12-第六章用有限元法解平面問題課件

1、彈性力學(xué)主講：童中華彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程第四版徐芝綸作業(yè)概況缺作業(yè)：土111孫震(缺第4次) , 土111沈恩鑫(1,2) , 土111張松鶴張松鶴(1,2,3,4?);土112陳建軍(4), 土112張文博(4), 土112 周子明(1,2,4); 113楊俊平(4),土114 李杰(1,2,4) ,土114劉洋(4),土114王寧(4),土114翁世強(qiáng)(4),土114韋林輝(4); 土115 楊帥(1,4) 土115 張建(1), 土115張洋(4);缺第缺第5次作業(yè)或無(wú)效：土次作業(yè)或無(wú)效：土111 張松鶴張松鶴,土土112 陳建軍陳建軍, 土土112 葛帥帥葛帥帥,土土112 黃燕黃燕,土土

2、112 張文博張文博,土土114 李杰李杰,土土114 劉洋劉洋,土土114 任乾順任乾順,土土114 王王寧寧,土土114 翁世強(qiáng)翁世強(qiáng) 土土115 陳彪陳彪,土土115 程昀程昀,土土115 黃健黃健,土土115 黃亮黃亮,土土115 夏偉勝夏偉勝,土土115 楊帥楊帥,土土115 張建張建,土土115 張洋張洋得A：土112夏娟,土112夏文靜,土113高偉利,土113劉劍琿,土113 申文靜,土113高智,土114孫丹丹 ,土114左嫚嫚,土115羅微微,土115吳琦【習(xí)題4-1】試考察應(yīng)力函數(shù)能解決圖示彈性體的何種受力問題。（必做題，帶學(xué)號(hào)）2sin1MMqMaM M aaxyo習(xí)題

3、圖 4-1習(xí)題4-1作業(yè)點(diǎn)評(píng)M N圖中其中M為學(xué)號(hào)末位數(shù)+3，N=Mod(M,2)+1，即N為M對(duì)2取余再加1，如學(xué)號(hào)末位數(shù)為9，則得M=12,N=1。解：（1）將應(yīng)力函數(shù)代入相容方程，得22222222222222222211sin111sin10MMMMMMqqqMMaMaM MaqM MMMMaM M 滿足aaxyo習(xí)題圖 4-1習(xí)題4-1作業(yè)點(diǎn)評(píng)2sin1MMqMaM M （2）求解應(yīng)力分量，得2222222222221sinsi111coss1ncoMMMMMMMMqMaqqMaqMMaaM =aaxyo習(xí)題4-1作業(yè)點(diǎn)評(píng)2sin1MMqMaM M 習(xí)題圖 4-1（3）求邊界上的面力

4、，得aaxyo 221:sin0,cos1:,0,MMNMNMNMMMfM Nfqaa=a=af = =-qcof = =-qsinMsM ,=邊界上的面力分布如右圖所示。習(xí)題4-1作業(yè)點(diǎn)評(píng)-qcosM-qsinM2Ma qq2222sin,cosMMMMqMaqMa=-=-M N習(xí)題圖 4-1qq-q（3）求邊界上的面力，得aaxyo 222:sin1,cos0:2,0,MM NM NMNqaMMMfM Nfa=a=af = =-f = =-qsinMqc s,oM=邊界上的面力分布如右圖所示。習(xí)題4-1作業(yè)點(diǎn)評(píng)q2222sin,cosMMMMqMaqMa=-=-M N習(xí)題圖 4-12Ma

5、q-qsinM-qcosM5+ 5+ 上一講回顧上一講回顧彈性體總的形變勢(shì)能為【位移變分方程位移變分方程】在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變分時(shí)，所引起的形變勢(shì)能的變分，等于外力功的變分。)225( d)(dd)(svfufyxvfufUyxsAyx【位移變分法位移變分法】)265(), 2 , 1(ddddddmsvfyxvfBUsufyxufAUsmyAmymsmxAmxm)165(dd)(21212222AyxyuxvyvxuyvxuEU第六章 用有限單元法解平面問題6+ 有限元法及軟件介紹有限元法及軟件介紹6-1 基本量及基本方程的矩陣表示基本量及基本方程的矩陣表示6-2 有限單元法的概念有限

