高中數(shù)學(xué)-二項(xiàng)式定理精講精練

1、高中數(shù)學(xué)-二項(xiàng)式定理精講精練K短雙1.二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理(a b)n C0an C%n1b L C：an kbk L C：bn(n N ),這個公式叫做二項(xiàng)式定理，等號右邊的多項(xiàng)式叫做(a b)n的二項(xiàng)展開式，共有 項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù) 叫做二項(xiàng)式系數(shù).說明：二項(xiàng)式定理中的 a,b既可以取任意實(shí)數(shù)，也可以取任意的代數(shù)式，還可以是別的在二項(xiàng)式定理中，如果設(shè) a 1,b x , 則得到公式：(1x)nC0C1nxC：x2LC：xkLC：xn.(2)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)二項(xiàng)展開式中的 C：an kbk叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，用Tk 1表示，即通項(xiàng)為展開式的第項(xiàng)：Tk1 C：ankbk.2 .“楊輝三

2、角”與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)楊輝三角當(dāng)n依次取1,2, 3,時，(a b)n展開式的二項(xiàng)式系數(shù)可以表示成如下形式：(a + 6) 111(a+A)4121(口+6 尸 1331(a+A)414641(a +6)51510 10 51(a 1615 20 15 61該表稱為“楊輝三角”，它蘊(yùn)含著許多規(guī)律：例如：在同一行中，每行兩端都是1,與這兩個1等距離的項(xiàng)的系數(shù)相等；在相鄰的兩行中，除 1以外的其余各數(shù)都等于它“肩上”兩個數(shù)字之.(2)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)對稱性.與首末兩端“等距離”的兩個二項(xiàng)式系數(shù) .事實(shí)上，這一性質(zhì)可直接由公式cm cnm得到.n 1n 1增減性與最大值.當(dāng)k 上時，二項(xiàng)式系數(shù)

3、是逐漸增大的；當(dāng) k 上時，二項(xiàng)式 22系數(shù)是逐漸減小的，因此二項(xiàng)式系數(shù)在中間取得最大值.當(dāng)n是偶數(shù)時，中間的一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 最大；當(dāng)n是奇數(shù)時，中間的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 相等且最大.各二項(xiàng)式系數(shù)的和.已知(1x)nC：Cnxc2x2Lc：xkLc；xn.令x1,則2n c： C1n Cn L c：.也就是說，(a b)n的展開式的各個二項(xiàng)式系數(shù)的和為.K知識參考答案：1 .(1) n+lC：(k 0,1,2,L ,n) (2) k 1n n 1 n 12 . (1)和(2)相等C2 cnc/2n/|k重點(diǎn)K一重點(diǎn)二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式K 一難點(diǎn)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡單

4、問題K 一易錯容易混淆項(xiàng)與項(xiàng)的系數(shù)，項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)一、二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)(項(xiàng)的系數(shù))的計(jì)算求二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題 ，實(shí)質(zhì)是考查通項(xiàng)的特點(diǎn)，一般需要建立方程求 k,再將k的值代回 通項(xiàng)求解，注意k的取值范圍(k 0,1,2,L ,n) .一定要記準(zhǔn)二項(xiàng)式的展開式，對于較復(fù)雜 的二項(xiàng)式，有時先化簡再展開更簡捷.【例1】已知在(版一金了的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng).(1)求含爐的項(xiàng)的系數(shù)；(2)求展開式中所有的有理項(xiàng) . 3A【解析】（i）由通項(xiàng)公式得 %=耳-（宣1亳T = K十中一,因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，所以T = 5時，有m =。，解得丸二1。,3令上六=2,得= ：£丘-6

