第2.7講 圖形變換之旋轉(zhuǎn)-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）

1、【備戰(zhàn)2019年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破】考綱要求:1能夠按要求作出簡(jiǎn)單平面圖形經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)后的圖形.2探索基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及其相關(guān)性質(zhì).3利用圖形之間的變換關(guān)系（軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)及其組合）解決問(wèn)題.基礎(chǔ)知識(shí)回顧: 1.旋轉(zhuǎn)概念：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn).點(diǎn)O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角.2.旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì) 圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)，圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度，任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線都是旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，圖形的形狀、大小都沒(méi)有發(fā)生變

2、化.3.旋轉(zhuǎn)作圖步驟分析題目要求，找出旋轉(zhuǎn)中心，確定旋轉(zhuǎn)角.分析所作圖形，找出構(gòu)成圖形的關(guān)鍵點(diǎn).沿一定的方向，按一定的角度、旋轉(zhuǎn)各頂點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心所連線段,從而作出圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn). 按原圖形連結(jié)方式順次連結(jié)各對(duì)應(yīng)點(diǎn).4.中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形中心對(duì)稱：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫中心對(duì)稱圖形.5.中心對(duì)稱作圖步驟 連結(jié)決定已知圖形的

3、形狀、大小的各關(guān)鍵點(diǎn)與對(duì)稱中心，并且延長(zhǎng)至2倍，得到各點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn). 按原圖形的連結(jié)方式順次連結(jié)對(duì)稱點(diǎn)即得所作圖形.應(yīng)用舉例:招數(shù)一、正三角形類型【例1】已知，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，線段 繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接求的長(zhǎng)求的度數(shù)【答案】（1）4（2）150°來(lái)源:Zxxk.Com連接、是等邊三角形，在和中，在中，是直角三角形，且是等邊三角形， 【例2】已知：如圖，在ABC中，BAC=120°，以BC為邊向形外作等邊三角形BCD，把ABD繞著點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后得到ECD，若AB=5，AC=3，求BAD的度數(shù)與AD的長(zhǎng)【答案】BAD=60°，AD=8招數(shù)二、等

4、腰直角三角形類型【例3】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將等腰直角三角形AOB按如圖所示的位置放置，然后繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到A'OB'的位置，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(4，0)，則點(diǎn)A' 的坐標(biāo)為（ ） A. （2，2） B. （， ） C. （2，2） D. （， ）【答案】C【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作ACOB于C，過(guò)點(diǎn)A作ACOB于C，【例4】已知 RtABC 中，ACB=90°，CA=CB=4，另有一塊等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)放在 C 處，CP=CQ=2，將三角板 CPQ 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)（保持點(diǎn) P 在 ABC 內(nèi)部），連接 AP、BP、BQ（1）如圖 1

5、 求證：AP=BQ；（2）如圖 2 當(dāng)三角板 CPQ 繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)到點(diǎn) A、P、Q 在同一直線時(shí)，求 AP 的長(zhǎng)；（3）設(shè)射線 AP 與射線 BQ 相交于點(diǎn) E，連接 EC，寫出旋轉(zhuǎn)過(guò)程中 EP、EQ、EC之間的數(shù)量關(guān)系【答案】（1）證明見解析（2） （3）EP+EQ= EC【解析】解：（1）如圖 1 中，ACB=PCQ=90°，ACP=BCQ 且 AC=BC，CP=CQACPBCQ（SAS）PA=BQ如圖 2 中，作 CHPQ 于 H解：結(jié)論：EP+EQ= EC理由：如圖 3 中，作 CMBQ 于 M，CNEP 于 N，設(shè) BC 交 AE 于 OACPBCQ，CAO=OBE，AO

6、C=BOE，OEB=ACO=90°，M=CNE=MEN=90°，MCN=PCQ=90°，PCN=QCM，PC=CQ，CNP=M=90°，CNPCMQ（AAS），CN=CM，QM=PN，CE=CE，RtCEMRtCEN（HL），EN=EM，CEM=CEN=45°EP+EQ=EN+PN+EMMQ=2EN，EC=EN，EP+EQ=EC招數(shù)三、正方形類型【例5】如右上圖，在正方形ABCD中AB=3，以B為圓心，半徑為1畫B，點(diǎn)P在B上移動(dòng)，連接AP，并將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 90°至AP，連接BP，在點(diǎn)P移動(dòng)過(guò)程中，BP長(zhǎng)的取值范圍是_【

7、來(lái)源】江蘇省常州市正衡中學(xué)天寧分校2018屆九年級(jí)第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題【答案】3-1BP3+1解：如圖，當(dāng)P在對(duì)角線BD上時(shí)，BP最小，連接BP，在RtABD中，AB=AD=3，由勾股定理得：BD=，BP=BD-PD=3-1，BE=3-1+2=3+1,即BP長(zhǎng)度的最小值為（3-1）cm,最長(zhǎng)距離為：3+1.故答案為：3-1BP3+1【例6】請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=，PC=1、求BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)李明同學(xué)的思路是：將BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2），連接PP，可得PPC是等邊三角形，而

