概率論與隨機(jī)過程：第3章 第五節(jié) 多維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布

1、第五節(jié) 多維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 引言引言 問題的一般提法為:(X1,Xn)為n維隨機(jī)變量,Y1,Ym都是X1,Xn的函數(shù) yi=gi(x1, x2, xn), i=1,2,m；要求(Y1,Ym)的概率分布. 設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量,討論 (1)X,Y的一個(gè)函數(shù)Z=g(X,Y)的分布(X,Y)經(jīng)變換后為一維隨機(jī)變量),(2)簡(jiǎn)單地介紹二維向量(X,Y)到二維向量(Z1,Z2)(zi=gi(x,y),i=1,2)變換問題。 一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布 我們可以從下面兩個(gè)例子中總結(jié)出一般的方法。 例1: 設(shè)(X,Y)的分布律為 XY 0 1 2 3 4 50 0 0.01 0.03 0.05

2、0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.082 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 求(1)V=Max(X,Y)；(2)U=Min(X,Y)；(3)W=X+Y的分布律。 解: (1) V=Max(X,Y)可能取值為：0，1，2，3，4，5。V 0 1 2 3 4 5P 0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28PV=0=PX=0,Y=0=0；PV=1=PX=0,Y=1+PX=1,Y=0 +PX=1,Y=1 =0.01+0.01+0.02=0.04；同理，可求出其它

3、取值的概率。 所以V的分布律為 XY 0 1 2 3 4 50 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.082 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05V=0V=1V=2V=3V=4V=5(2) U=Min(X,Y)的可能取值為：0，1，2，3 PU=i=PX=i,Yi+PXi,Y=i,i=0,1,2,3. U的分布律為 V 0 1 2 3P 0.28 0.30 0.25 0.17 XY 0 1 2 3 4 50 0 0.01 0.03 0.05

4、 0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.082 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05U=0U=1U=2U=3(3) W=X+Y的可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,7,8. ikkiYkXPiWP0,W的分布律為 W 0 1 2 3 4 5 6 7 8 P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05 XY 0 1 2 3 4 50 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.091 0.01 0.02 0.04 0.05 0.

5、06 0.082 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.063 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05W=0W=1W=2W=3W=4W=5W=6W=7W=8例2: 設(shè)X和Y獨(dú)立,分別服從二項(xiàng)分布b(n1,p), 和b(n2,p)(注意兩個(gè)二項(xiàng)分布中p是一樣的),求Z=X+Y的分布律.解: Z的可能取值為0,1, n1+ n2，固定k于上述范圍內(nèi),由獨(dú)立性有 21,21,kkkYkXPkYXPkZP2121212211,因?yàn)閗knnkkknknCCCknnkknnqpC2121所以21222221111121,21kkknkknknkknkkqpCqpCkYP

6、kXP 可見，Zb(n1+n2,p). 這個(gè)結(jié)果很容易推廣至多個(gè)的情形:若Xib(ni,p),i=1,2,m,且X1,Xm獨(dú)立,則X1+X2+Xmb(n1+n2+nm,p)。 解：依題意解：依題意 riirYiXPrZP0),()( 例例2 若若X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為它們分別服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布, 證明證明Z=X+Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為21,21的泊松分布的泊松分布.由公式由公式i=0,1,2,j=0,1,2,!)(ieiXPi11 !)(jejYPj22 riirYiXPrZP0),()(ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i -

7、r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rre即即Z服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布.21r =0,1，二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 問題： 設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)向量,具有概率密度f(x,y),又Z=g(X,Y)為X與Y的函數(shù),若Z是連續(xù)型隨機(jī)變量,要求Z的概率密度。 一般的方法是先求出Z的分布函數(shù)Fz(z), zyxgDDZdxdyyxfdxdyyxfzyxgDDYXPzYXgPzZPzF),(:),(),(),(:|),(),()(然后由FZ(z)求出Z的概率密度fZ(z). 例: 設(shè)(X,Y)的概率密度為 x+, y0時(shí) drrrddxdyyxfZzyxD

