初升高自招之一元整式方程,分式方程,無理方程與不定方程

1、初升高自招之方程部分主要內容1、一元整式方程2、分式方程3、無理方程不定方程一、一元整式方程的解法1、基本公式bb24ac2abix0的斛為x1一，,a1(1)關于x的一次方程axb0a0的解為x-a(2)關于x的二次方程ax2bxc0a0的解為x(3)fxa1xb|a2x-2anxbn,則方程fbnxnan(4)韋達定理：已知ax2bxc0a0,則x1x2二、在解高次方程，分式和無理方程時，常常會用到換元法三、不定方程11形如xy4,xyz3,1的方程叫做不定方程，其中前兩個方程又叫做xy一次不定方程，這些方程的解釋不確定的，通常研究：(1)不定方程是否有解？(2)不定方程有多少個解？(3)

2、求不定方程的整數(shù)解或正整數(shù)解對于二元一次不定方程問題，有以下兩個定理：定理1.二元一次不定方程到看<0者其中出力*仃則原方程無整數(shù)解*O若a)=b則原方程有JHWh3)若(斫A)IcJH可以在方程兩邊同時除以S,h),從而使原方程的一次現(xiàn)系敷互質，從而持化為的情形.加工方程2什4產5沒白蜓數(shù)解；加3產5行整數(shù)解.定理，若不定方程所明=1育蜘ft解=frehJ«方程如衲JC,有整敷解d一口，此解暮為將解.y-5ff-dXhL方程方程axhy=E的所有解(即通用為"J"為蝴6).尸=嘰一以對于高次不定方程，求出其通解然后再討論有時是不現(xiàn)實的，因為我們甚至還沒有找

3、到判別一個高次不定方程是否有解的統(tǒng)一方法，當然要求出通解就更難了.或許正是因為沒有統(tǒng)一的方法來處理高次不定方程，對具體的問題往往有許多方法來處理，并且每一種方法都表現(xiàn)出一定的創(chuàng)造性，所以，高次不定方程的問題頻繁在數(shù)學競賽中出現(xiàn).當然，結合整除與同余的一些理論，求解高次不定方程也有一些常見的處理思路和解決辦法.一、因式分解法將方程的一邊變?yōu)槌?shù)，而含字母的一邊可以進行因式分解，這樣對常數(shù)進行素因數(shù)分解后，對比方程兩邊，考察各因式的每種取值情況就可將不定方程變?yōu)槿舾蓚€方程組去求解.這就是因式分解法處理不定方程的基本思路.例1、求方程xy10x+y=1的整數(shù)解.二、配方法配方是代數(shù)變形中的常見方法，

4、在處理不定方程的問題時還可綜合利用完全平方數(shù)的特性，因此配方法在求解不定方程時大有用武之地.例2、求不定方程3x2-4xy+3y2=35的全部整數(shù)解.三、不等式估計利用不等式的知識，先確定不定方程中的某個字母的范圍，然后逐個枚舉得到所有解,這個方法稱為不等式估計，它也是我們處理不定方程的常見方法.當然，如果能夠恰當?shù)乩米帜傅膶ΨQ性等，那么作不等式估計時會簡潔很多.例3、求不定方程x3y3=xy+61的正整數(shù)解.四、同余方法Xi,It-,>.、.-r-1-t-.,._*.右不th萬桂Fx1,x2,，xn=0有整數(shù)解，則對任意的mN,其整數(shù)解（X2,，Xn）均滿足FXi,X2,，Xn0mo

5、dm運用這一條件，同余可以作為不定方程是否有整數(shù)解的一塊試金石.例4、證明：不定方程x2+y2-8z3=6沒有整數(shù)解.五、構造法有些不定方程的問題只需證明該方程有解或有無窮多個解，這時經(jīng)常采用構造法來處理.253例5、證明：萬桂x+y=z有無窮多組滿足xyzw0的整數(shù)解.I例題一.一次方程的求解ax-Avfl1.解關于的方程組'例2.當鼠m分別為何值忖.美于sy的方程盥K=*十閉至少有一組解y=（2R-1）+4變式訓煉工1.若美干富的方程勤（工-1）=25上）白比數(shù)個心求口出的值二.可化為一元二次方程的方程的解例I、解F列方程（舊I翡+沙$=°(2)2x3-5jc5工-3jt

