隨機信號分析ppt課件

1、隨機信號分析第第2 2章章 隨機信號隨機信號2.1 2.1 定義與基本特性定義與基本特性2.2 2.2 典型信號舉例典型信號舉例2.3 2.3 一般特性與基本運算一般特性與基本運算2.4 2.4 多維高斯分布與高斯信號多維高斯分布與高斯信號2.5 2.5 獨立信號獨立信號目目 錄錄2.1 2.1 定義與基本特性定義與基本特性 A( )X2.1.1 概念與定義概念與定義1. 典型例子典型例子（1貝努里實驗貝努里實驗:其樣本空間只有兩個樣本點，即其樣本空間只有兩個樣本點，即只有兩個可能結果只有兩個可能結果: A 和和 。 在擲幣實驗中，貝努里隨機變量在擲幣實驗中，貝努里隨機變量 可以表示為可以表示

2、為: 1( )0X正面表示基本可能結果正面有概率有概率若重復在若重復在t = n (n=1, 2, )t = n (n=1, 2, )時刻上，獨立進行時刻上，獨立進行相相( )1,( )0,1P Xp P Xqpq 同的擲幣實驗同的擲幣實驗,12( ),( ),( ),nXXX構成一隨機變量序列構成一隨機變量序列n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10( )nX則有則有 其概率其概率 ( )nX( , )1,( , )0,1P X np P X nqpq10tn正面時刻正面( , )X nn01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101

3、( ,)Xn2( ,)Xn所有隨機變量序列的集合就是隨機信號。所有隨機變量序列的集合就是隨機信號。每一個隨機變量序列稱為一個樣本，每一個隨機變量序列稱為一個樣本，也叫一個實現。也叫一個實現。（2時間連續(xù)的隨機現象時間連續(xù)的隨機現象 觀察電阻上的噪聲電壓，可能有不同的波形。觀察電阻上的噪聲電壓，可能有不同的波形。 每一個波形稱為樣本函數，也叫一個實現。每一個波形稱為樣本函數，也叫一個實現。 所有波形的集合就是隨機信號。所有波形的集合就是隨機信號。2.隨機信號的定義隨機信號的定義定義定義: 設隨機實驗的樣本空間設隨機實驗的樣本空間 ，對于空間，對于空間 的每一個樣本的每一個樣本 ，總有一個時間函數

4、，總有一個時間函數 與之對應與之對應 , 對于空間的所有對于空間的所有樣樣 本本 ，可有一族時間函數，可有一族時間函數 與之與之 對應，這族時間函數稱為隨機信號。對應，這族時間函數稱為隨機信號。()tT( ,)iX t( , )X t i i 定義定義: 設設 是隨機實驗是隨機實驗E的樣本空間，若對于每的樣本空間，若對于每 個樣本點個樣本點 , 都有唯一的實數都有唯一的實數 與之對應與之對應 , 且對于任意實數且對于任意實數 ，都有確定，都有確定 的概率與之對應，則稱的概率與之對應，則稱 為隨機變量。為隨機變量。x( )X( )X3.隨機信號的表征隨機信號的表征(數學模型數學模型)（1在任意給

5、定時刻，隨機信號是一個隨機變量在任意給定時刻，隨機信號是一個隨機變量 隨機信號可視為許多隨機變量的集合；隨機信號可視為許多隨機變量的集合；X(t,1)X(t,2)X(t,3)X(t,4)X(t1,)X(t2,)X(tn,)X(t,)tn01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101( ,)X n2( ,)X n(9, )X(1, )X（2隨機信號可視為所有樣本函數的集合；隨機信號可視為所有樣本函數的集合；X(t,1)X(t,2)X(t,3)X(t,4)X(t,)tn01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10n01 1 2 3 4 5 6 7