5、） = 2,故所求系數(shù)為.- 二.10 2r Z3（2）根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意得0 r 10 ,令今子二比(Jtw Z),則10 2二4A ,即r Z因?yàn)閠wN,所以應(yīng)為偶數(shù)，所以可以取 2.0.-2,即可以取2,5,8,所以第3項(xiàng)、第6項(xiàng)、第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為鵬,鼻（一毋£器（一號,工，日口 45 2 6345x ,2 .48 256x2【名師點(diǎn)睛】第 m項(xiàng)是令k 1 m；常數(shù)項(xiàng)是該項(xiàng)中不含 變元"，即 變元”的哥指數(shù)為0； 有理項(xiàng)是通項(xiàng)中變元”的哥指數(shù)為整數(shù).【例2】（2015陜西）二項(xiàng)式（x 1）n（n N ）的展開式中x2的系數(shù)為15,則nA. 4B. 5C.

6、6D. 7【答案】C【解析】二項(xiàng)式x 1 n的展開式的通項(xiàng)是Tr 1 C；x，令r 2得x2的系數(shù)是C2,因?yàn)閤2 的系數(shù)為15,所以C2 15,即n2 n 30 0 ,解得n 6或n 5 ,因?yàn)閚 N ,所以 n 6 ,故選C.二、與二項(xiàng)式定理有關(guān)的求和問題二項(xiàng)式定理(a b)n C：an C；an1b LCnan kbk LC；bn(n N )中，a,b 既可以取任意實(shí)數(shù)，也可以取任意的代數(shù)式，還可以是別的.我們在求和時，要根據(jù)具體問題靈活選取a, b的值.【例3】在口的展開式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)各項(xiàng)系數(shù)的和；(3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；(4)奇數(shù)項(xiàng)的

7、系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和；(5) x的奇次項(xiàng)系數(shù)和與 x的偶次項(xiàng)系數(shù)和.【解析】設(shè)一- .二-_,各項(xiàng)系數(shù)和即為,上，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為,，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為n + 電 4- - + a1Qa0 4 tl之+ + a1Q打，仃，X的奇次項(xiàng)系數(shù)和為".布*內(nèi)4 #m，X的偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為 + 十5 +'r 9fl-j + da -T a5 + ,* T tig+ a； + a+ -F «-+ a1D.由于(*)是恒等式，故可用 賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和.(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和為中今+匕力+4c器=手口.(2)令x= y=1,得各項(xiàng)系數(shù)和為Q _ 3尸口 = _1尸口 = 1(3)奇

8、數(shù)項(xiàng)的項(xiàng)式系數(shù)和為 ?？?+y +升qid _.偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為(4)令 x= y=1,得.且口 4比1 +應(yīng)H -卜fliD = 1令 x= 1,y=1(或 x=1,y= 1),得1cl出- 1 + a2 -a, + -+ a1(J = 5ia+得館 .、111rL故奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為 2(%+& +- + a1Q)= 1 + 510-得.，故偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為(5) x的奇次項(xiàng)系數(shù)和為一；1-3U，Q4十Q昱十口3HH % = x的偶次項(xiàng)系數(shù)和為i+allt.% + tta + a4 + - + tL10 =【名師點(diǎn)睛】二項(xiàng)式定理是一個恒等式，即對a,b的一切值都成立，在做題時，

9、a,b的值一般取 1, 1或0.三、整除、求余問題有關(guān)整除、求余問題是二項(xiàng)式定理的應(yīng)用之一，關(guān)鍵在于如何把問題轉(zhuǎn)化為一個二項(xiàng)式問題，注意結(jié)合二項(xiàng)式定理和整除、求余的有關(guān)知識來解決【例4】利用二項(xiàng)式定理證明2n+2 3n+5n 4(n N )能被25整除.【解析】因?yàn)?n+2 3n =4X(1 +5)n= 4(l + CiS + q5=-l- + 邙 7 5"n + 然 5口)=4+ 2 m + 4(邙 5 工 + 禺 +，,+ 弋59，所以 2n+2 3n+5n 4=25m + 4(?；脊?邙5瞽+ W中)=2Sn + 4(C=4喋5+印產(chǎn)一可色之冷，則 nR2時，2n+2 3n+5

