線性空間定義

1、第三章第三章 線性空間線性空間3.1 線性空間的定義線性空間的定義 3.2 線性空間基與維數(shù)線性空間基與維數(shù) 3.3 線性映射與線性變換線性映射與線性變換 3.4 特征向量與矩陣的對(duì)角化特征向量與矩陣的對(duì)角化3.1 線性空間的定義線性空間的定義一一 線性空間定義線性空間定義二二 線性空間例子線性空間例子三三 線性空間的子空間線性空間的子空間設(shè)V是一個(gè)非空集合， 在V上任意兩元素元運(yùn)算 + 滿足如下性質(zhì)：交換律交換律 ,V 有結(jié)合律結(jié)合律,V ()()有OV使得對(duì)任意,V對(duì)任意存在V使得O1）2）3）存在4）一一 線性空間定義線性空間定義定義定義1對(duì)任意的對(duì)任意的O有,V, 定義運(yùn)算并記為,且,

2、V設(shè)R為實(shí)數(shù)域， 對(duì)V中的任意元素及R中的任意元素k定義運(yùn)算并記為,k且,kV運(yùn)算 滿足如下性質(zhì)：k” “1律律”15）結(jié)合律結(jié)合律6）,k lRV( )( )()klk ll k都有7）分配律分配律,k lRV都有()k lkl8）分配律分配律,kRV 都有()kkk則稱(chēng)V為R上的一個(gè)線性空間上的一個(gè)線性空間，簡(jiǎn)稱(chēng)為實(shí)線性空間實(shí)線性空間，線性空間中的元素稱(chēng)為向量向量。對(duì)任意的對(duì)任意的對(duì)任意的運(yùn)算+稱(chēng)為加法加法運(yùn)算，稱(chēng)為數(shù)乘數(shù)乘運(yùn)算， 它們統(tǒng)稱(chēng)為k線性運(yùn)算線性運(yùn)算。O O稱(chēng)為零向量零向量，,O若則稱(chēng)為的負(fù)向量向量，并把的負(fù)向量記為。注注（1）零向量 是唯一；設(shè)OO也是零向量，則OOO由零向量

3、可得OOOO設(shè)12, 都是 的負(fù)向量，則11O12122O2（3）由負(fù)向量我們可以定義向量間的減法“-”： OO（2） 負(fù)向量是唯一的；0;O（4）對(duì)數(shù)零0及任意向量有0;O00000（5）V若數(shù)0,k 對(duì)有,kO則必有OkO11kOkk1kOkO（6）思考是否存在只有一個(gè)向量的線性空間？若存在只有一個(gè)向量的線性空間-這唯一的會(huì)是誰(shuí)？稱(chēng)這樣的空間為零空間零空間。存在- 這唯一的向量不是別的只能是零向量零向量，0;O（4）對(duì)數(shù)零0及任意向量有0;O00000（5）1; （6）0O1 ( 1) ( 1) 1; 稱(chēng)這樣的空間為零空間零空間。進(jìn)一步思考實(shí)向量空間的向量個(gè)數(shù)。思考是否存在一個(gè)向量的實(shí)線性

4、空間？存在- 這唯一的向量不是別的只能是零向量零向量，要么一個(gè)（零空間），要么無(wú)數(shù)個(gè)（非零空間）。（7）若實(shí)線性空間不是零空間，（零空間），則實(shí)線性空間必要無(wú)數(shù)個(gè)向量。設(shè)實(shí)線性空間V不是零空間， 則存在非零向量,V對(duì)不同實(shí)數(shù)12,k k必有12,kk（若12,kk這意味著12,kkO導(dǎo)致,O矛盾）。 對(duì)實(shí)數(shù)k,kV當(dāng)實(shí)數(shù)k遍歷所有實(shí)數(shù)時(shí)k在V中產(chǎn)生無(wú)數(shù)個(gè)向量。綜上所述對(duì)于實(shí)線性空間-要么只有一個(gè)向量要么無(wú)數(shù)個(gè)向量（非零空間）。（8）定義中的實(shí)數(shù)域可以是其它域如復(fù)數(shù)域、有限域, 相應(yīng)地稱(chēng)V為復(fù)數(shù)域、有限域上的線性空間。本書(shū)不作聲明， 都是指實(shí)數(shù)域上線性空間。 簡(jiǎn)稱(chēng)線性空間。不過(guò)本書(shū)關(guān)于實(shí)數(shù)域上線

5、性空間大部分理論對(duì)于一般域上線性空間也成立！二二 線性空間例子線性空間例子nR例例1表示全體n維實(shí)向量形成的集合，即12,1ninaaRaRinanR關(guān)于關(guān)于n維實(shí)向量加法和數(shù)乘是線性空間。維實(shí)向量加法和數(shù)乘是線性空間。12,naaa即對(duì)12nbbb:kR1122,nnababab12,nkakakkanR顯然在 零向量00,0O 12naaa向量的負(fù)向量12naaa注注nR是最重要的實(shí)線性空間。類(lèi)似有復(fù)線性空間nC例例2設(shè)C是復(fù)數(shù)集，則復(fù)數(shù)集C關(guān)于復(fù)數(shù)的加法和實(shí)數(shù)乘復(fù)數(shù)為一個(gè)實(shí)線性空間。12,aa iC12,bb iCkR其中1212,a a b bR21.i 則 1122ababi12kk