6、 8 9 101( ,)X n2( ,)X n（3當時刻當時刻 t 與樣本與樣本 都固定時，隨機信號是都固定時，隨機信號是 一個實數，稱之為狀態(tài)；一個實數，稱之為狀態(tài)；X(t,1)X(t,2)X(t,3)X(t,4)X(t,)tt13n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10( , )X n1（4當時刻當時刻 t 與樣本與樣本 都發(fā)生變化時，就構成隨都發(fā)生變化時，就構成隨 機信號的完整概念。機信號的完整概念。X(t,1)X(t,2)X(t,3)X(t,4)X(t,)tn01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10( , )X n4.隨機信號的分類及舉例隨機信號的分類及舉例（1時間離散、

7、取值離散時間離散、取值離散 D.R.Seq.例：貝努里例：貝努里r.s.n01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10( , )X n例：一脈沖信號發(fā)生器傳送的信號例：一脈沖信號發(fā)生器傳送的信號（2時間連續(xù)、取值離散時間連續(xù)、取值離散 D.R.P.1202t1 X t0T02T04T03T（3時間連續(xù)、取值連續(xù)時間連續(xù)、取值連續(xù) C.R.P.例：正弦型信號例：正弦型信號( )sin()X tAwtt( )X tR,.V.wA常數R,.V.A w常數R,.V.Aw常數t( )X tt( )X t（4時間離散、取值連續(xù)時間離散、取值連續(xù) C.R.Seq.例：每隔單位時間對噪聲電壓抽樣例：每隔單位

8、時間對噪聲電壓抽樣n02 1 2 3 4 5( )X n2.1.2 基本概率特性基本概率特性1. 例子例子2.一階維概率分布和密度函數一階維概率分布和密度函數( ; ) ( )XF x tP X tx一階概率分布函數定義：一階概率分布函數定義： 一階概率密度函數定義：一階概率密度函數定義： ( ; )( ; )XXdfx tF x tdx21聯(lián)合密度函數：聯(lián)合密度函數： ( , )(,)XYijijijfx ypxx yy聯(lián)合分布函數聯(lián)合分布函數 ：( , )(,)XYijijijFx yp u xx yy離散型二維隨機向量的概率特性離散型二維隨機向量的概率特性3.二階維概率分布和密度函數二階

9、維概率分布和密度函數二階概率分布函數定義：二階概率分布函數定義： 二階概率密度函數定義：二階概率密度函數定義： 12121122( , ; , ) ( ), ( )XF x x t tP X tx X tx21212121212( ,; , )( ,; , )XXfx x t tF x x t tx x 4.分析隨機過程本質上就是分析相應的隨機變量分析隨機過程本質上就是分析相應的隨機變量 2.1.3基本數字特征基本數字特征任取任取t時，隨機變量時，隨機變量X(t)的統(tǒng)計平均，定義為的統(tǒng)計平均，定義為t1t2t31. 1. 隨機信號的均值隨機信號的均值t4iiixXPRDxtXPxPRCdxtx

10、xftXEtm.)(.);()()()(對對R.Seq. :iiixXSeqRDxnXPxSeqRCdxnxxfnXEnm.)(.);()()()(例：求隨機過程正弦波例：求隨機過程正弦波 的數學期的數學期望，方差及自相關函數。式中，望，方差及自相關函數。式中， 為常數，是為常數，是區(qū)間區(qū)間0， 上均勻分布的隨機變量。上均勻分布的隨機變量。 0( )sin()x tt02解：由題可知：解：由題可知： 000( ) ( )sin()sincoscossin xm tE x tEtEtt（1）0000sincos cossin sincos cossin EtEtt Et E22001cos co

11、s( )cos02Efddsin 0E同理同理( )0 xm t（2）22222( )( )( )( )( )xxxxttm ttE x t 200011sin ()1 cos(22 )1 cos(22 )22EtEtEt0011cos(2)cos2 sin2sin2 2EtEt0011 cos2cos2 sin2sin2 2t Et E可知可知 sin2 cos2 0EE21( )2xt0 20 101211cos()cos()22tttt（3）12( , )xR t t12 ( ) ( )E x t x t1200sin()sin()Ett122100001cos(2 )cos()2Ett