8、02220:11),(222 1Z=X+Y的分布： 設(shè)(X,Y)的概率密度為f(x,y),則Z=X+Y的分布函數(shù)為 zyxZdxdyyxfzYXPzZPzF),()(積分區(qū)域如圖,化成累次積分,得 yzZdxyxfdyzF),()(固定z和y對(duì)上式內(nèi)層積分作變量變換,令x=u-y,得 zyzduyyufdxyxf),(),(x=z-yxy于是 zzZdudyyyufdudyyyufdyzF),(),()(*)由概率密度的定義,即得Z的概率密度為 dyyyzfzfZ),()(由x,y的對(duì)稱性,fZ(z)又可寫成: dxxzxfzfZ),()(上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式. 特別地

9、,當(dāng)X和Y相互獨(dú)立時(shí),設(shè)(X,Y)關(guān)于X,Y的邊緣概率密度分別為fx(x),fY(y),則兩式分別為 dxxzfxfzfdyyfyzfzfYXZYXZ)()()()()()(；這兩個(gè)公式稱為卷積公式,記為fx*fY,即 dxxzfxfdyyfyzfffYXYXYX)()()()(例1: 設(shè)X和Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們都服從N(0，1) 分布,即有 yeyfxexfyYxX,21)(;,21)(2222 求Z=X+Y的概率密度。 解: 由公式 dxxzfxfzfYXZ)()()(令t=x-(z/2)，得 4442222212121)(zztzZeedteezf 即Z服從N(0，2)分布.

10、 一般地,設(shè)X,Y相互獨(dú)立且XN(1，12)，YN(2，22),經(jīng)過計(jì)算知Z=X+Y仍然服從正態(tài)分布,且有ZN(1+2，12+22). dxeedxeezxzxzx2222242)(22121 這個(gè)結(jié)論可推廣到n個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量之和的情況,即若 XiN(i,i2),(i=1,2,n),且它們相互獨(dú)立,則它們的和Z=X1+X2+Xn仍然服從正態(tài)分布,且有ZN(1+2+n，12+22+.+n2). 例2: 在一簡(jiǎn)單電路中,兩電阻R1,R2,相互獨(dú)立,它們的概率密度均為 其它其它01005010)(xxxf試求總電阻R=R1+R2的概率密度。解: 由公式，R的概率密度為 dxxzfxfzfR)()

11、()(易知僅當(dāng) 亦即 時(shí)上述積分的被積函數(shù)不等于零, 即得 100100 xzx zxzx10100 其它其它02010)()(100)()()(10100zdxxzfxfzdxxzfxfzfzzRx=zx=z-10 x100 10 20 z將f(x)的表達(dá)式代入上式得 其它其它020102015000110060600150001)(332zzzzzzzfR2 M=max(X,Y) N=min(X,Y)的分布 設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的分布函數(shù)分別為Fx(x)和FY(y).現(xiàn)在來求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函數(shù). 由于M=max(X,Y)不大于z等價(jià)于X和

12、Y都不大于z,故有 PMz=PXz,Yz 又由于X和Y相互獨(dú)立,得到M=max(X,Y)的分布函數(shù)為,)(maxzYPzXPzYzXPzMPzF )()()(maxzFzFzFYX 即即有有類似地,可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)為 1,11)(minzYPzXPzYzXPzNPzNPzF )(1)(1 1)(minzFzFzFYX 即即 以上結(jié)果容易推廣到n 個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的情況,設(shè)X1,X2,Xn是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.它們的分布函數(shù)分別為 ,i=1,2,n,則M=Max(X1,X2,Xn)及N=Min(X1,X2,Xn)的分布函數(shù)分別為 )()()()(21maxzFzFzFz

13、FnXXX )(1 )(1)(1 1)(21minzFzFzFzFnXXX )(xFiX 特別,當(dāng)X1,X2,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí),有Fmax(z)=F(z)n, Fmax(z)=1-1-F(z)n.例: 設(shè)系統(tǒng)L由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)L1,L2聯(lián)接而成,聯(lián)接的方式分別為(i)串聯(lián),(ii)并聯(lián),(iii)備用(當(dāng)系統(tǒng)L1損壞時(shí),系統(tǒng)L2開始工作),設(shè)L1,L2的壽命分別為X,Y,已知它們的概率密度分別為 ;000)( xxexfxX 000)(yyeyfyY 其中0,0且，試分別就以上三種聯(lián)接方式寫出L的壽命Z的概率密度. 解: (i)串聯(lián)的情況 由于當(dāng)L1,L2中有一個(gè)