6、aka i在實(shí)線性空間C中零向量為數(shù)字0；12aa i的負(fù)向量12aai 例例3m n階實(shí)矩陣全體m nM關(guān)于矩陣線性運(yùn)算是一個(gè)線性空間(實(shí)矩陣空間實(shí)矩陣空間）。特別的n階實(shí)方陣全體nM關(guān)于矩陣線性運(yùn)算是一個(gè)線性空間。111212122212,nnmmmnaaaaaaAaaa 111212122212nnmmmnbbbbbbBbbb ,m nMkR111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababA Bababab 111212122212,nnmmmnkakakakakakakAkakaka 111212122212nnmmmnaaaaaaAaa

7、a m nM中的零向量為m n零矩陣。向量的負(fù)向量111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 注注nR是實(shí)矩陣空間1 nM例例4定義在集合D實(shí)值函數(shù)全體記為.F對(duì),f gF定義 fgxf xg xkR kfxkf xxD則F關(guān)于“+”與kf成為一個(gè)線性空間(函數(shù)空間函數(shù)空間）。在函數(shù)空間F零向量為常值函數(shù)0， 即xD對(duì)任意 0O x 有f向量的負(fù)向量是f例例5 實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體記為 ,R x則 R x關(guān)于多項(xiàng)式的加法于數(shù)乘多項(xiàng)式成為一個(gè)線性空間. 2012,mmaa xa xa xR x 2012,nnbb xb xb xR xkR 100111mmnmmmnabab xabxb

8、xb x不妨假設(shè)mn2012mmkkaka xka xka x R x中零向量為零多項(xiàng)式零多項(xiàng)式向量的負(fù)向量2012mmaa xa xa x 例例6 設(shè)為V為空間里有向線段全體形成的集合有向線段定義+：定義數(shù)乘:k長(zhǎng)度是長(zhǎng)度的k倍。方向是當(dāng)0k 時(shí)與相同;當(dāng)時(shí)與相反。kk0k 空間的有向線段集空間的有向線段集V關(guān)于加法數(shù)乘是一個(gè)線性空間關(guān)于加法數(shù)乘是一個(gè)線性空間V中的零向量為零線段（長(zhǎng)對(duì)為零的線段）的負(fù)向量設(shè)V是一個(gè)線性空間， V 的非空子集W關(guān)于V的三三 線性空間的子空間線性空間的子空間定義定義2加法與數(shù)乘成為一個(gè)線性空間， 則稱(chēng)W是線性空間線性空間V的一個(gè)的一個(gè)線性子空間線性子空間，（簡(jiǎn)稱(chēng)

9、子空間）。注注（1） 子空間本身就是一個(gè)線性空間。為子空間是它在一個(gè)更大的線性空間里，之所以稱(chēng)其而且兩者線性運(yùn)算一樣。（2）任何線性空間V都有子空間V和 O（零子空間零子空間），它兩成為V的平凡子空間平凡子空間。三三 線性空間的子空間線性空間的子空間線性空間V 任意子集W未必是V的子空間。nR例線性空間的子集12100010,001nWeee 不是nR的子空間。（為什么？）思考思考線性空間的一個(gè)子集不含零向量零向量，這個(gè)子集是否有可能成為子空間。定理定理1線性空間V 的非空子集W是V的子空間當(dāng)且僅當(dāng),W 1）對(duì)任意的有W2）對(duì)任意的,kRW有kW注注 （1）線性空間V 的非空子集W是V的子空間

10、當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)加法與數(shù)乘封閉。（2）若,OW則W一定不是V的子空間（為什么？）。推論推論1 線性空間V 的非空子集W是V的子空間當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的, ,k lRW 有.klW推論推論1*線性空間V 的非空子集W是V的子空間當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的11,mmkkRW有2m 11mmkkW例例7設(shè)S是n元齊次線性方程組解向量集，11 1122121 122221 12200 0nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxa x即A其中nSRAO為方程組的系數(shù)矩陣。 顯然S是nR的非空子集，且,S 有A對(duì)任意即S對(duì)任意,kRS有A kk AkOO即kS定理定理 2 n元齊次線性方程組解向量集S

11、是nR的子空間。OOOAA思考思考 n元非齊次線性方程組解向量集是否是nR的子空間。例例9n階上（下）三角方陣全體是nM思考思考的一個(gè)非平凡線性子空間。 記該子空間為nTM（1） 請(qǐng)舉出nTM一的個(gè)非平凡線性子空間，這樣的子空間是 的一個(gè)非平凡線性子空間嗎？nM（2）一般地，若0V是 的一個(gè)（非平凡）子空間，1V1V是 的一個(gè)（非平凡）子空間,2V那么0V是否是 的一個(gè)（非平凡）子空間？2V例例8復(fù)數(shù)集C關(guān)于復(fù)數(shù)的加法與實(shí)數(shù)乘復(fù)數(shù)成實(shí)線性空間，C的真子集實(shí)數(shù)集R是C的一個(gè)非平凡線性子空間。例例10定義在區(qū)間若F, a b實(shí)值函數(shù)全體，我們前面知道它關(guān)于函數(shù)的加法與常數(shù)乘函數(shù)形成線性空間。用,a bC表示定義在區(qū)間, a b連續(xù)實(shí)值函數(shù)全體；,a bD表示定義在區(qū)間, a b可導(dǎo)實(shí)值函數(shù)全體。則,a bC是F的一個(gè)非平凡線性子空間；,a bD是,a bC的一個(gè)非平凡線性子空間；是F的一個(gè)非平凡線性子空間。,a bD例例11例例12有向線段全體是V的一個(gè)非平凡子空間。nP表示次數(shù)小于n的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體， 則nP是 R x的一個(gè)非平凡線性子空間。V為是空間有向線段全體關(guān)于有向線段的加法與