全等三角形作輔助線專題一(重點(diǎn)：截長(zhǎng)補(bǔ)短法)-可打印版

1、全等三角形作輔助線經(jīng)典例題常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種:1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的 “對(duì)折”.2) 遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)” .3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理.4) 過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”；(遇垂線及角平分線時(shí)延長(zhǎng)垂線段，構(gòu)造等腰三角形)5) 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做

2、法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明.這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目.用三角形面積的知識(shí)解答.A特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利一、倍長(zhǎng)中線(線段)造全等1:已知，如圖 ABC中，AB=5 AC=3則中線 AD2:如圖，A ABCfr, E、F分別在AB AC上，DEI DF, D是中點(diǎn)，試 比熊be+cN EF的大小.y3f女聞)ABC中,BD=DC=ACE是 DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BDCB DEC/ BAE.中考應(yīng)用：以ABC的兩邊

3、AB AC為腰分別向外作等腰 Rt ABD和等腰Rt ACE ,BAD CAE 90,連接DE M N分別是BC DE的中點(diǎn).探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系.（1）如圖 當(dāng)ABC為直角三角形時(shí)， AMI與DE的位置關(guān)系是,線段AMI與DE的數(shù)量關(guān)系 是;（2）將圖中的等腰Rt ABD繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（0< <90）后，如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理 由.二、截長(zhǎng)補(bǔ)短1.如圖， ABC 中，AB=2AC AD平分 BAC ,且 AD=BD 求證：CD! AC 2:如圖，AD/ BC EA,EB分別平分/ DAB,/ CBA CD過(guò)點(diǎn)E,求證:AB

4、 = AD+BC3：如圖，已知在VABC內(nèi)，BAC 60、 C 40°,巳Q分別在BCB b CCA上，并且AP, BQ分別是 BAC , ABC的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BPB4:如圖，在四邊形 ABC前，BO BA,AD= CD B阡分 ABC ,求證： A C 180°5:如圖在ABC+ , AB> AC /1 = /2, P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC> PB-PC6.如圖，在 ABC中，AD平分/ BAC AB+BD=AC求/ B： /C的值.中考應(yīng)用：如圖，在四邊形 ABCD中，ADBC,點(diǎn)E是AB上一個(gè)A D動(dòng)點(diǎn)，若/ B=60&#

5、176; , AB=BC ,且 / DEC=6°，判斷 AD+AE /A與BC的關(guān)系并證明你的結(jié)論。三、找全等1 .已知：如圖，在 RtzABCt /ACB=90oAC=BC D為BC的中點(diǎn)，CJAD于E,交AB于F,連接DF.求證：/ ADCW BDF2 .如圖， ABC中，AB=AC過(guò)點(diǎn)A作GE/ BC角平分線BD CF相A交于點(diǎn)H,它們的延長(zhǎng)線分別交GE于點(diǎn)E、G.試在圖10中找小3對(duì) 全等三角形，并對(duì)其中一對(duì)全等三角形給出證明.e/ f四.借助角平分線造全等一二說(shuō)明：遇到有關(guān)角平分線的問(wèn)題時(shí)， 可引角的兩邊的垂線，先證明 三角形全等，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出垂線段相等，

6、再利用角 的平分線性質(zhì)得出兩角相等.練習(xí)：1 , 已知：ABCfr, BD=CD/1 = /2.求證：ADf分/ BAC2 .如圖22, AB/CD E為AD上一點(diǎn)，且 BE CE分另U平分/ ABC / BCD求證：AE=ED以角的平分線為對(duì)稱軸構(gòu)造對(duì)稱圖形例： 如圖，在4ABC中，ADf分/ BAC ZC=2Z B.求證：AB=AC+CD 分析：由于角平分線所在的直線是這個(gè)角的對(duì)稱軸，因此在 AB上截 取AE=AC連接DE我們就能構(gòu)造出一對(duì)全等三角形，從而將線段 AB分成AE和BE兩段，只需證明BE=C刷可以了.延長(zhǎng)角平分線的垂線段，使角平分線成為垂直平分線例： 如圖，在 ABC, AD平

7、分/ BAC CELAD于E.求證：/ ACEh B+/ ECD分析：注意到A阡分/BAC CUAD,于是可延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)F, 即可構(gòu)造全等三角形.利用角的平分線構(gòu)造等腰三角形如圖，在 ABC中，AD平分/ BAC過(guò)點(diǎn)D作D日AR DE交AC于點(diǎn)E.易證4AED是等腰三角形.因此，我們可以過(guò)角平分線上曲作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形.EbPA 、B例： 如圖，在 ABO , AB=AC BDf分 /ABC DJ BD 于 D,交 BC 于點(diǎn)E.求證：CD=1BE2全等三角形作輔助線課后練習(xí)1 .在 ABC, / BAC=60o / C=40o,b X * i EAP平分/ BA以 BC

8、于P, B評(píng)分/ AB以 AC于Q求證：AB+BP=BQ+AQ2 .如圖，在 ABC中，ADf分/ BAC AB=AC+CD求證：/ C=2Z B.3 .已知，E為4ABC的/ A的平分線AD上一點(diǎn)，AB> AC求證：AB-AO EB-EC4 .如圖，在四邊形ABCD , BO BAAD=CD BDf 分 / ABC 求證：/ A+/ C=180oBC5 .如圖所示，已知 ADII BQ /1 = /2,CB/3=/ 4,直線DC過(guò)點(diǎn)E作交ADT點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)C.求證：AD+BC=AB1_CD=1 AE6 .已知，如圖， ABC中，/ABC=90oAB=BC AE是/A的平分線，CD!

9、AE于D.求證:7 . MBC中,AB=AC /A=100qBD是/B的平分線.求證：AD+BD=BC8 .如圖，zABC中，AD平分/ BAC AD交BC于點(diǎn)D,且D是BC的中點(diǎn).求證：AB=AC9 .已知：如圖， ABC中，AD是/BAC的平分線，E是BC的中點(diǎn)，EF/ZAD,交AB于M交CA的延長(zhǎng)線于F.求證：BM=CF10 .如圖，已知在 ABC中，/B=60° , /人8。勺角平分線 AD,CE相交于點(diǎn)O,求證：OE=OD11 .如圖，ABC, AD平分/ BAC D- BC且平分 BQ DEI AB于 E,DF±AC于F. (1)說(shuō)明BE=CF的理由；(2)如果AB=a , AC力，求AE BE的長(zhǎng).中考應(yīng)用：如圖，OP是/MON勺平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫(huà)一對(duì)以 OP所在直 線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法， 解答 下列問(wèn)題：(1)如圖，在ABC /ACEM直角，/ B=60