教學設計探索與表達規(guī)律北師大

1、義務教育教科書教育部I審定2012SHUXUE探索與表達規(guī)律教學過程情境1:一首永遠也唱不完的兒歌.1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿，1聲撲通跳下水；2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿，2聲撲通跳下水；3只青蛙3張嘴，6只眼睛12條腿，3聲撲通跳下水;這樣唱下去我們能唱完嗎？能否用一種方式結束這首兒歌？利用剛學過的字母表示數(shù)進行數(shù)學建模，可以用一句話來概括“n只青蛙n張嘴，2n只眼睛4n條腿，n聲撲通跳下水”。情境2：“一物生來真希奇，身穿三百多件衣，每天給它脫一件，年底只剩一張皮.”日歷在我們生活中隨處可見，它不僅讓我們可以很直觀地觀察出我們需要的數(shù)據(jù)，其中還蘊涵著很多的數(shù)學知識。(1)我們經(jīng)常用

2、到的日歷中的數(shù)字之間都有哪些關系呢？(2)日歷上方框中的9個數(shù)字之和與方框正中間和數(shù)字有什么關系？榔1亞鳴地獅監(jiān)H12：K4*1S；/用心用情服務教育7號心卜10Ifis?k17物21:22L23J24；25rM3聯(lián)眥邪（3）這個關系對任何一個月的日歷都成立嗎？為什么？（提示：用a表示方框中間的數(shù)，用合并同類項的知識解決問題）通過觀察日歷中的數(shù)字，我們不難發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律：（1）相鄰的兩個數(shù)字后者比前者大1,下者總比上者大7;（2）一方框中的9個數(shù)字之和是中間數(shù)的9倍；（3）這個關系對任何一個月的日歷都成立。開眼界探索規(guī)律不僅是去探索和發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，更主要的是經(jīng)歷從特殊到一般，從一般到特殊這種探

3、索規(guī)律、驗證規(guī)律的過程，了解從特殊到一般，從一般到特殊的數(shù)學思想方法。在用去括號、合并同類項等知識的同時，可適當了解以下知識?！緱钶x三角】觀察楊輝三角圖，尋找其中的規(guī)律?！編讉€求和公式】135(2n-1)-n2；2+4+6+2n=n(n+1);2_2_2123n2J(n1)(2n1)6經(jīng)典例析1 234第一行2 345第二行3 456第三行4 567第四行.:第第第第一二三四列列列列例1觀察一列數(shù)表：根據(jù)數(shù)表所反映的規(guī)律，猜想第6行與第6列的交叉點上的數(shù)應為,第n行與第n列的交叉點上的數(shù)應為（用含有正整數(shù)n的的代數(shù)式表示）.點撥：通過觀察不難發(fā)現(xiàn)第n行的第一個數(shù)為n,在第n行中，后一個數(shù)比前一

4、個數(shù)大1,因此第6行的第6個數(shù)應該是6+6-1=11,第n行的第n個數(shù)應該是n+n-1=2n-1.解：112n-1評析：通過觀察給出的一系列數(shù)找出它們的規(guī)律或探索它們之間的數(shù)量關系，再用數(shù)學方法給予證明（即用代數(shù)式表示其關系）是探索規(guī)律的常見題型。解決這類問題的一般方法是：“觀察、歸納、猜想、驗證”。另外要注意的是并非題目中都要告訴什么是行，什么是列，這是生活中的基本常識，要求能分得清楚。例2（2011年安徽）探索nxn的正方形釘子板上（n是釘子板每邊上的釘子數(shù)），連接任意兩個釘子所得到的不同長度值的線段種數(shù)：當n=2時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1與金,所以不同長度值的線段只有2種，若

5、用S表示用心用情服務教育jg口=2不同長度值的線段種數(shù)，則S=2;當n=3時，釘子板上所連不同線段的長度值只有1,J2,2,J5,2，2五種，比n=2時增加了3種，即S=2+3=5。(1)觀察圖形，填寫下表：釘子數(shù)(nxn)S值2X223X32+34X42+3+()5X5()(2)寫出(n-1)x(n-1)和nxn的兩個釘子板上，不同長度值的線段種數(shù)之間的關系；(用式子或語言表述均可)(3)對nxn的釘子板，寫出用n表示S的代數(shù)式。點撥：在觀察規(guī)律時可用覆蓋法，即n=k時包含了n=k-1時的所有情況，如n=3時，S=2+3,當n=4時，我們僅需考慮在n=3的基礎上增加了幾條不同長度的線段，顯然

6、由圖形易得此時S=2+3+4,以此類推。解：(1)42+3+4+5(或14)(2)類似以下答案均可：nXn的釘子板比(n1)x(n1)的釘子板中不同長度的線段種數(shù)增加了n種；分別用a、b表示nxn與(n1)x(n1)的釘子板中不同長度的線段種數(shù)，則a=b+n.(3)S=2+3+4+n.評析：對于剛?cè)氤跻坏耐瑢W來說，還不能算出不同線段的具體長度，但可以通過圖形直觀地感受出線段的長短，再從圖形的變化中探索其中的規(guī)律例3根據(jù)以下10個乘積，回答問題.1129122813X2714X2615X2516X2417M318X2219X212020(1)試將以上各乘積分別寫成一個“口2。2(兩數(shù)平方差)的形