6、-1=j+5例人群方程：(1997-x2+(jr-1996):=1X-I+（JJII2例入解方程組E丁=2+（二-工廠工!=3+（_,）:1.解下列方程(1)x2x3x4x544x4x42626三、一兀Wj次方程例1、解方程：x32x24x802例2、解萬程6x73x4x1682例3、x3例4、解方程組:xyz022220xyz444560xyz變式練習：2.解下列高次方程c4c32cc2x3xx3x2044x1x32720四、分式方程例1、解方程2x4x72x72180x4x例2、22例3、xx1xx222xx1xx2_1818例九x2+2x-34r-f2x+2-.r2+2x+1-變式訓練L

7、解下列方程“，+1x+2_r+3x+4(2)x2+2x+7x"+2才+3=*+2jc+4五、無理方程io例3二7T7十二;+2=。例3，2工5+Jx-3J，+4=0例4、x-6,+6-Hf-2,+2=0變式練習:111.解下列方程(1)x218x302收18x45(2)、,3x3.5x19、,2x80六、不定方程1、二元一次不定方程例1,求方程叱可21的整融解.變式WI蛛I.求方程23戶2的所有正整數(shù)解.12例2、求方程63x8y23的整數(shù)解.2、多元一次不定方程（組）的整數(shù)解多元一次不定方程的整數(shù)解問題可轉化為二院一次不定方程來求解例3、求方程12x8y36z100的所有整數(shù)解變式

8、練習：3、一個布袋中裝有紅、黃、藍三種顏色的大小相同的小球，紅球上標有數(shù)字1,黃球上標有數(shù)字2,藍球上標有數(shù)字3.小明從布袋中摸出10個球，它們上面所標數(shù)字之和等于21,則小明摸出的球中紅球個數(shù)最多為幾個？3.其他不定方程例4.求不定方程上十,三1的正整數(shù)解.ty2變式訓練】4,求方程/一產05的正整8解.求方程盧3ry=Wf+517的所有正整數(shù)解14受式訓練，5,求證方程產十“三.尸段有正整數(shù)解.例6,求方程工t廠F一工齊射的靠部整數(shù)解.變式訓嫉：反求方程產2什27+不，的所有正整數(shù)解.15現(xiàn)同練習i,若關于羽)的方程組J*-2無解，求l的值(/l)x+(a1)=15j+x+y=17*22壬

9、J的也已知*尸產=6S求O十邛十3、已知母之一6,蟀美上x的方程,x4-lO.r-2(a-IDx3+2(5a+«)x+2a+a2=04、解方程+a/jc+2+2jc=4-2xIx-+1ljf-8+x2-I-2x-8+x2-13x-85,求方程37針10為旦5的整費解.上求方程收=/中聲聲的整數(shù)解.17溫故知新1、【2011年華二】已知關于x的方程x2(a2)xa10的兩實根x1、x2滿足x；則實數(shù)axyxyxy,2、【2011年華二】關于x、y的萬程組有y、.x1組解3、【2012年華二】方程x2y2z2w2u2共有組整數(shù)解4、【2013年復附】已知xyxy1743223422，求x

10、xyxyxyy的值;xyxy6622x1(yz)5、【2013年上中】13.解方程組y22(zx)22_2z3(xy)6、【2014年復附】方程_2_旦x24x2的根為x3x517、【2014年華二】解關于x的萬程|x2|3a.28、【2016年交附】解方程：2x23x2x<x23x31.,17,、，一1,z-一，求xyz的值.x3_，-119、右實數(shù)x,y,z,滿足x4,y-yz10、已知a2,求方程4a7axx的所有實根之和.11、解方程x2x1x4x71911、求方程x2+xy4+y3+y2+y的整數(shù)解.答案：2432求萬桂x+x=y+y+y+y的整數(shù)解.解：同上例，對方程兩邊同乘

11、以4,并對左邊進行配方，得202.4322x+1=4y+y+y+y+1.下面對式右端進行估計.由于4y4+y3+y2+y+12.22=2y+y+1-y+2y222,1=2y+y+3y+4y+1,從而，當y>2或y<-1時，有21222.一22y+y<2x+1<2y+y+1.2.2由于2y+y與2y+y+1是兩個連續(xù)的整數(shù)，它們的平方之間不會含有完全平方數(shù)，故上式不成立.因此只需考慮當一1WyW2時方程的解，這是平凡的，容易得到原方程的全部整數(shù)解是(x,y)=(0,1),(1,1),(0,0)(1,0),(6,2),(5,2) .例5解方程(x2)(x+1)(x+4)(x

