112與三角形有關(guān)的角

1、人民教育出版社義務(wù)教育教科書八年級數(shù)學(xué)（上冊） 11.2 11.2 與三角形有關(guān)的角與三角形有關(guān)的角 學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1探索并證明三角形內(nèi)角和定理探索并證明三角形內(nèi)角和定理 2能運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決簡單問題能運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理解決簡單問題 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 探索并證明三角形內(nèi)角和定理，體會證明的必要性探索并證明三角形內(nèi)角和定理，體會證明的必要性 11.2.1 三角形的內(nèi)角方法：方法：度量、剪拼圖、折疊度量、剪拼圖、折疊 探索并證明三角形內(nèi)角和定理探索并證明三角形內(nèi)角和定理BBCCAAABBC問題問題1在小學(xué)我們已經(jīng)知道任意一個三角形三個在小學(xué)我們已經(jīng)知道任意一個三角形三個內(nèi)角的

2、和等于內(nèi)角的和等于180，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論的，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論的嗎？請大家利用手中的三角形紙片進(jìn)行探究嗎？請大家利用手中的三角形紙片進(jìn)行探究 問題問題1在小學(xué)我們已經(jīng)知道任意一個三角形三個在小學(xué)我們已經(jīng)知道任意一個三角形三個內(nèi)角的和等于內(nèi)角的和等于180，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論的，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論的嗎？請大家利用手中的三角形紙片進(jìn)行探究嗎？請大家利用手中的三角形紙片進(jìn)行探究 探索并證明三角形內(nèi)角和定理探索并證明三角形內(nèi)角和定理AABBCABBCC方法：方法：度量、剪拼圖、折疊度量、剪拼圖、折疊 問題問題1在小學(xué)我們已經(jīng)知道任意一個三角形三個在小學(xué)我們已經(jīng)知道任

3、意一個三角形三個內(nèi)角的和等于內(nèi)角的和等于180，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論的，你還記得是怎么發(fā)現(xiàn)這個結(jié)論的嗎？請大家利用手中的三角形紙片進(jìn)行探究嗎？請大家利用手中的三角形紙片進(jìn)行探究 探索并證明三角形內(nèi)角和定理探索并證明三角形內(nèi)角和定理ABC方法：方法：度量、剪拼圖、折疊度量、剪拼圖、折疊 三角形兩邊的夾角叫做三角形的內(nèi)角三角形的內(nèi)角探索并證明三角形內(nèi)角和定理探索并證明三角形內(nèi)角和定理追問追問1運(yùn)用度量的方法，得出的三個內(nèi)角的和都運(yùn)用度量的方法，得出的三個內(nèi)角的和都是是180嗎？為什么？嗎？為什么？測量可能會有誤差測量可能會有誤差在一個直角三角形里住著三個內(nèi)角，平時，它們?nèi)值芊浅F(tuán)結(jié)。可是有

4、一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行?。　崩洗笳f：“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起來了”“為什么？”老二很納悶。同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？內(nèi)角三兄弟之爭如下圖所示是我們常用的三角板,它們的三個角之和為多少度?想一想:任意三角形的三個內(nèi)角之和也為180度嗎?30+60+90=18045+45+90=180思考與探索三角形的三個內(nèi)角和是多少?把三個角拼在一起試試看？你有什么辦法可以驗證呢?從剛才拼角的過程你能想出證明的辦法嗎?180實(shí)踐操作21EDCBA三角形的內(nèi)角和等于1800.延長BC到D，于是CEBA (內(nèi)錯角相等，兩

5、直線平行).B=2 (兩直線平行，同位角相等).1+2+ACB=180A+B+ACB=180在ABC的外部，以CA為一邊，CE為另一邊作1=A，證法一21EDCBA三角形的內(nèi)角和等于1800.延長BC到D， 過C作CEBA， A=1 (兩直線平行，內(nèi)錯角相等)B=2(兩直線平行，同位角相等)1+2+ACB=180A+B+ACB=180證法二F21ECBA三角形的內(nèi)角和等于1800.過A作EFBC，B=2(兩直線平行,內(nèi)錯角相等) C=1(兩直線平行,內(nèi)錯角相等) 2+1+BAC=180B+C+BAC=180證法三CBEA三角形的內(nèi)角和等于1800.過A作AEBC，B=BAE(兩直線平行,內(nèi)錯角

6、相等)EAB+BAC+C=180(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ))B+C+BAC=180證法四 在這里，為了證明的需要，在原來在這里，為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做的圖形上添畫的線叫做輔助線輔助線。在平面。在平面幾何里，輔助線通常畫成幾何里，輔助線通常畫成虛線虛線。 為了證明三個角的和為為了證明三個角的和為1800,轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為一個平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)化為一個平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ),這這種種轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法是數(shù)學(xué)中的常用方法.思路總結(jié)思路總結(jié)課堂練習(xí)課堂練習(xí)練習(xí)練習(xí)1如圖，說出各圖中如圖，說出各圖中1 的度數(shù)的度數(shù)80501 30 105 1 221（1） （2） （3） 練習(xí)練