6、單元法的概念6-3 單元的位移模式與解答的收斂性單元的位移模式與解答的收斂性6+ 6+ 有限元法及軟件介紹有限元法及軟件介紹彈性力學(xué)問題的解法彈性力學(xué)問題的解法解析方法解析方法：無(wú)窮小單元滿足平衡微分方程、相容方程，邊界上滿足應(yīng)力和位移邊界條件。問題轉(zhuǎn)化成定義在連續(xù)體上的偏微分方程問題。有限元法有限元法：有限大單元滿足平衡方程、臨近單元位移連續(xù)，邊界上滿足應(yīng)力和位移邊界條件。問題轉(zhuǎn)化成定義在有限多個(gè)單元上的代數(shù)方程問題。有限元法是將連續(xù)體離散化，用有限大單元取代微分體，有限元法是將連續(xù)體離散化，用有限大單元取代微分體，將問題轉(zhuǎn)化為適合數(shù)值解法的結(jié)構(gòu)型問題的求解方法。在將問題轉(zhuǎn)化為適合數(shù)值解法的

7、結(jié)構(gòu)型問題的求解方法。在固體力學(xué)、流體力學(xué)、傳熱學(xué)等領(lǐng)域皆有廣泛的應(yīng)用。固體力學(xué)、流體力學(xué)、傳熱學(xué)等領(lǐng)域皆有廣泛的應(yīng)用。(a) 桁 架(b) 深 梁 （ 連 續(xù) 體 ）6+ 6+ 有限元法及軟件介紹有限元法及軟件介紹u結(jié)力研究對(duì)象是離散化結(jié)構(gòu)。如桁架，各單元（桿件）之間除結(jié)點(diǎn)鉸結(jié)外，沒有其他聯(lián)系（圖a）。u有限元法研究對(duì)象是連續(xù)體（待離散化）（圖b）。結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)和有限元法結(jié)構(gòu)的比較結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)構(gòu)和有限元法結(jié)構(gòu)的比較u將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)（圖c）：將連續(xù)體劃分為有限多個(gè)、有限大小的單元，并使這些單元僅在一些結(jié)點(diǎn)處用鉸連結(jié)起來(lái)，構(gòu)成所謂離散化結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)。(c) 深

8、梁 （ 離 散 化 結(jié) 構(gòu) ）圖（c）與 圖（a）相比：兩者都是離散化結(jié)構(gòu)；區(qū)別是：(a)的單元是桿件桿件，(c)的單元是三角形三角形塊體塊體（內(nèi)部仍是連續(xù)體）。6+ 6+ 有限元法及軟件介紹有限元法及軟件介紹6+ 6+ 有限元法及軟件介紹有限元法及軟件介紹有限元法基本思路（按位移求解）有限元法基本思路（按位移求解）1. 1. 將連續(xù)體劃分成離散化的單元結(jié)構(gòu)體；將連續(xù)體劃分成離散化的單元結(jié)構(gòu)體；2. 2. 設(shè)結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，按彈性力學(xué)方法對(duì)單元進(jìn)設(shè)結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，按彈性力學(xué)方法對(duì)單元進(jìn)行力學(xué)分析，將所有物理量和方程用結(jié)點(diǎn)位移表示；行力學(xué)分析，將所有物理量和方程用結(jié)點(diǎn)位移表示；3.