12、tt2.隨機信號的自相關函數隨機信號的自相關函數 任取任取 時，兩個隨機變量時，兩個隨機變量 的的相相 關矩，定義為關矩，定義為 Ttt21,)(,(21tXtX ）12( , )XtRt12( )( )E X t X t C.R.Seq., D.R.Seq. 可同理寫出?？赏韺懗?。1212121212() ()12( ,; , ). . .( ),( ). . .xxijijijx x f x x t t dx dxC R Px x P X tx X txD R P 自相關函數的性質：自相關函數的性質：（1 1相關的概念表征了隨機信號在兩時刻之間相關的概念表征了隨機信號在兩時刻之間 的關聯(lián)

13、程度；的關聯(lián)程度；（2 2同一時刻之間的相關性大于等于不同時刻同一時刻之間的相關性大于等于不同時刻 之間的相關性；之間的相關性；（3 3實際中的大多數隨機信號，當兩觀察時刻實際中的大多數隨機信號，當兩觀察時刻 越遠，相應隨機變量的相關性通常越弱；越遠，相應隨機變量的相關性通常越弱；（4 4自相關函數具有功率的量綱。自相關函數具有功率的量綱。 3.隨機信號的協(xié)方差函數與方差函數隨機信號的協(xié)方差函數與方差函數(1) 協(xié)方差函數協(xié)方差函數 任取任取 時，兩個隨機變量時，兩個隨機變量 的聯(lián)的聯(lián)合合中心矩，定義為中心矩，定義為Ttt21,)(,(21tXtX）12( , )XtCt12112212121

14、2() ()1212( )( )( ,; , ). . .( )( )( ),(). . .xxijijijxm txm tf x x t t dx dxC R Pxm txm tP X tx X txD R P C.R.Seq., D.R.Seq. 可同理寫出。可同理寫出。1122( )( )( )( )XXEX tmtX tmt當當 時，協(xié)方差函數退化為方差函數時，協(xié)方差函數退化為方差函數21ttt(2) 方差函數方差函數2( )2( )( ; ). . .( )( ). . .xitixm tf x t dx C R Pxm tP X txD R PC.R.Seq., D.R.Seq.

15、可同理寫出?？赏韺懗觥? )Var X t( , )XCt t2( )( )XEX tmt)()(tXVartXX(t)的均方差或標準差函數為的均方差或標準差函數為4.相關系數相關系數 類似于隨機變量的相關系數，定義為類似于隨機變量的相關系數，定義為12( , )1Xt t12( , )Xt t同樣，有關系式：同樣，有關系式：當當 時，時，ttt21( , ) 1Xt t122212( , )( )( )XXXCt ttt121122( , )( , )( , )XXXCt tCt t Ct t2.1 2.1 定義與基本特性定義與基本特性2.2 2.2 典型信號舉例典型信號舉例2.3 2.3

16、 一般特性與基本運算一般特性與基本運算2.4 2.4 多維高斯分布與高斯信號多維高斯分布與高斯信號2.5 2.5 獨立信號獨立信號目目 錄錄2.2 2.2 典型信號舉例典型信號舉例2.2.1 隨機正弦信號隨機正弦信號( )cos(),(,)X tAtt 電路與系統(tǒng)中，幾乎總要產生、發(fā)送與接收電路與系統(tǒng)中，幾乎總要產生、發(fā)送與接收正弦振蕩信號，它本質上都是隨機的。正弦振蕩信號，它本質上都是隨機的。,A 與部分或全部是隨機變量。部分或全部是隨機變量。隨機相位信號隨相信號）：隨機相位信號隨相信號）：討論隨相信號討論隨相信號X(t)的基本特性：的基本特性：1. 均值均值( ) cos()E X tE