10、n4 能被 25 整除，當(dāng) n = 1 時，2n+2 3n+ 5n 4=25.所以，當(dāng)n N時，2n+2 3n+5n 4能被25整除.四、混淆項(xiàng)的系數(shù)與項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)2 a 、8 【例5】若（x ）的展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120,則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為x2【錯解】（x立）8的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為C8 C8 C2 LC8 28.x【錯因分析】錯解中誤把求展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和理解為求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和，二者是不同的概念.2【正解】（x 二）8的展開式的通項(xiàng)為 Tr 1 C8x8r（a2）rxr C8（ a2）rx8 2r,令8-2r=0, x22/a、8/4、8解得r=4,則 （-a2）4=l

11、l20，解得22=2,故（x）（xT，令x=1，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之.xx和為（1-2）8=1.【名師點(diǎn)睛】一個二項(xiàng)展開式的第k 1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Cn,所有的二項(xiàng)式系數(shù)是一組僅與二項(xiàng)式的次數(shù) n有關(guān)的n 1個組合數(shù)，與a,b的取值無關(guān)，且是正數(shù)；而第 k 1項(xiàng)的系數(shù)則是二項(xiàng)式系數(shù) C：與數(shù)字系數(shù)的積，可能為負(fù)數(shù) .只有當(dāng)數(shù)字系數(shù)為1時，二項(xiàng)式系數(shù)恰 好就是項(xiàng)的系數(shù).,K好題1. （1 x）10的二項(xiàng)展開式中的一項(xiàng)是A. 45B. 90x27 / 14C. 120X3D. 252x410912,二項(xiàng)式 X2 -= 的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為XA. 1B.1C. 210D . 03化簡（加-4&#

12、165;+ 4（-4產(chǎn)+ 6（克-4尸+4Q- 1） + 1得A。 -B.一，則的可能取值為C.二”-4 .二項(xiàng)式（代寞+次y1m苣N的展開式中只有一項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)A. 6B. 7C. 8D. 95 .的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為（6+丁式中的常數(shù)項(xiàng)為A. 6B. 9C. 12D. 186 .設(shè)aCZ,且0與13,若512012+a能被13整除，貝U a=A. 0B. 17 . 3 x 7的展開式中，x5的系數(shù)是.(用數(shù)字填寫答案)，則8已知r=/+.紅+1)+叼+iy +叼(戈+ iy4三口 +1產(chǎn)+ 口式工+i)s .% =9 .已知”=同*,在1r工加不的展開式中

13、，第二項(xiàng)系數(shù)是第三項(xiàng)系數(shù)的. ?!匕 IN (JC + 2)(1)求的值；(2)求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；(3)若.+.求' (x + 2)n = a0 + 4(工41¥，口口 十 %+一值.10 .設(shè)(21尸口口二匹4 %工+弓好+o1m產(chǎn)口，求下列各式的值:(1) a0.(2) a1+a2 + a3 + a4+ a100.(3) a1 + a3 + a5 + + a99.(4) (a0+a2+ a100)2(a1+a3+ a99)2.(5) |a0|+ |a1|+ a100|.311 .若a 2 x |x dx,則在的展開式中，的哥函數(shù)不是整數(shù)的項(xiàng)共有3班-款A(yù). 1

14、3 項(xiàng) B.14 項(xiàng)C. 15 項(xiàng) D.16 項(xiàng)12 .若(ax2 b)6的展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為20,則a2 b2的最小值. x n13 .設(shè)a 0,n是大于1的自然數(shù)，1 的展開式為ao a1x a2x2anxn 若點(diǎn)aAi(i,ai)(i 0,1,2)的位置如圖所示，則 a .0 1 2 工14 .程序框圖如圖所示，若輸入s 0, n 10, i 0,則輸出的為 9 / 14i=i*l是K1I?一看15.已知（+ m（m已RJ展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為（1）求 的值； 、 mr.n,（2）求，、展開式中含工項(xiàng)的系數(shù).（1 4冊、爾尸（1 -幻X3112.32C7