9、3. 列結(jié)點(diǎn)的平衡方程，將單元裝配成整體，得到整體結(jié)列結(jié)點(diǎn)的平衡方程，將單元裝配成整體，得到整體結(jié)構(gòu)所要滿足的平衡方程，未知量為結(jié)點(diǎn)位移；構(gòu)所要滿足的平衡方程，未知量為結(jié)點(diǎn)位移；4. 4. 求解所有結(jié)點(diǎn)的位移，計(jì)算待求物理量，如關(guān)鍵點(diǎn)的求解所有結(jié)點(diǎn)的位移，計(jì)算待求物理量，如關(guān)鍵點(diǎn)的應(yīng)力，區(qū)域平均應(yīng)力水平，結(jié)構(gòu)變形圖等。應(yīng)力，區(qū)域平均應(yīng)力水平，結(jié)構(gòu)變形圖等。（1）具有通用性和靈活性。（2）對(duì)同一類問題，可以編制出通用程序，應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算。（3）只要適當(dāng)加密網(wǎng)格，就可以達(dá)到工程 要求的精度。6+ 6+ 有限元法及軟件介紹有限元法及軟件介紹有限元法有限元法( (F Finite inite E

10、Element lement MMethod) ethod) 的特點(diǎn)的特點(diǎn)FEM的兩種主要導(dǎo)出方法:結(jié)力法和變分法。本章介紹平面問題的FEM，僅敘述按位移求解的方法。采用矩陣表示，可使公式統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔，且便于編制程序。6+ 6+ 有限元法及軟件介紹有限元法及軟件介紹常見有限元法軟件常見有限元法軟件【ANSYSANSYS】通用商用軟件，適用范圍廣，前后處理模塊完備，人機(jī)交互友好，容易上手，參考書多如牛毛參考書多如牛毛。提供參數(shù)化設(shè)計(jì)語(yǔ)言（ANSYS Parameter Design Language)，可以通過腳本語(yǔ)言編程實(shí)現(xiàn)ANSYS常規(guī)操作，包括輸入、輸出及設(shè)計(jì)優(yōu)化等功能。向所有領(lǐng)域工作者推薦

11、。向所有領(lǐng)域工作者推薦。1.結(jié)構(gòu)靜力分析2.結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析3.結(jié)構(gòu)非線性分析4.動(dòng)力學(xué)分析5.熱分析6.電磁場(chǎng)分析7.流體動(dòng)力學(xué)分析8.聲場(chǎng)分析9.壓電分析 缺陷：土木材料的缺陷：土木材料的本構(gòu)關(guān)系少。本構(gòu)關(guān)系少。軟件主要包括三個(gè)部分：前處理模塊，分析計(jì)算模塊，后處理模塊。6+ 6+ 有限元法及軟件介紹有限元法及軟件介紹【MSC.MarcMSC.Marc】既可以像ANSYS那樣實(shí)體建模，也可以采用擴(kuò)展法建模；具有極強(qiáng)的結(jié)構(gòu)分析能力和非線性計(jì)算能力。（1）幾乎每種單元都具有處理大變形幾何非線性,材料非線性和邊界條件非線性以及組合的高度非線性的超強(qiáng)能力。（2）MARC的結(jié)構(gòu)分析材料庫(kù)提供了模擬金屬

12、、非金屬、聚合物、巖土、復(fù)合材料等多種線性和非線復(fù)雜材料行為的材料模型。（3）收斂速度快，大概比ANSYS快56倍；計(jì)算土和水的功能很強(qiáng)，提供了土的摩爾庫(kù)侖模型（線性和非線性）、修正鄧肯張模型和修正劍橋模型；計(jì)算混凝土的功能不夠強(qiáng)；摩擦分析能力不強(qiáng)；參考書較少參考書較少。向土木專業(yè)推薦向土木專業(yè)推薦6+ 6+ 有限元法及軟件介紹有限元法及軟件介紹【ADINAADINA】建模方便；非線性計(jì)算能力強(qiáng)，收斂速度和marc差不多；沒有前后處理，但有源代碼，適合二次開發(fā)。計(jì)算土和水的功能不如Marc；計(jì)算混凝土的功能比Marc強(qiáng)；摩擦分析效果比Marc好。參考書較少參考書較少。 向搞向搞FEMFEM軟件