17、At201= cos()2E Atd cos()E A Et0121212( ,)( )( )cos()cos()XRt tE X t X tE AtAt212 cos()cos()E A Ett2212120cos(2 )cos()12222ttttd21212 cos(2 )cos() /2E A Etttt 2222/22202aaE Aaeda2. 自相關函數自相關函數212cos ()tt22(0,)XN22212( ; )xXfx te21(0,)XN 4. 一階概率密度函數一階概率密度函數12,XX2(0,)iXN即2.2.2 伯努利隨機序列伯努利隨機序列nXn,n）01 1 2

18、 3 4 5 6 7 8 9 10X9，）nXn,1）01 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 數字通信中，串行傳輸的二進制比特流是數字通信中，串行傳輸的二進制比特流是伯努利序列，是通信中最常用的數學模型之一。伯努利序列，是通信中最常用的數學模型之一。1. 均值均值2. 自相關函數自相關函數( )E X np( )m np或1212(,)()()XRn nE X n X n212pqnnp212122121() (),()nnE X nE X npnnE Xnp討論伯努利隨機序列討論伯努利隨機序列X(n)的基本特性：的基本特性：3. 一階概率密度函數一階概率密度函數( ; )(1)( )

19、Xfx npxqx (1)( )pU xqU x( ; )( )XFx nP X nx0,0,01 1,1xqxx2.2.3 半隨機二進制傳輸信號半隨機二進制傳輸信號 ttt1( ,)X t( , )iX t3( ,)X t2( ,)X tttt1( ,)X t2( ,)X t3( ,)X t( , )iX t均值均值pq( )( )XmtE X t，討論半隨機二進制傳輸信號討論半隨機二進制傳輸信號 X(t)的基本特性：的基本特性：, 0t 2. 自相關函數自相關函數令令 若位于同一時隙若位于同一時隙 ，有，有 ，121212( , )( )( )0,0XRt tE X t X ttt1122

20、/1,/1ntTntT12nn，212( ,)( )XRt tE Xn1pq12nn 2112( , )4(/) 1 4XpqtttqR tTTp 1212( , )( ) ()XRt tE X nE X n1 4pq 0.5pq( )0Xmt 2112( , )/XRttTTtt12121 0 nnnn3. 一階密度函數一階密度函數( )1, ( )1P X tpP X tq ( ; )(1)(1)Xfx tqxpx2.1 2.1 定義與基本特性定義與基本特性2.2 2.2 典型信號舉例典型信號舉例2.3 2.3 一般特性與基本運算一般特性與基本運算2.4 2.4 多維高斯分布與高斯信號多維

21、高斯分布與高斯信號2.5 2.5 獨立信號獨立信號目目 錄錄2.3 2.3 一般特性與基本運算一般特性與基本運算 1. n維概率分布與密度函數維概率分布與密度函數 n個隨機變量個隨機變量 的的n維聯(lián)合概維聯(lián)合概 率分布函數為：率分布函數為：)(),.,(),(21ntXtXtX12121122( ,.,; , ,., )( );( );.;( )XnnnnF x xx t ttP X tx X txX tx2.3.1 n階概率特性階概率特性t1t2t3tn211212121212( ,.,; , ,., ).( ,.,; , ,., ).nXnnxxxXnnnF x xx t ttfx xx

22、t tt dxdxdx 成立則稱則稱 為其為其n維概率密度函數。維概率密度函數。1212( , ,., ; , ,., )Xnnfx xx t tt 如果存在如果存在 ，使，使 1212( ,.,; , ,.,)Xnnfx xx t tt2. n維特征函數維特征函數Ttttn,.,21nnRvvv,.,211122( )( ) .( )1212( , ,., ; , ,., )nnj v X tv X tv X tXnnv vv t ttE e 任取任取 與與1.隨機信號的隨機信號的nm維聯(lián)合概率分布和密度函數維聯(lián)合概率分布和密度函數 兩個不同兩個不同r.s.X(t)與與Y(t)之間的聯(lián)合概率

