二次函數(shù)教（學(xué)）案37015

1、 WORD 二次函數(shù)知識點一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。注意和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征：等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項例:是關(guān)于的二次函數(shù),則m=( )A.-1 B.2 C.-1或2 D.m不存在二、二次函數(shù)的基本形式的符號開口方向頂點坐標對稱軸性 質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減?。粫r，隨的增大而增大；時，有最大值1. 二次函數(shù)基本形式：的性質(zhì)：由此可知:

2、a 的絕對值越大，拋物線的開口越小2. 的性質(zhì)：上加下減的符號開口方向頂點坐標對稱軸性 質(zhì)向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值3. 的性質(zhì)：左加右減的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值向下X=h時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值4. 的性質(zhì)：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇

3、題中，例:已知以為自變量的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點， 則的值是三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：方法一：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標；保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下：2. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減”方法二：沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）沿x軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）例:將一拋物線向下向右各平移2個單位得到拋物線的解析式為,則原拋物線的解析式是( )A. B.C. D.四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其

4、中五、二次函數(shù)圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸與頂點坐標，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以與關(guān)于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.例:已知二次函數(shù)的圖像如圖,則下列說法: c=0; 該拋物線的對稱軸是直線x=-1; 當x=1時,y=2a.其中正確的個數(shù)是( )A.1 B.2 C.3 D.4練習(xí):（1）二次函數(shù)的圖像如圖1，則點在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限（2）已知

5、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：a、b同號；當x=1和x=3時，函數(shù)值相等；4a+b=0； 當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是（ ）A1個 B2個 C3個 D4個 (1) (2) 六.二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而減小；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值 2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減?。划敃r，有最大值例:如果二次函數(shù)的圖像與x軸有兩個公共點,那么一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,請根據(jù)你對這句話的理解,解決下面的問題:若m, n(m &l

6、t; n)是關(guān)于x的方程,則a,b,m,n的大小關(guān)系是 ( )A. B.C. D.七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數(shù)，）；2. 頂點式：（，為常數(shù)，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：例:已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為，求這條拋物線的解析式。八、二次函數(shù)的

7、圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大；當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結(jié)起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù)在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸在的前提下，當時，即拋物線的對稱軸在軸左側(cè)；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的右側(cè)在的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當時，即拋物線的對稱軸在軸右側(cè)；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的左側(cè)總結(jié)起來,在確定的前提下

8、,b決定了拋物線對稱軸的位置.的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異”總結(jié)： 3. 常數(shù)項當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正；當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為；當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負所以，決定了拋物線與軸交點的位置從而我們就知道，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的例:如圖，如果函數(shù)的圖像在第一、二、三象限，那么函數(shù)的圖像大致是（ ）練習(xí):已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(-2，O)、(x1，0)，且1<x1<2，與y軸的正半軸的交點在點(

9、O，2)的下方下列結(jié)論：a<b<0；2a+c>O；4a+c<O；2a-b+1>O，其中正確結(jié)論的個數(shù)為( ) A. 1個 B. 2個 C. 3個 D4個答案：D二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標一樣的兩點，常選用頂點式九、二次函數(shù)圖象的對稱

10、二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 2. 關(guān)于軸對稱關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是； 3. 關(guān)于原點對稱關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是； 4. 關(guān)于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180°）關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是；關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是 5. 關(guān)于點對稱關(guān)于點對稱后，得到的解析式是例:已知拋物線y=x2+x-（1）用配方法求它的頂點坐標和對稱軸（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求線段AB的長所以根據(jù)對稱

11、的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標與開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標與開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數(shù)：當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根這兩點間的距離.當時，圖象與軸只有一個交點；當時，圖象與軸沒有交點.當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，

12、都有；當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，；3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：2 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式；(3) 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號，或由二次函數(shù)中，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；(4) 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.(5) 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例，揭示二次函數(shù)、二次三

13、項式和一元二次方程之間的在聯(lián)系：拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根.會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例.已知：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=-2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點坐標為( ) A.(2，-3) B.(2，1) C.(2，3) D(3，2)答案：C例:已知：二次函數(shù)y=ax2-(b+1)x-3a的圖象經(jīng)過點P(4，10)，交x軸于，兩點，交y軸負半軸于C點

14、，且滿足3AO=OB(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點M，使銳角MCO>ACO?若存在，請你求出M點的橫坐標的取值圍；若不存在，請你說明理由(1)解：如圖拋物線交x軸于點A(x1，0)，B(x2，O)，則x1·x2=3<0，又x1<x2，x2>O，x1<O，30A=OB，x2=-3x1x1·x2=-3x12=-3x12=1. x1<0，x1=-1x2=3點A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得a=2 b=3二次函數(shù)的解析式為y-2x2-4x-6(2)存在點M使MC0<ACO(2)解：點A關(guān)于y軸的對

15、稱點A(1，O)，直線A，C解析式為y=6x-6直線A'C與拋物線交點為(0，-6)，(5，24)符合題意的x的圍為-1<x<0或O<x<5當點M的橫坐標滿足-1<x<O或O<x<5時，MCO>ACO十一、函數(shù)的應(yīng)用:多數(shù)是關(guān)于最值問題求解例:已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積例2 某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關(guān)系如下表：x（元）152030y（件）252010 若日銷售量y是銷售價x