14、損壞時(shí),系統(tǒng)L就停止工作,所以這時(shí)L的壽命為 Z=min(X,Y)。 由指數(shù)分布X,Y的分布函數(shù)分別為 ;0001)( xxexFxX 0001)(yyeyFyY 由公式得Z=min(X,Y)的分布函數(shù)為 0001)(1)(1 1)(minzzezFzFzFzYX 于是Z=min(X,Y)的概率密度為 000)(minzzezfz (ii)并聯(lián)的情況 由于當(dāng)且僅當(dāng)L1,L2都損壞時(shí),系統(tǒng)L才停止工作,所以這時(shí)L的壽命Z為Z=max(X,Y),按公式得Z=max(X,Y)的分布函數(shù) 00011)()()(maxzzeezFzFzFzzYX 于是Z=max(X,Y)的概率密度為 000)(minz

15、zeeezfzzz (iii)備用的情況. 由于這時(shí)當(dāng)系統(tǒng)L1損壞時(shí)系統(tǒng)L2才開始工作,因此整個(gè)系統(tǒng)L的壽命Z是L1,L2兩者壽命之和,即:Z=X+Y. 按公式,當(dāng)z0時(shí)，Z=X+Y的概率密度為 zyyzYXZdyeedyyfyzfzf0)()()( zzzyzeedyee 0當(dāng)z0時(shí),f(z)=0,于是Z=X+Y的概率密度為 000)(zzeezfzzZ 定義)0()(01 xdttexxt性質(zhì) )21(!)1(1)1()()1(nnxxx 下面我們?cè)倥e一例，說明當(dāng)下面我們?cè)倥e一例，說明當(dāng)X1,X2為離散型為離散型r.v時(shí)，如何時(shí)，如何求求Y=max(X1,X2)的分布的分布.解一解一: P

16、(Y=n)= P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 0,y0,顯然有P(X,Y)A=1,對(duì)變換(): ,當(dāng)(x,y) A時(shí),(u,v)的值域?yàn)?G=(u,v)|u0,v0 yxvyxu 且此變換滿足定理中的條件(i)(ii)(iii)變換()解得 vuyvuvx11所以 222111111,vuvuvvuvvvyuyvxuxvuyx 由定理得(U,V)的聯(lián)合密度為 其其它它00, 01,2vuvuevuu (2)可由(U,V)的聯(lián)合密度求出U,V的概率密度fU(u),fV(v) 其它其它001),()(02ueudvvuedvvuufuuU 其其它

17、它00111),()(022vvduvueduvuvfuV (3)容易看出,對(duì)于任意u,v有,所以U,V相互獨(dú)立. )()(,vfufvuVU 例例2: 2: 設(shè)X,Y相互獨(dú)立,服從同一分布N(0,1)而,(R,)是平面上隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)相應(yīng)的極經(jīng),極角,即有關(guān)系 sincosRYRX求(R,)的聯(lián)合密度. 解:記A=(x,y)|(x,y)0,G=(r,)|r0,02, 顯然有P(X,Y)A=1且變換 滿足定理 的條件,并且 sincosryrx rrrryx cossinsincos,由定理得(R,)的聯(lián)合密度為 其它其它0,21,22Grrerr 順便我們看出R,的概率密度分別為 ;00)

18、(22 其它其它rerrfrR 其它其它02021)( rf并且R與是相互獨(dú)立的。 注釋注釋 在求Z=g(X,Y)的概率密度時(shí),可以再找一個(gè)X與Y的函數(shù)W=h(X,Y)使得對(duì)變換 滿足定理的條件,利用定理的結(jié)論就可以求出（Z,W）的聯(lián)合密度，再由聯(lián)合密度便可求出Z的概率密度。 可以用此方法導(dǎo)出X+Y，X/Y，XY，X-Y等簡(jiǎn)單函數(shù)的概率密度的一般公式。要求是重點(diǎn)掌握在獨(dú)立性條件下求幾個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)X+Y，Min(X,Y)，Max(X,Y)的分布。 ),(),(yxhwyxgz 小結(jié) 本章以二維隨機(jī)變量為主，討論了多維隨機(jī)變量的(1)聯(lián)合分布 (2)邊緣分布 (3)X,Y的獨(dú)立性 (4)條件分布 (5) 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布。 對(duì)于多維隨機(jī)變量不難推廣，請(qǐng)同學(xué)自學(xué)