23、特性。之間的聯(lián)合概率特性。 對隨機信號對隨機信號X(t)任取任取 時，獲得時，獲得n個個隨機變量隨機變量 ;nttt,.,21)(),.,(),(21ntXtXtX2.3.2 聯(lián)合特性聯(lián)合特性 對隨機信號對隨機信號Y(t)Y(t)任取任取 時，獲得時，獲得m m個個隨機變量隨機變量 。msss,.,21)(),.,(),(21msYsYsYt1t2t3tns1s2s3sm定義定義n nm m維聯(lián)合概率分布函數為維聯(lián)合概率分布函數為: : 定義定義n nm m維聯(lián)合概率密度函數為維聯(lián)合概率密度函數為: :11111111( ,; ,; , ; ,)( );( ); ( ); ( )XYnmnmn

24、nmmFxx yy tt ssP X txX tx Y syY sy1111()111111( ,; ,; , ; ,)( ,.,; ,.,; ,., ; ,.,).XYnmnmn mXYnmnmnmfxx yy tt ssFxx yy tt ssxx yy 2. 隨機信號的互相關函數與互協(xié)方差函數隨機信號的互相關函數與互協(xié)方差函數 兩個不同隨機信號兩個不同隨機信號X(t)與與Y(t)的聯(lián)合矩特性的聯(lián)合矩特性 互相關函數定義為互相關函數定義為:12( , )XYRt t互協(xié)方差函數定義為互協(xié)方差函數定義為: 12( , )XYCt t1212( , )( )( )XYXYRt tmt m t1

25、2( ) ( )E X t Y t1122( )( )( )( )XYEX tmtY tm t互相關系數定義為互相關系數定義為: 121212( , )( , )( )( )XYXYXYCt tt ttt 22121212121122( , )( , )( , )( , )( )( )( )( )XYXYYXXYXYa Rt tb R t tabRt tabRt tamtbm tamtbm t121212( , )( , )( )( )ZZZZCt tR t tmt mt ( )()XYamtbmZ ttE解：121122( , )( )( )( )( )ZR t tE aX tbY taX

26、tbY t2212121212( , )( , )( , )( , )XYXYYXa Rt tb R t tabRt tabRt t2212121212( , )( , )( , )( , )XYXYYXa Ct tb C t tabCt tabCt t3. 兩個隨機信號正交、線性無關與統(tǒng)計獨立兩個隨機信號正交、線性無關與統(tǒng)計獨立21,tt(1)正交正交: 對于任意時刻對于任意時刻 ,都都有有 則稱則稱X(t)與與Y(t)正交。正交。1212( , )( , )0XYYXRt tRt t成立(2) 線性無關線性無關: 對于任意時刻對于任意時刻 ,都有都有 21,tt1212( , )( , )

27、0XYYXCt tCt t成立 則稱則稱X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)線性無關。線性無關。（3統(tǒng)計獨立統(tǒng)計獨立:對于對于X(t)和和Y(t)的任一組隨機的任一組隨機 變量變量,都有都有11111111( ,; , ,)( ,; ,)(,; ,)XYnnnmXnnYnmFxxyy tt ssFxx ttFyy ss成立則稱則稱X(t)與與Y(t)彼此統(tǒng)計獨立。彼此統(tǒng)計獨立。 兩個隨機信號的正交、線性無關與統(tǒng)計獨立兩個隨機信號的正交、線性無關與統(tǒng)計獨立三者關系與兩個隨機變量間的完全相同。三者關系與兩個隨機變量間的完全相同。 統(tǒng)計獨立性，線性無關性和正交性的關系統(tǒng)計獨立性，線性無關性和正交性的