13、開發(fā)工作者推薦軟件開發(fā)工作者推薦【ABAQUSABAQUS】被廣泛地認(rèn)為是功能最強(qiáng)的有限元軟件，可以分析復(fù)雜的固體力學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)系統(tǒng)，特別是能夠駕馭非常龐大復(fù)雜的問題和模擬高度非線性問題。ABAQUS不但可以做單一零件的力學(xué)和多物理場(chǎng)的分析，同時(shí)還可以做系統(tǒng)級(jí)的分析和研究。參考書較少參考書較少。 向資深向資深FEMFEM工作者推薦工作者推薦6-1 6-1 基本量及基本方程的矩陣表示基本量及基本方程的矩陣表示u體力u面力u應(yīng)力u應(yīng)變u位移()Txyfff()Tuvd()Txyxy()Txyxy()Txyfffxyxyuxvyuvyx幾何方程00(66)xuvyyx 6-1 6-1 基本量及基本方程

14、的矩陣表示基本量及基本方程的矩陣表示物理方程其中D為彈性矩陣，對(duì)于平面應(yīng)力問題是(68)D21010(69)11002ED6-1 6-1 基本量及基本方程的矩陣表示基本量及基本方程的矩陣表示()( )(6 15)TTAdxdy*F 圖6-1yxoij*,iiyvF*,iixuFjjyvF ,*,jjxuF),(),(*jjiijyjxiyixvuvuFFFFF虛功方程：外力在虛位移上的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上的虛功有限元中將各種外力以作用于結(jié)點(diǎn)上的等效集中力代替，用結(jié)點(diǎn)的平衡方程代替平衡微分方程。結(jié)點(diǎn)上的集中力和相應(yīng)的虛位移可表示為板的厚度取單位長(zhǎng)度16-2 6-2 有限單元法的概念有限單元法的

15、概念三角形單元：三角板或三棱柱三角形單元：三角板或三棱柱imjxyoiixFiyFjxFjyFmxFmyFiyFixFivmvjviumuju大多在頂點(diǎn)設(shè)置結(jié)點(diǎn)，一個(gè)單元有3個(gè)結(jié)點(diǎn)。有時(shí)在三邊的中點(diǎn)設(shè)置結(jié)點(diǎn)，成為六結(jié)點(diǎn)三角形單元。結(jié)點(diǎn)一般都作鉸結(jié)。單元上受到的體力和面力都按靜力等效移置到結(jié)點(diǎn)上，成為結(jié)點(diǎn)載荷。將單元受力移置到結(jié)點(diǎn)上。將單元受力移置到結(jié)點(diǎn)上。單元為三角形的連續(xù)體，在結(jié)點(diǎn)處受到結(jié)點(diǎn)力作用，發(fā)單元為三角形的連續(xù)體，在結(jié)點(diǎn)處受到結(jié)點(diǎn)力作用，發(fā)生變形，在結(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)位移。生變形，在結(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生結(jié)點(diǎn)位移。6-2 6-2 有限單元法的概念有限單元法的概念按位移求解三角形單元的步驟按位移求解三

16、角形單元的步驟1. 1. 取三角形單元的取三角形單元的結(jié)點(diǎn)位移結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，即為基本未知量，即Teiijjmmuvuvuv e e稱為單元的稱為單元的結(jié)點(diǎn)位移列陣結(jié)點(diǎn)位移列陣。2. 2. 應(yīng)用插值公式，由結(jié)點(diǎn)位移求出單元的位移函數(shù)應(yīng)用插值公式，由結(jié)點(diǎn)位移求出單元的位移函數(shù)( , )( , )eu x yv x ydN插值公式表示單元中的位移分布形式，稱為插值公式表示單元中的位移分布形式，稱為位移模式。位移模式。形函數(shù)矩陣形函數(shù)矩陣6-2 6-2 有限單元法的概念有限單元法的概念3. 3. 應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)求出單元的應(yīng)變應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)求出單元的應(yīng)變eB4.

