數(shù)列的極限97389學習教案

1、數(shù)列數(shù)列(shli)的極限的極限97389第一頁，共22頁。v引例(yn l) 如何用漸近的方法(fngf)求圓的面積S？ 用圓內(nèi)接正多邊形的面積近似圓的面積S.A1A2A3A1表示圓內(nèi)接正6邊形面積,A2表示圓內(nèi)接正12邊形面積,A3表示圓內(nèi)接正24邊形面積,An表示圓內(nèi)接正62n-1邊形面積, , . 顯然n越大, An越接近于S. 第1頁/共22頁第二頁，共22頁。 例如(lr) 當n無限增大時, 如果數(shù)列xn的一般項xn無限接近于常數(shù)a, 則常數(shù)a稱為(chn wi)數(shù)列xn的極限, 或稱數(shù)列xn收斂于a, 記為v數(shù)列極限的通俗(tn s)定義11limnnn 第2頁/共22頁第三頁，

2、共22頁。通項公式(gngsh)例11 4 32,2 3 4考察數(shù)列 的變化趨勢.注: 當n無限增大時, xn無限接近(jijn)于a. 當n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先給定的任意小的正數(shù).第3頁/共22頁第四頁，共22頁。注: 當n無限增大時, xn無限接近于a. 當n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先(shxin)給定的任意小的正數(shù).v數(shù)列極限的精確(jngqu)定義 設(shè)xn為一數(shù)列 如果存在常數(shù)a 對于任意給定的正數(shù)(zhngsh)e 總存在正整數(shù)N 使得當nN 時 不等式|xna |N 時 不等式|xna |e都成立(chngl) 則稱常數(shù)a是數(shù)列xn的極限

3、或者稱數(shù)列xn收斂于a 記為 如果不存在(cnzi)這樣的常數(shù)a 就說數(shù)列xn沒有極限 axnnlim或 xna (n). 0, NN 當nN時 有|xna|. axnnlim極限定義的簡記形式第5頁/共22頁第六頁，共22頁。aaa()v數(shù)列極限(jxin)的幾何意義存在 NN 當nN時 點xn全都(qundu)落在鄰域(a-e, a+e)內(nèi): 任意給定a的 鄰域(a a) 0, NN 當nN時 有|xna| . 注: N 與 有關(guān), 但不唯一. 確定 N 時, N 越大越合適.第6頁/共22頁第七頁，共22頁。證明(zhngmng) 所以(suy)當 nN 時, 例21( 1)lim1.n

4、nnn 證明axnnlim 0, NN 當nN時 有|xna| . 取 ,1N注:當 1 時, 1=0.此時(c sh), 可取 N 為任一正整數(shù).第7頁/共22頁第八頁，共22頁。 例3 設(shè)0|q|N 時,就有故axnnlim 0, NN 當nN時 有|xna| . 注:當 1 時, 1+log|q| 1,取 N=1. 這種情形(qng xing), 不再一一說明. 第8頁/共22頁第九頁，共22頁。0, 所以(suy) 例422lim0.nnnn證明axnnlim 0, NN 當nN時 有|xna| . 取 證一 注:直接(zhji)解不等式|xn-0|e 得當 時, 就有 nN|02|2

5、nnn第9頁/共22頁第十頁，共22頁。 證二 0, 所以(suy)當 時, nN 例422lim0.nnnn證明22lim0.nnnnaxnnlim 0, NN 當nN時 有|xna| . 取 ,2N注: N 與 e 有關(guān), 但不唯一. 確定(qudng) N 時, N 越大越合適.第10頁/共22頁第十一頁，共22頁。例5解axnnlim 0, NN 當nN時 有|xna| . 第11頁/共22頁第十二頁，共22頁。v關(guān)于e N 語言(yyn)論證法1. 若解不等式 |xn-a|j (e), 取 N j (). 2. 若不等式 |xn-a|e 不易(b y)解時, 采取放大技巧: 取 N

6、j (). |xna| f (n). 所取的 f (n)要使得不等式 f (n)N時, 同時(tngsh)有 因此(ync)同時有 這是不可能的. 所以只能有ab. 證明 二、收斂數(shù)列的性質(zhì)第14頁/共22頁第十五頁，共22頁。注: 如果M0, nN 有|xn|M, 則稱數(shù)列xn是有界的; 如果這樣的正數(shù)(zhngsh)M 不存在, 就說數(shù)列xn是無界的 二、收斂數(shù)列(shli)的性質(zhì)v定理1(極限的唯一性)v 如果數(shù)列xn收斂(shulin) 那么它的極限唯一 v定理2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列xn收斂 那么數(shù)列xn一定有界. 第15頁/共22頁第十六頁，共22頁。二、收斂(shulin

7、)數(shù)列的性質(zhì)v定理1(極限的唯一性)v 如果數(shù)列(shli)xn收斂 那么它的極限唯一 v定理(dngl)2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列xn收斂 那么數(shù)列xn一定有界. 則 NN+ 當nN 時, 有 |xna|N時 |xn|(xn a)a| | xna|a|1|a| . 取 Mmax|x1| |x2| |xN | 1|a| nN+ 有|xn|M.這就證明了數(shù)列xn是有界的. 證明 設(shè)數(shù)列xn收斂于a. 第16頁/共22頁第十七頁，共22頁。 1 如果數(shù)列xn收斂, 那么數(shù)列xn一定(ydng)有界 發(fā)散的數(shù)列是否一定(ydng)無界? 有界的數(shù)列是否收斂? 2 數(shù)列(shli)1, 1, 1

8、, 1, , (1)n1, 的有界性與收斂性如何？討論(toln) 二、收斂數(shù)列的性質(zhì)v定理1(極限的唯一性) 如果數(shù)列xn收斂 那么它的極限唯一. v定理2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列xn收斂 那么數(shù)列xn一定有界. 第17頁/共22頁第十八頁，共22頁。二、收斂數(shù)列(shli)的性質(zhì)v定理1(極限的唯一性)v 如果數(shù)列xn收斂 那么(n me)它的極限唯一 v定理(dngl)2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列xn收斂 那么數(shù)列xn一定有界. v定理3(收斂數(shù)列的保號性) 如果數(shù)列xn收斂于a, 且a0(或a0) 那么存在正整數(shù)N 當nN時 有xn0(或xn0).推論 如果數(shù)列xn從某項起有

9、xn0(或xn0) 且數(shù)列xn收斂于a 那么a0(或a0).第18頁/共22頁第十九頁，共22頁。注: 在數(shù)列xn中任意抽取無限多項并保持(boch)這些項在原數(shù)列中的先后次序 這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列xn的子數(shù)列. v定理4(收斂數(shù)列(shli)與其子數(shù)列(shli)間的關(guān)系)v 如果數(shù)列(shli)xn收斂于a那么它的任一子數(shù)列(shli)也收斂 且極限也是a 例如(lr) 數(shù)列xn 1 1 1 1 (1)n1 的一個子數(shù)列為x2n 1 1 1 (1)2n1 第19頁/共22頁第二十頁，共22頁。 1 數(shù)列的子數(shù)列如果發(fā)散, 原數(shù)列是否發(fā)散? 2 數(shù)列的兩個(lin )子數(shù)列收斂, 但其極限不同, 原數(shù)列的收斂性如何? 3 發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列都發(fā)散嗎？ 4 如何判斷數(shù)列(shli)1 1 1