空間解析幾何基礎(chǔ)

1、北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系A(chǔ)（下）授課教師：李?？?lián)系方式：北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系注意： 謝絕拷貝課件，有需要上教學(xué)平臺下載 上課不遲到，不早退，不曠課（10分） 按時交作業(yè)（10分） 有事課前請假，三次以內(nèi)不記曠課 建議課前預(yù)習(xí)，五分鐘走馬觀花 按照以前答疑安排，每周一下午北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系第六章空間解析幾何與向量代數(shù)6.1 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系6.2 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系給出了幾何問題的統(tǒng)一笛卡兒笛卡兒(1596 1650)法國哲學(xué)家, 數(shù)學(xué)家, 物理學(xué)家, 解析幾何奠基人之一 .1637年他

2、發(fā)表的幾何學(xué)論文分析了幾何學(xué)與 代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn), 進(jìn)而提出了 “ 另外 一種包含這兩門科學(xué)的優(yōu)點(diǎn)而避免其缺點(diǎn)的方法”, 從而提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法, 恩格斯把它稱為數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn).把幾何問題化成代數(shù)問題 ,作圖法,北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的正方向符合三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手系右手系.一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系xyozxoy面面yoz面面zox面面一個中心、三個軸、一個中心、三個軸、三個面、三個面、 八個卦限八個卦限北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)

3、學(xué)系空間的點(diǎn)空間的點(diǎn)有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點(diǎn)的表示特殊點(diǎn)的表示:)0 , 0 , 0(OM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn),P,Q,R坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn),A,B,C( , , )x y zxyz北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn)xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd,222212NMPNPMd 二、空間兩點(diǎn)間的距離二、空間兩點(diǎn)間的距離北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系,121xxPM ,

4、12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式特殊地：若兩點(diǎn)分別為特殊地：若兩點(diǎn)分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例 1 1 求求證證以以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M三三點(diǎn)點(diǎn)為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的三三角角形形是是一一個個等等腰腰三三角角形形.解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6

5、)31()23()54(222 32MM,13MM 原結(jié)論成立原結(jié)論成立.121323M MM MM M又北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系解解設(shè)設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為),0 , 0 ,(x因因?yàn)闉镻在在x軸軸上上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求點(diǎn)為所求點(diǎn)為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系思考題思考題在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個卦限？點(diǎn)在哪個卦限？, )3 , 2, 1( A, )4, 3 , 2( B, )

6、4, 3, 2( C. )1 , 3, 2( DA:; B:; C:; D:;北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系6.2 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算一、向量的概念一、向量的概念二、向量的加減法二、向量的加減法三、數(shù)與向量的乘法三、數(shù)與向量的乘法四、向量的投影四、向量的投影五、向量的坐標(biāo)表示五、向量的坐標(biāo)表示六、向量的方向角與方向余弦六、向量的方向角與方向余弦北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M為為起起點(diǎn)點(diǎn)，2M為為終終點(diǎn)點(diǎn)的的有有向向線線段段.1M 2M a21MM模長為模長為1 1的向量的向量. .2

7、1MM00a零向量：零向量：模長為模長為0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .單位向量：單位向量：或或或或或或一、向量的概念一、向量的概念北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系自由向量：自由向量：不考慮起點(diǎn)位置不考慮起點(diǎn)位置, ,只考慮大小方向的向量只考慮大小方向的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .負(fù)向量：負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .記為：記為：a 向徑：向徑：aba a空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn) 與原點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成的向量構(gòu)成的向量. . OMM

8、平行向量：平行向量： 方向相同或相反的向量方向相同或相反的向量. .記為：記為：ab北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系1 加法：加法：cba abc（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）特殊地：若特殊地：若ababc|bac 分為同向和反向分為同向和反向bac|bac （有時也稱為三角形法則）（有時也稱為三角形法則）二、向量的加減法北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 減法減法)( baba abb b cbabac

9、 )(ba ba ab北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)設(shè) 是是一一個個數(shù)數(shù)，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規(guī)規(guī)定定為為, 0)1( a 與與a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反反向向，|aa aa2a21 三、數(shù)與向量的乘法三、數(shù)與向量的乘法北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(0.ababa定理設(shè)向量，那么向量平行于的充分必要條件是：存在唯一的實(shí)數(shù) ，使兩個向量的平行關(guān)系兩個向量的平行關(guān)系