17、4. 應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變求出單元的應(yīng)力應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變求出單元的應(yīng)力e = D = DB = S5.5.應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力求出單元的結(jié)點(diǎn)力應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力求出單元的結(jié)點(diǎn)力T( eeijmFFFFk應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣單元?jiǎng)哦染仃噯卧獎(jiǎng)哦染仃噾?yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)變轉(zhuǎn)換矩陣6-2 6-2 有限單元法的概念有限單元法的概念6. 6. 應(yīng)用虛功方程，將單元中的各種外力荷載向結(jié)點(diǎn)移置，應(yīng)用虛功方程，將單元中的各種外力荷載向結(jié)點(diǎn)移置，化為化為結(jié)點(diǎn)荷載結(jié)點(diǎn)荷載，求出單元的結(jié)點(diǎn)荷載為，求出單元的結(jié)點(diǎn)荷載為(TLixLiyLjxLjyLmxLmyFFFFFFeLF7a.7a.

18、結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力為結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力為 以坐標(biāo)正向以坐標(biāo)正向?yàn)檎瑒t單元對(duì)結(jié)點(diǎn)的反作用力為為正，則單元對(duì)結(jié)點(diǎn)的反作用力為裝配三角形單元裝配三角形單元（列結(jié)點(diǎn)平衡方程）（列結(jié)點(diǎn)平衡方程）(TiixiyFFF(TiixiyFF F7b.7b. 各結(jié)點(diǎn)受單元作用力和單元移置而來(lái)的結(jié)點(diǎn)荷載，各結(jié)點(diǎn)受單元作用力和單元移置而來(lái)的結(jié)點(diǎn)荷載，結(jié)點(diǎn)平衡方程為結(jié)點(diǎn)平衡方程為,(1,2, )iniLieeFF6-2 6-2 有限單元法的概念有限單元法的概念結(jié)點(diǎn)平衡方程的分量形式結(jié)點(diǎn)平衡方程的分量形式,(1,2, )( )ixLixiyLiyeeeeF =FF =Fini其中其中 表示對(duì)所有環(huán)繞表示對(duì)所有環(huán)繞 i

19、i 結(jié)點(diǎn)的單元求和。結(jié)點(diǎn)的單元求和。e式式(i)(i)右邊為已知的結(jié)點(diǎn)荷載，左邊為結(jié)點(diǎn)力，可由結(jié)點(diǎn)右邊為已知的結(jié)點(diǎn)荷載，左邊為結(jié)點(diǎn)力，可由結(jié)點(diǎn)位移表示，因此可得求解整體結(jié)點(diǎn)位移的矩陣方程位移表示，因此可得求解整體結(jié)點(diǎn)位移的矩陣方程( )LjKF整體勁度矩陣整體勁度矩陣整體結(jié)點(diǎn)位移列陣整體結(jié)點(diǎn)位移列陣整體結(jié)點(diǎn)荷載列陣整體結(jié)點(diǎn)荷載列陣6-3 6-3 單元的位移模式與解答的收斂性單元的位移模式與解答的收斂性Teiijjmmu v uvuv6-3單元的位移模式與解答的收斂性6-4單元的應(yīng)變列陣和應(yīng)力列陣6-5單元的結(jié)點(diǎn)力列陣與勁度矩陣6-6荷載向結(jié)點(diǎn)移置、單元的結(jié)點(diǎn)荷載列陣6-7結(jié)構(gòu)的整體分析、結(jié)點(diǎn)平

20、衡方程( , )( , )Teu x yv x ydNeBeST( eeijmFFFFk(TLixLiyLjxLjyLmxLmyFFFFFFeLF, (1,2, )iniLieeFF有限元分析詳細(xì)步驟有限元分析詳細(xì)步驟6-3 6-3 單元的位移模式與解答的收斂性單元的位移模式與解答的收斂性每個(gè)單元仍然作為一個(gè)連續(xù)的、均勻的、各向同性的彈性體，相鄰單元有公共結(jié)點(diǎn)和公共邊。解題首要問題：?jiǎn)卧慕Y(jié)點(diǎn)位移位移函數(shù)。假定位移模式，表示單元中的位移函數(shù)。u假定位移分量是坐標(biāo)的線性函數(shù)，三角形單元的位移模式，可取為u插值公式(a)在三個(gè)結(jié)點(diǎn)上應(yīng)等于結(jié)點(diǎn)的位移值，由此可求出6個(gè)待定系數(shù)16 123456,(

