西南大學(陳鵬)熱力學統(tǒng)計物理期末復習重點習題整理

1、熱力學統(tǒng)計物理_第五版_汪志誠_ 課后重點題目答案第一章 熱力學的基本規(guī)律1.8 滿足的過程稱為多方過程，其中常數名為多方指數。試證明：理想氣體在多方過程中的熱容量為解：根據式（1.6.1），多方過程中的熱容量 （1）對于理想氣體，內能U只是溫度T的函數，所以 （2）將多方過程的過程方程式與理想氣體的物態(tài)方程聯立，消去壓強可得（常量）。 （3）將上式微分，有所以 （4）代入式（2），即得（5）其中用了式（1.7.8）和（1.7.9）。1.14試根據熱力學第二定律證明兩條絕熱線不能相交。解：假設在圖中兩條絕熱線交于點，如圖所示。設想一等溫線與兩條絕熱線分別交于點和點（因為等溫線的斜率小于絕熱線的

2、斜率，這樣的等溫線總是存在的），則在循環(huán)過程中，系統(tǒng)在等溫過程中從外界吸取熱量，而在循環(huán)過程中對外做功，其數值等于三條線所圍面積（正值）。循環(huán)過程完成后，系統(tǒng)回到原來的狀態(tài)。根據熱力學第一定律，有。這樣一來，系統(tǒng)在上述循環(huán)過程中就從單一熱源吸熱并將之完全轉變?yōu)楣α?，這違背了熱力學第二定律的開爾文說法，是不可能的。 因此兩條絕熱線不可能相交。第二章 均勻物質的熱力學性質2.2設一物質的物態(tài)方程具有以下形式：試證明其內能與體積無關.解：根據題設，物質的物態(tài)方程具有以下形式： （1）故有 （2）但根據式（2.2.7），有 （3）所以 （4）這就是說，如果物質具有形式為（1）的物態(tài)方程，則物質的內能與

3、體積無關，只是溫度T的函數.2.4已知，求證解：對復合函數 （1）求偏導數，有 （2）如果，即有 （3）式（2）也可以用雅可比行列式證明： （2）第六章 近獨立粒子的最概然分布 6.3 試證明，對于二維自由粒子，在面積L2內，在到+d的能量范圍內，量子態(tài)數為 D() d =證明：對于二維自由粒子，有 所以，在面積L2內，在內的量子態(tài)數為 換為極坐標，則動量大小在內的量子態(tài)數為 對從0至2積分，并利用則可得在到+d的能量范圍內，量子態(tài)數為 D() d =，證畢第七章 玻耳茲曼統(tǒng)計7.8稀薄氣體由某種原子組成. 原子兩個能級能量之差為當原子從高能級躍遷到低能級時將伴隨著光的發(fā)射. 由于氣體中原子的

4、速度分布和多普勒（Doppler）效應，光譜儀觀察到的不是單一頻率的譜線，而是頻率的一個分布，稱為譜線的多普勒增寬. 試求溫度為T時譜線多普勒增寬的表達式.解：我們首先根據在原子躍遷發(fā)射光子過程中動量和能量的守恒關系導出多普勒效應.為明確起見，假設光譜儀接受沿軸傳播的光，原子的誓師為，初態(tài)處在能級，速度為，發(fā)射能量為，動量為（平行于軸）的光子后躍遷到能級，速度變?yōu)?動量守恒和能量守恒要求 （1） （2）將式（1）平方并除以，得代入式（2），注意即有或 （3）式（3）右方后兩項的大小估計如下：考慮即有因此右方第三項完全可以忽略，且與的差別很小. 將式（3）改寫為 （4）式（4）給出多普勒頻移.