10、北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設(shè)設(shè)aa0按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量一個與原向量同方向的單位向量.北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系例例2 2 試用向量方法證明：對角線互相平分的試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形四邊形必是平行四邊形.證證AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC ADBC 結(jié)論得證結(jié)論得證.ABCDMab北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系

11、北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a與與向向量量b的的夾夾角角),(ba ),(ab 類似地，可定義類似地，可定義向量與一軸向量與一軸或或空間兩軸空間兩軸的夾角的夾角.特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 四、向量的投影北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系空間一點(diǎn)在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影u AA 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uAA BB 0 uu設(shè)為軸的單位

12、向量0 A Bu ,使得 ()uAB 即：注注：投影的結(jié)果是一個數(shù)量值，可正可負(fù)可為零。：投影的結(jié)果是一個數(shù)量值，可正可負(fù)可為零。北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系關(guān)于向量的關(guān)于向量的投影定理（投影定理（1 1） 向量向量AB在軸在軸u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾角的余弦：軸與向量的夾角的余弦：uABA B B ()|cosuABAB u 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系定理定理1 1的說明：的說明：投影為正；投影為正；投影為負(fù)；投影為負(fù)；投影為零；投影為零；uabc(4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投影相等； 0)1(,2 2)2(,

13、 )3(,2 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系關(guān)于向量的關(guān)于向量的投影定理（投影定理（2 2）兩兩個個向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個個向向量量在在該該軸軸上上的的投投影影之之和和. .AA BB CC （可推廣到有限多個）（可推廣到有限多個）u1a2a1212()()()uuuaaaa北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系過過21, MM各作垂直于三個坐標(biāo)軸的平面各作垂直于三個坐標(biāo)軸的平面 ,五、向量的坐標(biāo)表示五、向量的坐標(biāo)表示xyzoPNQR 1M 2M北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系xyzo 1MPNQR 2M以以kji,分分別別表表示示沿沿zyx,軸軸正正向

14、向的的單單位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影x 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影y 向量在向量在 軸上的投影軸上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本單位向量的按基本單位向量的坐標(biāo)分解式坐標(biāo)分解式：在三個坐標(biāo)軸上的在三個坐標(biāo)軸上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐標(biāo)坐標(biāo)：,zyxaaa向量的向量的坐標(biāo)表達(dá)式坐標(biāo)表達(dá)式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特

15、殊地：,zyxOM 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運(yùn)算的坐標(biāo)表達(dá)式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系 /abba如何用向量的坐標(biāo)來表示上述定理?111222 ,ax y zbxyz，；/abab212121,xx yy zz 111222 xyzxyz北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理

16、工大學(xué)數(shù)學(xué)系解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 設(shè)設(shè)),(zyxM為直線上的點(diǎn)，為直線上的點(diǎn)，ABMxyzo北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系由題意知：由題意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM為為有有向向線線段段AB的的定定比比分分點(diǎn)點(diǎn).M為為中中點(diǎn)點(diǎn)時時，,221xxx ,221yyy .221zzz 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系非零向量非零向量 的的方向角方向角：a非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的

17、正向的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 六、向量的方向角與方向余弦六、向量的方向角與方向余弦北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系xyzo 1M 2M 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模長的坐標(biāo)表示式向量模長的坐標(biāo)表示式21212121RMQMPMMM 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系0222 zyxaaa當(dāng)當(dāng) 時，時，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .co

18、s222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位向量的方向余弦為0,|cos, cos, cos .aaa aa 即，成立：北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系1212(1, 2,3),(0,2, 1), MMM M例：已知求 的模和方向余弦12222120 1,2( 2), 1 3144 |( 1)4( 4)33M MijkM M 解：121cos,|33xM M124cos,|33yM M124cos|33xM M北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系 5 , 60 .ax yza練習(xí)：已知向量的模為 ， 與軸正方向的夾角都是度，與軸正方向的夾角為鈍角，求向量 |cos , cos,cos .aa分析：1coscoscos222 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系解解所求向量有兩個，一個與所求向量有兩個，一個與 同向，一個反向同向，一個反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系北京理工大學(xué)數(shù)學(xué)系空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 空間