32簡單的三角恒等變換(2)

1、2022-4-193.2簡單的三角恒等變換簡單的三角恒等變換(2)2022-4-19: 1 sin22 1 cos ()222 1sin1 tan211sin半角公式cos+cos其中 號由所在象限的函數(shù)符號而定coscos+cos+cos2022-4-19:sinsin和差化積公式+sinsincoscos+coscos2sin22 +cos2sin22 +cos2cos22 +cos2sin.22 +sin sincos sincoscos cos sinsin1sinsin2 ( + )+()1sinsin2 ( + )()1coscos2 ( + )()1coscos2 ( + )()

2、2022-4-19上述公式間的聯(lián)系如下：S (+)C (+)S()C()-以代相除T (+)相除T()-以代2S2C2T相除2以代2S2C2T相除積化和差和差化積和差倍半升降冪公式2022-4-19 與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題對于與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題，我們可以把函數(shù)式化成一個對于與三角函數(shù)有關(guān)的最值問題，我們可以把函數(shù)式化成一個角的一個三角函數(shù)，角的一個三角函數(shù)，從而利用三角函數(shù)的最值來求解從而利用三角函數(shù)的最值來求解.下面我們分類加以說明下面我們分類加以說明.sinx1-1 53sinx82.y解： y=的最大值和最小值分別是 和 ，的最大值和最小值分別是 和 二、

3、二、y=asinx+bcosx型型一、一、y=a+bsinx型型例例1求函數(shù)求函數(shù)y=5-3sinx的最大和最小值的最大和最小值.根據(jù)正弦函數(shù)的最值情況來定根據(jù)正弦函數(shù)的最值情況來定.2022-4-193sin4cos)yxx45sin(x+ )(其中 是滿足tan = 的銳角30 22 2 xxxmax，+ ， 當(dāng) + 時，y5sin25sin(x+ )5,min, ), 5. 2y 433而sin =sin(+cos 555min.ymax故y5，32 03sin4cos.2sinx cos.xyxxx例 當(dāng)時，求函數(shù)的最值分析這是關(guān)于，的一次齊次式，可化成一個角的一個三角函數(shù)式解：202

4、2-4-19sinxc+dsinxay +b三、型53sinx3 .2 sinxy例 求函數(shù)的最值+53sinx (y+3)sinx2 ,32 sinxyyy 分析可利用反求法解：由得5若矛盾，+2sinxy+3sinx1y5，2222 ) 11, 326(y+3)yyy2(5sin x，即+160,min23ymax2解得：y8. y8，.32022-4-19 ya22四、sin x +bcos x型4 3 4y 22例 求函數(shù)sin x + cos x的最值. 22這是關(guān)于sin x 、cos x的二次齊次式，可先降次.解：1 cos21 cos23 4322xxy22+sin x + c

5、os x+41cos2 .2x7 +2min3.ymaxy4,2022-4-19 sinx5 2sinx3yay2222五、sin x +bcosx+ccos x型例 求函數(shù)sin x +cosx+ cos x的最值. 2sinx3y 22解：sin x +cosx+ cos x 1 cos21 cos2sin2xxx+322sin2x cos222sin2x24x+ （+）+min2222.ymaxy +，2022-4-19 sinx26 4233 2yay222六、sin x +b+c型例 求函數(shù)cos xsin xcosx+ ，x ,的最值.對于這種二次非齊次式，可以看作是可化為二次函數(shù)

6、的函數(shù)求解解：2 423 41y 222cos xsin xcosx+cos xcosx+2213()33 cosx211,3322又xcosxminmax21,;321 ,.32 maxmin15當(dāng)x時，(cosx)y41當(dāng)x時，(cosx)y42022-4-19sinxsinx7 sinxi x nyay七、（+cosx)+bcosx型例 求函數(shù)+cosx+scosx的最值.2sinx1 2sinxcosx.sinx注意到（+cosx） 可把+cosx看作是一個整體，利用換元法.解：sinxsinxsin(x),422t 設(shè)+cosxt, t+cosx 2+222ttsinx12sinxc