12、+7)=19.基本思路利用對等性，配對相乘(x2)(x+7),(x+1)(x+4),整體代換y=x2+5x5,轉化為y2=100.解兩兩相乘，考慮整體代換.(x2)(x+7)(x+1)(x+4)=19,22(x2+5x-14)(x2+5x+4)=19.,2_,、，2_、人(x5x14)(x5x4)2令yx5x5,則有2(y-9)(y+9)=19,即y281=19,解得y1,2=±10.當y=10時，x2+5x5=10,解得x1,25085；2當y=10時，x+5x5=10,解得X3,45.5若實數(shù)x,y,z滿足x+1=4,y+1=1,z+=，求xyz的值.基本思路題中有三個元x,y,

13、z,可先化為關于一個元如x的關系式，進而轉化為x的一元二次方程.因為4=x+=x+-=x+y11z=x+7x4x則有4(4x-3)=x(4x-3)+7x-3,即(2x3)2=0,得所以x-3x2z=735一,y=13于是xyz=1.思考如果x+工=y+1=z+1,x,y,z是實數(shù)，問yzxxyz的值是多少?1、已知ai>2,求方程v'a4a一xx的所有實根之和.基本思路引入另一個元y=%/ax,以x,y形式構成等式y(tǒng)2-x-y=x2,簡化為x+y=0或xy=1.然后，求解方程x+1=4ax.解由題得x>0,又a>2,則a+x>0,a>Vax,且a-4ax=

14、x2.入iri2令Jax=y,貝Ua>y>0,且a-y=x.又y2=a+x,于是y2xy=x2,得一(x+y)=(x-y)(x+y).而x+y>0,所以x-y=-1,即x-后一x=-1,整理得兩邊平方得x2+x+1a=0.解得2又x>0,所以滿足要求的實數(shù)根為x=144a32故原方程的實根之和為x=14a32253例13證明：方程*+丫=2有無否多組滿足xyzW0的整數(shù)解.證明Wx=215k+10,y=26k+4,z=210k+7,k為非負整數(shù)，則這樣的x、y、z滿足x2+y5=z3,所以方程有無窮多組滿足xyzw0的整數(shù)解.另證先求方程的一組特解，易知x=10,y=3

15、,z=7是方程x2+y5=z3的一組解.因而x=10a15k,y=3a6k,z=7a10k（a,k為非負整數(shù)）是方程的解.例10證明：不定方程223x+y8z=6沒有整數(shù)解.證明若（x,y,z）是方程的整數(shù)解，對的兩邊模2,可知x、y同奇偶；再對兩邊模4可知x、y都為奇數(shù)，于是x2y21mod8,這要求_22_3_6=x+y8z2mod8,矛盾.故方程沒有整數(shù)解.說明利用同余方法解不定方程問題時，選擇恰當?shù)臄?shù)作為模是十分重要的，它不僅涉及問題解決的繁簡程度，重要的是能否卡住字母的范圍或導出矛盾.例7求不定方程x3-y3=xy+61的正整數(shù)解.解：設（x,y）為方程的正整數(shù)解，則x>y.設

16、x=y+d,則d為正整數(shù)，且33y+dy+61=y+dy=3dy2+3yd2+d3,即有3d1y2+d3d-1y+d3=61.故d3<61,于是d<3.分別令d=1、2、3代入，得2y2+2y+1=61,25y+10y+8=61,8y2+24y+27=61.只有第一個方程有整數(shù)解，并由y為正整數(shù)知y=5,進而x=6.所以，原方程只有一組正整數(shù)解(x,y)=(6,5).例4求不定方程3x2-4xy+3y2=35的全部整數(shù)解.解：對方程兩邊都乘以3,配方后即得2_23x2y+5y=105.由式得5y2<105,所以y<4.當y=4時，3x2y=5,此時原方程的解為(x,y)=(1,4),(1,4).當y=1時，3x2y=10,此時原方程的解為(x,y)=