7、習(xí)2如圖，從如圖，從A 處觀測處觀測C 處的仰角處的仰角CAD = = 30，從，從B 處觀測處觀測C 處的仰角處的仰角CBD = = 45從從C 處觀處觀測測A，B 兩處的視角兩處的視角ACB 是多少？是多少？ 課堂練習(xí)課堂練習(xí)ABDC(口答)下列各組角是同一個三角形的內(nèi)角嗎?為什么?（2）60， 40， 90（3）30， 60， 50（1）3， 150， 27 （是是 ）（ 不是不是）（ 不是不是）鞏固練習(xí)（1）在）在ABC中，中，A=35， B=43 則則 C= . （2）在）在ABC中，中， A :B:C=2:3:4則則A = B= C= . （3）一個三角形中最多有一個三角形中最多有

8、 個直角？為什么？個直角？為什么？（4）一個三角形中最多有）一個三角形中最多有 個鈍角？為什么？個鈍角？為什么？（5）一個三角形中至少有）一個三角形中至少有 個銳角？為什么？個銳角？為什么？（6）任意一個三角形中）任意一個三角形中,最大的一個角的度數(shù)至少最大的一個角的度數(shù)至少為為 .102 80 60 40 60211應(yīng)用新知應(yīng)用新知解解：在在ACD中中 CAD 30 D 90 DABC ACD =180 -30 -90 =6 0 在在BCD中中 CBD = 45 D 90 BCD = 180 - 90-45 =45 ACB = ACD - BCD = 6 0 - 45 鞏固練習(xí)1.如圖,從A

9、處觀測C處時仰角CAD30,從B處觀測C處時仰角CBD45.從C處觀測A、B兩處時視角ACB是多少?運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理例例1如圖，在如圖，在ABC 中中， BAC = =40, , B = = 75，AD 是是ABC 的角平分線求的角平分線求ADB 的度數(shù)的度數(shù)CBDA解解BAC = =40AD 是是ABC 的角平分線的角平分線BAD= BAC=2021在在ABD中中ADB=180-B-BAD =180-75-20=85ADB 的度數(shù)為的度數(shù)為85ABC在直角三角形ABC中,C90，由三角形內(nèi)角和定力，得, A +B+ C=180即 A +B+ 90=180，所以 A +

10、B= 90.例題講解例題講解1 1也就是說， 直角三角形的兩個銳角互余.由三角形內(nèi)角和定理可得：由三角形內(nèi)角和定理可得： 有兩個角互余的三角形是直角三角形。有兩個角互余的三角形是直角三角形。 直角三角形可以用符號“Rt”表示，直角三角形ABC也可以寫成RtABC.ABC已知ABC中,ABCC=2A ,BD是AC邊上的高，求DBC的度數(shù)。D解：設(shè)Ax0，則ABCC2x0 x2x2x180 （三角形內(nèi)角和定理）解得x36C2360720DBC1800900720（三角形內(nèi)角和定理）在BDC中，BDC900(三角形高的定義）DBC180?例題講解例題講解2 2如圖,C島在A島的北偏東50方向，B島在

11、A島的北偏東80方向，C島在B島的北偏西40方向。求下面各題.（1）DAC_ DAB_ EBC_ CAB _ A(2)從C島看A 、B兩島的視角C是多少?508040DBCE北北解： ADBE DABABE180 ABE 180DAB 180 80 100 在在ABC中中,C 180 CAB ABC 18030 60 90 ABCABECBE30 1004060例題講解例題講解3 3DCE北A50B40 北MN在AMC中 AMC=90, MAC=50解：過點(diǎn)C畫MNAD分別交AD、BE于點(diǎn)M、N12例:如圖,C島在A島的北偏東50方向，B島在A島的北偏東80方向，C島在B島的北偏西40方向。1

12、=180 -90-50 =40 ADBE AMC+ BNC =180 BNC =90同理得2 =50 ACB =180 -1 -2=180 -40-50 =90例題講解例題講解3 3BDCE北A 你能想出一個更簡捷的方法來求C的度數(shù)嗎？125040解：解： 過點(diǎn)過點(diǎn)C畫畫CFAD 1DAC50 , F CFAD, 又又AD BE CF BE2CBE 40 ACB12 50 40 90 例題講解例題講解3 32.如圖,某同學(xué)把一塊三角形的玻璃打碎成三片,現(xiàn)在他要到玻璃店去配一塊形狀完全一樣的玻璃,那么最省事的辦法是 ( )(A)帶去帶去(B)帶去帶去(C)帶去帶去(D)帶和去帶和去C鞏固練習(xí)3.