7、式，并寫出其中一個的思考過程；(2)將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；(3)試由、猜測一個一般性的結論.(不要求證明)點撥：本題有一定難度，對學生的基本能力和發(fā)散思維要求較高。第一問不能簡單地去猜想，更不能逐個算出結果再找規(guī)律，首先應該觀察到每組算式中兩個因數(shù)的和為常數(shù)40,這一點有助于第三問總結一般性結論，然后借助于平方差公式計算出對應的口和。，其實第一問的答案并不唯一，比如12X28=20282=312252,不過我們盡可能讓寫出的式子形式一致。第二問其實就是簡單的計算和大小比較，比較的結果有助于第三問。第三問的實質(zhì)是總結出一般結論：a,b為正數(shù)，若a+b=m(定值)，則ab29

8、=(209)(20+9)=20292.這10個乘積按照從小到大的順序依次是：1525：:1624：1723：:1129：:1228：:1327：:1426：:18M2219父2120X20.若a+b=40,a,b是自然數(shù)，則abw202=400.若a+b=40,貝Uab202=400.若a+b=m,a,b是自然數(shù)，則abmi.22若a+b=m,則ab|a2-b2|刁a3b31A|anbn|,則ab1Wa2b2.a3b3W-vanbn.若a1+b1=a2+b2=a3+b3=3=an+bn=m.且|a一b|a2b2|忸3b31A|anbn|,則a1b1Wa2b2a3b3WWanbn-評析：第3問其

9、實是一個開放性問題，可以有很多種正確的答案，根據(jù)考試的評分標準，該問共3分，給出結論或之一的得1分；給出結論或之一的得2分；給出結論或之一的得3分.由此可見，我們在分析和解決問題時，要盡可能地做到深入和全面，盡量挖掘其數(shù)學本質(zhì)。即學即練1.觀察下列圖形，并判斷照此規(guī)律從左向右第2007個圖形是（）ABC2.為慶?！傲弧眱和?jié)，某幼兒園舉行用火柴棒擺“金魚”比賽.如圖所示:、/按照上面的規(guī)律，擺n個“金魚”需用火柴棒的根數(shù)為（A. 2+6nB. 86nC. 44nD. 8n3 .（遵義市）如圖是5月的日歷表，任意圈出一豎列上相鄰的三個數(shù)，請你運用方程思想來研究，發(fā)現(xiàn)這三個數(shù)的和不可能是（A.2

10、7C.40日一一三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031D.544 .我國古代的“河圖”是由3X3的方格構成，每個方格內(nèi)均有數(shù)目不同的點圖,每一行、每一列以及每一條對角線上的三個點圖的點數(shù)之和均相等.的部分點圖，請你推算出P處所對應的點圖是（圖4給出了“河圖5 .世界上著名的萊布尼茨三角形如圖所示:213112131則排在第10行從左邊數(shù)第A.工B.,1323604241211212030111306060111051403個位置上的數(shù)是1C.49520130110542D.6606 .小說達芬奇密碼中的一個故事里出現(xiàn)了

11、一串神密排列的數(shù)，將這串令人費解的數(shù)按從小到大的順序排列為：1,1,2,3,5,8,則這列數(shù)的第8個數(shù)是7 .如圖，用灰白兩色正方形瓷磚鋪設地面，第6個圖案中灰色瓷磚塊數(shù)為ZXXXxxxx第3個圖案8 .觀察下列各式：152=1m(1+1)m100+52=225;252=2父(2+1)父100+52=625;n為正整數(shù))為352=3m(3+1)m100+52=1225依此規(guī)律，第n個等式(9.一個叫巴爾末的中學教師成功地從光譜數(shù)據(jù)9,當竺，竺，中得到巴爾末公5122132式，從而打開了光譜奧秘的大門，請你按照這種規(guī)律，寫出第n(n1)個數(shù)據(jù)是1111111110.觀察下歹U等式：=1,=,=,

12、將以上一.個等式兩12223233434邊分別相加得:111111111=1_=1_122334223344(1)猜想并寫出:1n(n1)(2)直接寫出下列各式的計算結果：1111,HI1二12233420062007，+L+|+_1-=.122334n(n1)1111(3)探究并計算：HI-124466820062008中考風向標中考對于探索規(guī)律問題的考察常見于選擇題和填空題，數(shù)目在1個左右，隨著課程改革的逐漸深入，對探索規(guī)律的考察也逐漸滲透到解答題之中，甚至以單獨的解答題出現(xiàn)。這種發(fā)展方向?qū)嵸|(zhì)上體現(xiàn)了課程標準中要求達到的目標之一一一不是培養(yǎng)學生“學新知識”，而是去“生長新知識”；也為培養(yǎng)學

13、生獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學知識以及數(shù)學思想方法和應用技能，打下良好的基礎；同時也為發(fā)展學生勇于探索、勇于創(chuàng)新的科學精神作了有益的嘗試。1 .如圖，用同樣規(guī)格的、帶花紋的和不帶花紋的正方形瓷磚鋪設矩形地面，請觀察圖形并解答下列問題。n=1在第n個圖中，共有白塊瓷磚。（用含n的代數(shù)式表示）評析：觀察給出三個圖形，可得第n個圖形中間白色的正方塊的長邊有n+1個正方塊，短邊有n個正方塊，故共有n（n+1）塊白塊瓷磚。2 .意大利著名數(shù)學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一組數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,，其中從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩上數(shù)的和?，F(xiàn)以這組數(shù)中的各個數(shù)作為正方形的長度構造如下：2再分別依次從左到右取2個、3個、4個、5個正方形拼成如下矩形并記為、.相應矩形的周長如下表所示:評析：首先由該組數(shù)的規(guī)律我們可以寫出它的前11個數(shù)為1、1、2、3、5、8、13、21、序號61016