8、PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），從而得到BPC=APB=_；，進(jìn)而求出等邊ABC的邊長(zhǎng)為_；問(wèn)題得到解決請(qǐng)你參考李明同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長(zhǎng)【來(lái)源】【全國(guó)百?gòu)?qiáng)?！恐貞c市江津中學(xué)校2018屆九年級(jí)上學(xué)期第二次階段（半期)考試數(shù)學(xué)試題【答案】（1）150°，；（2）135°，【解析】試題分析：（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到全等三角形.(2)利用（1）中的解題思路，把BPC,旋轉(zhuǎn)，到BPA,連接PP,BP，容易證明APP是直角三角形，BPE=45°，

9、已知邊BP=BP=，BE=BP=1，勾股定理可求得正方形邊長(zhǎng). 在APP中，AP=1，PP=2，AP=，即AP2+PP2=AP2；APP是直角三角形，即APP=90°，APB=135°，BPC=APB=135°招數(shù)四、三角形與圓混合類型【例7】平面上，RtABC與直徑為CE的半圓O如圖1擺放，B=90°，AC=2CE=m，BC=n，半圓O交BC邊于點(diǎn)D，將半圓O繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，點(diǎn)D隨半圓O旋轉(zhuǎn)且ECD始終等于ACB，旋轉(zhuǎn)角記為（0°180°）（1）當(dāng)=0°時(shí)，連接DE，則CDE= °，CD= ；（2）試判斷

10、：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明；（3）若m=10，n=8，當(dāng)=ACB時(shí)，求線段BD的長(zhǎng)；（4）若m=6，n=4，當(dāng)半圓O旋轉(zhuǎn)至與ABC的邊相切時(shí)，直接寫出線段BD的長(zhǎng)【答案】（1）90°，；（2）無(wú)變化；（3）；（4）BD=或【解析】(1)如圖1中，當(dāng)=0時(shí)，連接DE，則CDE=90°CDE=B=90°，DEAB，=BC=n，CD=故答案為：90°，n如圖2中，當(dāng)=180°時(shí)，BD=BC+CD=n，AE=AC+CE=m，=故答案為：（2）如圖3中，ACB=DCE，ACE=BCD，ACEBCD，（4）m=6，n=，CE=3，

11、CD=2，AB=2，如圖5中，當(dāng)=90°時(shí)，半圓與AC相切在RtDBC中，BD=2如圖6中，當(dāng)=90°+ACB時(shí)，半圓與BC相切，作EMAB于MM=CBM=BCE=90°，四邊形BCEM是矩形，AM=5，AE=，由（2）可知=，BD=故答案為：2或招數(shù)五、三角形與函數(shù)混合類型【例8】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABOC如圖放置，將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到平行四邊形ABOC拋物線yx2+2x+3經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C、A三點(diǎn)（1）求A、A、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求平行四邊形ABOC和平行四邊形ABOC重疊部分COD的面積；（3）點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋

12、物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)點(diǎn)M在何處時(shí)，AMA的面積最大？最大面積是多少？并寫出此時(shí)M的坐標(biāo)【答案】（1）C（1，0），A（3，0），A（0，3）；（2）；（3）SAMA（m）2+，當(dāng)m時(shí)，SAMA'的值最大，最大值為，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為（，）（2）四邊形ABOC為平行四邊形，ABOC，ABOC，而C（1，0），A（0，3），B（1，3），OB，SAOB×3×1，又平行四邊形ABOC旋轉(zhuǎn)90°得平行四邊形ABOC，ACOOCD，OCOC1，又ACOABO，ABOOCD又CODAOB，CODBOA，()2（）2 ，SCOD×；方法、規(guī)律歸納:1旋轉(zhuǎn)問(wèn)題處理方法

13、：靈活利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.找到所要解決問(wèn)題與旋轉(zhuǎn)包含等量的聯(lián)系.2構(gòu)造旋轉(zhuǎn)的解題方法：遇中點(diǎn)，旋180°，構(gòu)造中心對(duì)稱；遇90°，旋90°，造垂直；遇60°，旋60°，造等邊；遇等腰，旋頂角。綜上四點(diǎn)得出旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)特征：等線段，共頂點(diǎn)，就可以有旋轉(zhuǎn)。實(shí)戰(zhàn)演練:1. 如圖，在RtABC中，ABC=90°，AB=BC=,將ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到MNC，連結(jié)BM，則BM的長(zhǎng)是（ ）A4 B C D【答案】B【解析】試題解析：如圖，連接A

14、M，2. 如圖，正ABC的邊長(zhǎng)為4，將正ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到C'A'B，若點(diǎn)D為直線A'B上的一動(dòng)點(diǎn)，則AD+CD的最小值是_ 【答案】83. 如圖，在等邊ABC中，AB=4，D是BC的中點(diǎn)，將ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得到ACE，連接DE交AC于點(diǎn)F，則AEF的面積為_【答案】【解析】解：在等邊ABC中，B=60º，AB=4，D是BC的中點(diǎn)，ADBC，BAD=CAD=30º，AD=ABcos30º=4×=2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，EAC=DAB=30º，AD=AE，DAE=EAC+CAD=60º，

