b.F(s)b.F(s)含有共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)，可展開為含有共扼復(fù)數(shù)極點(diǎn)時(shí)，可展開為: : nnpsapsapspsasasF 332121)()(11)()()(2121pspspspssAsBasac.F(s)c.F(s)含有多重極點(diǎn)時(shí)，可展開為含有多重極點(diǎn)時(shí)，可展開為: : )()()()()()(11111111nnrrrrrrpsapsapsbpsbpsbsF 1)()()(1psrrpssAsBb111)()()(psrrpssAsBdsdb11)()()(!1psrjjjrpssAsBdsdjb1)()()()!1(11111psrrr

31、pssAsBdsdrb其余各極點(diǎn)的留數(shù)確定方法與上同。例例1.1.求求 的拉氏反變換。的拉氏反變換。 11( )()aF ss s ass a 解得，解得，a=1/2,b=-1,c=1/2a=1/2,b=-1,c=1/21( )(1)(2)F ss ss( )()aF ss s a解：解：( ) 1atf te 查表：查表：例例2.2.求求 的拉氏反變換。的拉氏反變換。 21()(32)2( )(1)(2)12(1)(2)abcabc sabc saF ss ssssss ss解解：查表：查表：211( )22ttf tee例例1.1.求求 的拉氏反變換。的拉氏反變換。 222( )(2)nn

32、nF ss ss解：解：查表：查表：222222222222222222222221( )(2)222112()()()(1)1()(1)()(1)11()(1)1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnsF ss sssssssssssssssssss 2222()(1)nns222222( )1 cos(1)sin(1)1111sin(1tan)1nnnttnntnf tt et eetarc 具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)的線性化，可用具有連續(xù)變化的非線性函數(shù)的線性化，可用切線法或切線法或小偏差法小偏差法。在一個(gè)小范圍內(nèi)，將非線性。在一個(gè)小范圍內(nèi)，將非線性特性用一段直線來(lái)代替特性用

33、一段直線來(lái)代替 一個(gè)變量的非線性函數(shù)一個(gè)變量的非線性函數(shù) y=f(x)y=f(x)在在x x0 0處連續(xù)可處連續(xù)可微，則可將它在該點(diǎn)附件用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開：微，則可將它在該點(diǎn)附件用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開： 200 000)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxfy增量較小時(shí)略去其高次冪項(xiàng)，則有增量較小時(shí)略去其高次冪項(xiàng)，則有 )()()(0000 xxxfxfxfyy則則 y=kx k k比例系數(shù)，函數(shù)在比例系數(shù)，函數(shù)在x x0 0點(diǎn)切線的斜率點(diǎn)切線的斜率。2.2.2非線性微分方程的線性化00()yf x 兩個(gè)變量的非線性函數(shù)兩個(gè)變量的非線性函數(shù)y=f(x1,x2)y=f(x1,x2)，同樣可在某工作點(diǎn)

34、，同樣可在某工作點(diǎn)（x10,x20 x10,x20）附近用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開為）附近用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開為： )201(2)20,10()20)(10(21)20,10(2)101(1)20,10(! 21)202(2)20,10()101(1)20,10()20,10() 2, 1(222222xxxxxfxxxxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxxxxfxxfxxfy略去二級(jí)以上導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，并令略去二級(jí)以上導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，并令yyy-f(x10,x20y-f(x10,x20) 這種小偏差線性化方法對(duì)于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)這種小偏差線性化方法對(duì)于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)是可行的，平衡點(diǎn)附近，偏差一般不會(huì)很大，都是是可行的，平衡點(diǎn)附近，偏差一般不會(huì)很大，都是“小偏小偏差點(diǎn)差點(diǎn)”。 20221011xxxxxx2211222010112010),(),(xKxKxxxxfxxxxfy例例1 將非線性方程將非線性方程 線性化。線性化。解：解：1）寫出增量方程）寫出增量方程10QRHdtdHC110000)(QQ