5、多普勒頻移通常表達為：當原子以速度面對觀察者運動時，觀察者看到的光頻是其中是靜止原子發(fā)出的光的頻率.根據式（7.3.7），溫度為T時，氣體中原子速度的分量到之間的概率與下式成正比： （5）將式（4）代入上式可以得到光的頻率分布 （6）這是以為中心的高斯（Gaussian）型分布. 可以將式（6）表示為高斯型分布的標準形式： （7）其中 函數滿足歸一化條件 （8）式（7）可以從實驗加以驗證. 這是實驗上驗證麥氏速度分布的方法之一. 7.16 已知粒子遵從經典玻耳茲曼分布，其能量表達式為其中是常量，求粒子的平均能量.解: 應用能量均分定理求粒子的平均能量時，需要注意所難能量表達式中和兩面三刀項都是

6、的函數，不能直接將能量均分定理用于項而得出的結論. 要通過配方將表達為 （1）在式（1）中，僅第四項是的函數，又是平方項. 由能量均分定理知 （2）7.21 定域系統(tǒng)含有N個近獨立粒子，每個粒子有兩個非簡并能級和求在溫度為T的熱平衡狀態(tài)下粒子在兩能級的分布，以及系統(tǒng)的內能和熵. 討論在低溫和高溫極限下的結果. 解: 首先分析粒子在兩能級的分布. 配分函數為處在兩能級的最概然粒子數分別為 （1） （2）其中是系統(tǒng)的特征溫度. 式（1）和（2）表明，隨溫度的變化取決于特征溫度與溫度的比值，如圖所示. 在低溫極限下，粒子凍結在低能級. 在高溫極限下，意味著在高溫極限下兩能級級能量的差異對粒子數分布已

7、沒有可能覺察的影響，粒子以相等的概率處在兩個能級. 系統(tǒng)的內能為 （3）在低溫極限下，有在高溫極限下，有這是容易理解的.系統(tǒng)的熱容量為 （4）熱容量隨溫度的變化如圖所示. 在低溫極限下，有它趨于零. 在高溫極限下，有也趨于零. 這結果也是易于理解的. 值得注意，隨溫度的變化有一個尖峰，其位置由確定（大致在附近）. 熱容量這一尖峰稱為熱容量的肖脫基（Shottky）反常（解釋見后）.系統(tǒng)的熵為 （5）S隨溫度的變化如下圖所示. 在低溫極限下，高溫極限下，二能級系統(tǒng)是經常遇到的物理模型，§7.8介紹的順磁性固體和§7.9介紹的核自旋系統(tǒng)是熟知的例子. §7.8著重討論

8、了順磁性固體的磁性，§7.9則將核自旋系統(tǒng)看作孤立系統(tǒng)而討論其可能出現的負溫狀態(tài). 處在外磁場B中的磁矩具有勢能 對于自旋為的粒子，能量為 如果磁矩間的相互作用能量遠小于磁矩在外磁場中的能量，就形成二能級系統(tǒng). 核磁子很小，使核自旋系統(tǒng)通常滿足這一要求 在順磁性固體中，許多情形下磁性原子（離子）被非磁性離子包圍而處于稀釋狀態(tài)，也滿足這一要求. 討論固體中的二級級系統(tǒng)時往往假設二能級系統(tǒng)與固體的其他熱運動（如晶格振動）近似獨立. 低溫下晶格振動的熱容量按律隨溫度降低而減?。▍㈤?#167;9.7）. 實驗發(fā)現順磁性固體的熱容量在按律減少的同時，出現一個當時出乎意料的尖峰而被稱為肖脫基反

9、常. 如前所述，尖峰是處在外磁場中的磁矩發(fā)生能級分裂形成二能級系統(tǒng)引志的. 除了磁性系統(tǒng)外，二級級結構也存在于其他一些物理系統(tǒng)中. 例如，能級的精細結構使NO分子的基態(tài)存在特征溫度為178K的二能級結構，從而影響其熱力學特性. 參閱Landau, Lifshitz. Statistical Physics. §50. 二能級系統(tǒng)更是激光和量子光學領域的一個基本物理模型，不過其中討論的不是熱力學平衡狀態(tài)了.第八章 玻色統(tǒng)計和費米統(tǒng)計 8.13銀的導電電子數密度為，試求0K時電子氣體的費米能量、費米速率和簡并壓.解: 由，將代入得費米速率：，0K下電子氣體的壓強為8.18試求在極端相對論條件下自由電子氣體在0K時的費米能量、內能和簡并壓.解:極端相對論條件下，粒子的能量動量關系為在體積V內，在到的能量范圍內，極端相對論粒子的量子態(tài)數為0K下自由電子氣體的分布為費米能量由下式確定：，故0K下電子氣體的內能為：電子氣體的壓強為：第九章 系綜理論9.9仿照三維固體的地拜理論，計算長度為的線形原子鏈在高溫和低溫下的內能和熱容