21、)uxyvxya6-3 6-3 單元的位移模式與解答的收斂性單元的位移模式與解答的收斂性1231111,1,1111iiiiiijjjjjjmmmmiiijjjmmmmmuuuuuuuuxyxyyxDxyDxyDyDxxyyxuxy123111iiijjjmmmuxyxyuxyu123123,DDDDDD456111iiijjjmmmvxyxyvxyv456456,DDDDDD123456,( )uxyvxya,(6 16)i ijjm mi ijjm muNuN uN uvNvN vN v( , )iiiP x y( ,)jjjP x y( ,)mmmP x y( , )P x y用插值公式

22、表示結(jié)點(diǎn)的位移，得6-3 6-3 單元的位移模式與解答的收斂性單元的位移模式與解答的收斂性11111,( , )12211iijjijjmmmmxyxyAxyA x yxyxyxy,(6 16)i ijjm mi ijjm muNuN uN uvNvN vN v( , )( , ), ,iiA x yN x yii j mA( ,)iiiP x y(,)jjjP xy(,)mmmP xy( , )P x yNNi i是是i i點(diǎn)點(diǎn)(x(xi i ,y,yi i) )函數(shù)值對(duì)函數(shù)值對(duì)(x,y)(x,y)點(diǎn)函數(shù)值的貢獻(xiàn)加權(quán)。點(diǎn)函數(shù)值的貢獻(xiàn)加權(quán)。計(jì)算面積計(jì)算面積A A及及A Ai i時(shí)以頂點(diǎn)按逆時(shí)針

23、排列得到的面積為正。時(shí)以頂點(diǎn)按逆時(shí)針排列得到的面積為正。NNi i, N, Nj j, N, Nmm稱為稱為形形( (態(tài)態(tài)) )函數(shù)函數(shù)，也稱為，也稱為面積坐標(biāo)面積坐標(biāo)。6-3 6-3 單元的位移模式與解答的收斂性單元的位移模式與解答的收斂性形函數(shù)形函數(shù)NNi i(x,y)(x,y)的分布規(guī)律的分布規(guī)律位移函數(shù)位移函數(shù)u u (x,y)(x,y)的分布規(guī)律的分布規(guī)律位移函數(shù)位移函數(shù)v v (x,y)(x,y)的分布規(guī)律的分布規(guī)律11111,( , )12211iijjijjmmmmxyxyAxyA x yxyxyxy( , )( , ), ,iiA x yN x yii j mA2iiiabx

24、c yA,mmjjiyxyxa ,11miiyyb11iimxcx6-3 6-3 單元的位移模式與解答的收斂性單元的位移模式與解答的收斂性,(6 16)i ijjm mi ijjm muNuN uN uvNvN vN v( , ), ,iiA x yN x yi j mA位移分量用矩陣表示為位移分量用矩陣表示為000(623)000iiijmjijmjmmuvNNNuuNNNvvuv edN形函數(shù)矩陣形函數(shù)矩陣6-3 6-3 單元的位移模式與解答的收斂性單元的位移模式與解答的收斂性u(píng)當(dāng)單元很小時(shí)，單元中的位移和應(yīng)變都趨近于常量剛體位移和常量應(yīng)變，因此位移模式必須必須能反映單元的剛體位移。位移主要來(lái)自于其他單元連動(dòng)，受本單元形變影響較小。位移模式必須必須能反映單元的常量應(yīng)變。單元內(nèi)應(yīng)變變化較小，主要部分為常量應(yīng)變。位移模式應(yīng)盡可能應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。相鄰單元在公共結(jié)點(diǎn)和公共邊上的位移應(yīng)保持一致。位移模式必須反映彈性體的真實(shí)位移形態(tài)位移模式必須反映彈性體的真實(shí)位移形態(tài)是有限元法在單元尺寸逐步取小時(shí)收斂的充分必要條件。是有限元法在單元尺寸逐步取小時(shí)收斂的充分必要條件。6-3 6-3 單元的位