7、osx , sinxcosx 2 1（+cosx） 222t111y= t t(1)1,2222.t1代入得：+t2211; 22t minmax1當(dāng)t時，y-當(dāng)t時，y22022-4-19 221.3sinx1(2;3 sinxx3sin 43sin x6sinx11.22.f(x)2220-22f(x).13.f(x)22yyyyaaaa1232練習(xí)題求下列函數(shù)的最值：logcosx); 2log+x4+3cosx0,cosx+cos x2已知函數(shù)cos xcosx+x的最小值是，試確定實數(shù) 的值，并求出的最大值討論函數(shù) cos（ x22).2）+coscos(xcosxcos 的值域、周

8、期性、奇偶性及其單調(diào)性2022-4-19143PB作業(yè) 組 學(xué)與練2022-4-19 1. 1 -1 0 2 -1 1 3 3 5 4 12 2 2.32221.1 13.T,2 22,.2aakkkkmaxmax答案：， 時，y ； 時，y， ， ，偶函數(shù)，在區(qū)間+上， 在區(qū)間上kZ2022-4-19例例5.如圖，已知如圖，已知OPQ是半徑為是半徑為1，圓心角為，圓心角為 的扇形，的扇形，C是扇形是扇形 弧上的動點，弧上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記是扇形的內(nèi)接矩形，記COP= COP= ，問當(dāng)，問當(dāng) 角角 取何值時，矩形取何值時，矩形ABCDABCD的面積最大？并求出這個最大面積。的

9、面積最大？并求出這個最大面積。3OABPCDQ:,=,= .Rt OBCOB解在中 BC cossin,=DARt OADOA在中 tan603.OA3DA33BC33sin .3ABOBOAcos3sin .3.ABCDS設(shè)矩形的面積為SBCAB3cossinsin323sincossin313 1 cos2sin2232133sin2cos22661313sin2cos222632022-4-19例例5.如圖，已知如圖，已知OPQ是半徑為是半徑為1，圓心角為，圓心角為 的扇形，的扇形，C是扇形是扇形 弧上的動點，弧上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形，記是扇形的內(nèi)接矩形，記COP= COP=

10、 ，問當(dāng)，問當(dāng) 角角 取何值時，矩形取何值時，矩形ABCDABCD的面積最大？并求出這個最大面積。的面積最大？并求出這個最大面積。3OABPCDQSBCAB3cossinsin31313sin2cos2226313sin 26630,3由得52,6662,62所以當(dāng),6即 時 S最大13633.6,ABCD,6因此當(dāng) 時 矩形的面積最大 最大面積為3.62022-4-19442 sin2 3sin coscos,0,.yxxxx例 求函數(shù)的最小正周期和最小值并寫出該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間44sin2 3sin coscosyxxxx解：2222(sincos)(sincos)3sin2xx

11、xxx3sin2cos2xx2sin(2)6x,2;函數(shù)的最小正周期是最小值是0,該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間是10,35, .6 +22+2,262kxk令+,63kxk令=0,0,3kx5=1,6kx2022-4-19 3 (2cos,tan(),( 2sin(),tan(),2242424( ).,0,.xxxxabf xa bf x 例 已知向量令求函數(shù)的最大值 最小正周期 并寫出函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間( )2 2cossin()tan(+)tan()2242424xxxxf xa b 解：1tantan122222 2cos(sincos)222221tan1tan22xxxxxxx22

12、sincos2cos1222xxxsincosxx= 2sin().4x2 ,2;函數(shù)的最小正周期是最小值是0, .44該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增 在區(qū)間單調(diào)遞減2022-4-19 24( )3cos+sin0,.6;5II,3,.36f xxxcos xRf xyf x 例 設(shè)函數(shù)且函數(shù)的圖象在 軸右側(cè)的第一個最高點的橫坐標(biāo)是I 求 的值如果在區(qū)間上的最小值為求 的值313( )cos2sin2222f xxx解：（I）3sin 232x 2,632依題意得1.2解之得2022-4-193 )2（II)由（I）知,f(x)=sin(x+357,0,3636xx 又當(dāng)時，1sin()1,23x故513( ),3622