15、189.13 / 1416 .（四川）設(shè)i為虛數(shù)單位，則（x i）6的展開式中含x4的項(xiàng)為A. 15x4B. 15x4C. 20i x4D . 20i x417 .（新課標(biāo)全國I）（2x Jx）5的展開式中，x3的系數(shù)是.（用數(shù)字填寫答案）15 ,18.（山東）若ax2+?。?的展開式中x5的系數(shù)是一80,則實(shí)數(shù)a= , xk k31. C【解析】由通項(xiàng)公式Tk 1C10X可知，當(dāng)k 3時，有T4 120X .2. C【解析】展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為C00 Clo C2o L C10 210.故選C.3. B【解析】根據(jù)題意，可知(.V - 4廣 + 4.V 4)3 4- 6(工-4J&

16、 +- 4) -I-1 = C£(jc 4尸 + 船(工率尸 + C卷值4尸 + x _ 43 +C* = (Jt-4) + l*=(Jt-3)44. B【解析】展開式的通項(xiàng)為,故選/燈=q（6切一（避尸飛（密（四）5工,而展開式中只有一項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù)則唯（溝三與門為有理數(shù)和（海«病為有理數(shù)即為3的倍數(shù)為2的倍數(shù)%二3，則的可能取值為7.選B.5 . B【解析】由題意可得，令乂=1,則$ = 4fl，又各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 R =卻，所以上5 解得才.所以該二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為令1，得該2-= 72 一入二 C,L I二項(xiàng)式展開式的常數(shù)項(xiàng)為.故選B.6 . D【解析】5

17、12012 a (52 1)2012 a C0 522012 C1522011 LC2011521 C2012 aa I a(JMI) a20122012I2012J42012 a)由于C0012 5 22012 C2012522011L C2012521含有公因數(shù)52,故能被52整除，即能被13整除，要使512012+a能被13整除，又aez,且04<13,則1 a 13,故a 12.故 選D.7 . -189【解析】由二項(xiàng)式定理得Tr 11r 37 r C；x，令r = 5得x5的系數(shù)是8 - -5【解析】產(chǎn)=0 4 1） _油一項(xiàng)式定理得=嗎g+,故%。+ 1）* = （-1。加+

18、1產(chǎn)所以/ =（-=-S9 .【解析】（1）由題意得，解得 匚.=段=6（2）由（1）知，二項(xiàng)式系數(shù)最大的值為二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第四項(xiàng)，則(3)儀+ 2» =(x+l)+ 1樂=5 + 工13+0+的仕+ 1* + “ + $0+ I)6,令.，得豆=。豌 4a * + / = 2s = 6410 .【解析】（1）令x=0,則展開式為ao=2100.(2)令乂= 1,可得_7TlM£*)，所以+% +叼+ %加(76產(chǎn)”5斗耳切 口=（2- 2100（3）令x= 1,可得/ 一的4的 一期4=（2+、?。﹎口.與（2）中（*）式聯(lián)立相減得一 一.%十方+3十a(chǎn)-;(4)

19、原式= (a0+a2+ a0o)+(a+a3+ a99)(ao+a2+ a1oo)一(a+a3+a99)=值注 +趣里+ %+ A'.出口 一匕斗壯 %+*/£ 立 99 4 a 1口口) = (2 1VD(24M33 1«0= 1(5)因?yàn)?t h = (-尸廠。/ 口ut(娟,所以 a2k 1 < 0(k N ).所以 |a0|+ |ai|+ |a2|+|aioo|=ao ai + a2 a3+ ai00_ 子 陰,£011. C 【解 析】 a. = 2 口必+ 2父 2%dx = 2M|k 18, 由科i =心耐a(CJBCr)5-TC-iyfr = 0/，國得，當(dāng)f二匚234萬783101113445第37時，的哥函數(shù)不是整數(shù)，即共有15項(xiàng)，選C.12【解析】（ax2 b）6展開式的