13、ABC中,若ABC,則ABC是( )A、銳角三角形B、直角三角形 C、鈍角三角形D、等腰三角形4. 一個三角形至少有（ ） A、一個銳角 B、兩個銳角 C、一個鈍角 D、一個直角BB鞏固練習(xí)5. 如圖ABC中,CD平分ACB,DEBC,A70,ADE50, 求BDC的度數(shù).ABCDE解:A70 ACB=180 -A-B=180-70-50=60DE/BCB=ADE50 CD平分ACB30602121ACBDCBDCBBBDC1801003050180鞏固練習(xí)甲樓高16米,乙樓座落在甲樓的正北面,已知當(dāng)?shù)囟林形?2點(diǎn),太陽光線與水平面夾角為450,如果甲樓的影子剛好不落在乙樓上,那么兩樓的距離

14、應(yīng)是多少？甲甲乙乙16米米450？45016米米解:由題意知ABC45,90ACBABCACBABCBAC1804590180 45BC=AB=16答:兩樓的距離是16米.拓展與思考12、在中，如果= B= C，那么是什么三角形？2131解:設(shè)A=x,那么B=2x,C=3x根據(jù)題意得:18032xxx解得 30 xA=30,B=60,C=90所以是直角三角形拓展與思考2小結(jié)1、三角形的內(nèi)角和：三角形三個內(nèi)角之和為1802、由三角形內(nèi)角和等于180，可得出(1)直角三角形兩銳角互余；(2)一個三角形最多有一個直角或鈍角；(3)任意一個三角形中，最多有三個銳角，最少有兩個銳角；(4)一個三角形中至

15、少有一個角小于或等于6011.2.2 三角形的外角ABCD三角形的外角：三角形的外角： 三角形的三角形的一邊一邊與與另一邊的反向延長另一邊的反向延長線線組成的角組成的角ABCDE看一看：看一看：算一算：算一算：若若 A55， B=60,試求試求 ACB, ACD, CAE的度數(shù)并說出你的理由的度數(shù)并說出你的理由圖中哪些角是三角形的圖中哪些角是三角形的內(nèi)角內(nèi)角，哪些角是三角形的哪些角是三角形的外角外角？115606555125通過上題的計算，你發(fā)現(xiàn)通過上題的計算，你發(fā)現(xiàn)ACD， CAE與三角形的內(nèi)角之間有怎樣的與三角形的內(nèi)角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系呢？呢？請你試著用自己的語言說一說請你試著用

16、自己的語言說一說想一想：想一想：三角形的一個三角形的一個外角外角等于與它等于與它不相鄰不相鄰的的兩個內(nèi)角兩個內(nèi)角的和。的和。求下列各圖中求下列各圖中1 1的度數(shù)。的度數(shù)。30 60 1 1 35 120 1 145 50 1 11=1=1=908595 ACD A ()； ACD B ()結(jié)論：結(jié)論：三角形的一個外角大于任何一個與它不相三角形的一個外角大于任何一個與它不相 鄰的內(nèi)角。鄰的內(nèi)角。DACB你選什么你選什么 ？把圖中把圖中1 1、 2 2、 3 3按由大到小的按由大到小的順序排列順序排列B 3 32 21ACDE123ABC123方法方法1 1方法方法2 2三角形的外角和等于三角形的

17、外角和等于36036012 3 ?從哪些途徑探究這個結(jié)果從哪些途徑探究這個結(jié)果議一議議一議ABC1232 ABC=1803 ACB=180三個式子相加得到三個式子相加得到1 2 3 BAC ABCACB=540而而BAC ABCACB=1801 2 33601 BAC=180解：解：BC1234A D判斷題：判斷題：1 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ）2 2、三角形的外角和等于它內(nèi)角和的、三角形的外角和等于它內(nèi)角和的2 2倍。（倍。（ ）3 3、三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和。（、三角形的一個外角等于兩個內(nèi)角的和。（ ）4 4、三角形

18、的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。、三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。（ ）5 5、三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角。（、三角形的一個外角大于任何一個內(nèi)角。（ ）6 6、三角形的一個內(nèi)角小于任何一個與它不相鄰的外角。、三角形的一個內(nèi)角小于任何一個與它不相鄰的外角。（ ）練一練練一練學(xué)一學(xué)學(xué)一學(xué)例例1:1:如圖，如圖，D D是是ABCABC的的BCBC邊上一點(diǎn)，邊上一點(diǎn)，B BBADBAD，ADCADC8080,BAC=70,BAC=70. .求：（求：（1 1）B B的度數(shù)；的度數(shù)； （2 2）C C的度數(shù)的度數(shù). .問：問：（1）中為什么）中為什么ADCADCB+BADB+BAD？ （2 2）中求）中求C C的度數(shù)還有其他方法嗎？的度數(shù)還有其他方法嗎？ABCD808070704040練一練練一練A AB BC CD DE EF F . .ADECFB123360 0NPMABCDEFG + 180180練一練練一練已知圖中已知圖中A A、 B B、 C C分別為分別為80， 20 ， 30 ，求，求1