15、ADE的等邊三角形，DE=AD=2，AEF=60º,EAC=CADEF=DF=，AFDEAF=EFtan60º=×=3，SAEF=EF×AF=××3=.故答案為：.4 . 如圖，已知在ABCD中，AEBC于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于ABC，把BAE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到BAE，連接DA，若ADC=60°，AD=5，DC=4，則DA的大小為_【答案】【解析】過(guò)點(diǎn)A作AFAD于點(diǎn)F，可得四邊形AEAF為矩形，5. 在如圖的平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yax22amx+am2+1（a0）與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，與y軸交于

16、點(diǎn)C，頂點(diǎn)是D，且DAB45°（1）填空：點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是 （用含a、m的式子表示）；（2）求a的值；（3）點(diǎn)C繞O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C，當(dāng)m時(shí)，求BC的長(zhǎng)度范圍【答案】（1）am2+1；（2）a1；（3）0BC（2）設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，如圖1所示DADB，DAB45°，ABD為等腰直角三角形，AB2DEyax22amx+am2+1a（xm）2+1，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，1）當(dāng)y0時(shí)，ax22amx+am2+10，即a（xm）21，解得：x1m，x2m+，AB22，解得：a1 6. 在ABC中，BAC90°，ABAC，點(diǎn)D為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D

17、不與B、C重合），以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF，連接CF（1）觀察猜想：如圖（1），當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，BC與CF的位置關(guān)系是： ；BC、CD、CF之間的數(shù)量關(guān)系為： （將結(jié)論直接寫在橫線上）（2）數(shù)學(xué)思考：如圖（2），當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，上述、中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明，若不成立，請(qǐng)你寫出正確結(jié)論再給予證明【答案】（1）BCCF；BC=CF+CD；（2）CFBC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BCDABFAC，CF=BD，BC=BD+CD，BC=CF+CD；故答案為：BC=CF+CD；（2）CFBC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC正

18、方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90°，BAD=CAF，在DAB與FAC中，DABFAC，ABD=ACF，BAC=90°，AB=AC，ACB=ABC=45°ABD=180°45°=135°，BCF=ACFACB=135°45°=90°，CFBCCD=DB+BC，DB=CF，CD=CF+BC7.在中， ，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)E在斜邊AB上，連結(jié)BD，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)F.（1）如圖1，若點(diǎn)F與點(diǎn)A重合.求證： ；若，求出；（2）若，如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在線段CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，判斷線段AF與線段AB

19、的數(shù)量關(guān)系.并說(shuō)明理由.（2）由旋轉(zhuǎn)得到，再根據(jù)，從而求出=60°，最后判定AFDAED即可得證由：由旋轉(zhuǎn)： ， 在中， 在中， ,；在和中， ，8. 在中，過(guò)點(diǎn)作直線，將繞點(diǎn)順時(shí)針得到（點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，），射線，分別交直線于點(diǎn)，. （1）如圖1，當(dāng)與重合時(shí)，求的度數(shù)；（2）如圖2，設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程時(shí)，當(dāng)點(diǎn)分別在，的延長(zhǎng)線上時(shí)，試探究四邊形的面積是否存在最小值.若存在，求出四邊形的最小面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）60°；（2）；（3）（2）M為A'B'的中點(diǎn)，A'CM=MA'C，由旋轉(zhuǎn)

20、可得，MA'C=A，A=A'CM，tanPCB=tanA=，PB=BC=，tanQ=tanA=，BQ=BC×=2，PQ=PB+BQ=；（3）S四邊形PA'BQ=SPCQ-SA'CB'=SPCQ-，S四邊形PA'BQ最小，即SPCQ最小，SPCQ=PQ×BC=PQ，取PQ的中點(diǎn)G，則PCQ=90°，CG=PQ，即PQ=2CG，當(dāng)CG最小時(shí)，PQ最小，CGPQ，即CG與CB重合時(shí)，CG最小，CGmin=，PQmin=2，SPCQ的最小值=3，S四邊形PA'BQ=3-.9.問(wèn)題原型：如圖，在等腰直角三角形ABC中，

21、ACB=90°，BC=a將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD過(guò)點(diǎn)D作BCD的BC邊上的高DE， 易證ABCBDE，從而得到BCD的面積為初步探究：如圖，在RtABC中，ACB=90°，BC=a將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD用含a的代數(shù)式表示BCD的面積，并說(shuō)明理由簡(jiǎn)單應(yīng)用：如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，BC=a將邊AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，連結(jié)CD直接寫出BCD的面積（用含a的代數(shù)式表示） BED=ACB=90°,線段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BE,(2)簡(jiǎn)單應(yīng)用:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AFBC與F,過(guò)點(diǎn)D作DEBC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,AFB=E=90°,BF= ,FAB+ABF=90&