28、關系 1.兩個隨機信號統(tǒng)計獨立，它們必然是線性無關的；兩個隨機信號統(tǒng)計獨立，它們必然是線性無關的；2.兩個隨機信號線性無關，不一定互相獨立；兩個隨機信號線性無關，不一定互相獨立；3.在兩個隨機信號中任一均值為零時，線性無關在兩個隨機信號中任一均值為零時，線性無關 性與正交性是等價的；性與正交性是等價的；4.在兩個隨機信號的互相關和互協(xié)方差同時不為零在兩個隨機信號的互相關和互協(xié)方差同時不為零 時，它們不是線性無關的，也不是相互正交的。時，它們不是線性無關的，也不是相互正交的。(a)一般情況下一般情況下 統(tǒng)統(tǒng) 計計 獨獨 立立線線 性性無無 關關 相相 互互 正正 交交 任一隨機信號任一隨機信號

29、均值為零均值為零 當當 和和 均為高斯隨機信號時均為高斯隨機信號時: :( )X t( )Y t 統(tǒng)計獨立性和線性無關性是等價的；統(tǒng)計獨立性和線性無關性是等價的； (b)高斯隨機信號高斯隨機信號 線線 性性 無無 關關 統(tǒng)統(tǒng) 計計 獨獨 立立 進一步，且有一個均值為零時進一步，且有一個均值為零時: : 獨立性、線性無關性和正交性三者是等價的。獨立性、線性無關性和正交性三者是等價的。(c)高斯隨機信號，且高斯隨機信號，且 有一個均值為零有一個均值為零 線線 性性 無無 關關 統(tǒng)統(tǒng) 計計 獨獨 立立 相相 互互 正正 交交122212121212( , )( , )( , )( , )( , )Z

30、XYXYYXRt ta Rt tb R t tabRt tabRt t22121212( ,)(),XYZa Rt tRt tb Rt t22121212( ,)(),XYZa Ct tCt tb Ct t若若X(t)與與Y(t)正交，那么正交，那么若若X(t)與與Y(t)無關，那么無關，那么解解:122212121212( , )( , )( , )( , )( , )ZXYXYYXCt ta Ct tb C t tabCt tabCt t2.3.3 相關函數與協(xié)方差函數的性質相關函數與協(xié)方差函數的性質性質性質1 1 ：隨機信號：隨機信號X(t)X(t)的自相關函數等滿足的自相關函數等滿足

31、（1 1對稱性對稱性1221( , )( , )XXRt tRt t1221( , )( , )XXCt tCt t（2均方值為非負實數均方值為非負實數2( )( , )0XE XtRt t （3方差為非負實數方差為非負實數22( )( , )( )0XXXtRt tmt（4）12( , )1,( , )1XXt tt t（2）（3）121212( ,)( ,)( )( )XYXYXYCt tRt tmt mt12( , )1XYt t對信號進行中心化與歸一化處理，則有對信號進行中心化與歸一化處理，則有0 01212( , )( , )XYX YCt tRt t1212( , )( , )XY

32、XYt tRt t 性質性質2 2：隨機信號：隨機信號X(t)X(t)與與Y(t)Y(t)的聯(lián)合矩特性滿足的聯(lián)合矩特性滿足 （1 1對稱性對稱性1221( , )( , )XYYXRt tRt t2.1 2.1 定義與基本特性定義與基本特性2.2 2.2 典型信號舉例典型信號舉例2.3 2.3 一般特性與基本運算一般特性與基本運算2.4 2.4 多維高斯分布與高斯信號多維高斯分布與高斯信號2.5 2.5 獨立信號獨立信號目目 錄錄2.4 2.4 多維高斯分布與高斯信號多維高斯分布與高斯信號2.4.1 多維高斯分布多維高斯分布一維高斯分布一維高斯分布 221exp22Xxfx記為 2,NX1.一維與二維高斯分布一維與二維高斯分布一維高斯分布的特征函數為一維高斯分布的特征函數為 221exp2Xvj vv二維高斯分布二維高斯分布 2211222221 212122121 21,e21xxyyXYfx y;,;,222211NYX記為記為 二維高斯分布的特征函數為二維高斯分布的特征函數為1222221 1221112 1 222,1exp22XYv vjvvvv vv 2.4.3 高斯隨機信號高斯隨機信