第六章軸對(duì)稱問題的有限單元法

1、軸對(duì)稱問題 軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)在工程中應(yīng)用比較廣泛。軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)在工程中應(yīng)用比較廣泛。 軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)是由任意平面圖形繞著某直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的回軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)是由任意平面圖形繞著某直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的回轉(zhuǎn)體，該直線稱為轉(zhuǎn)體，該直線稱為對(duì)稱軸對(duì)稱軸；旋轉(zhuǎn)平面稱為；旋轉(zhuǎn)平面稱為子午面子午面。如果軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的如果軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的約束約束條件以及作用的載荷條件以及作用的載荷都都對(duì)稱于對(duì)稱軸的話，則對(duì)稱于對(duì)稱軸的話，則在載荷作用下產(chǎn)生的在載荷作用下產(chǎn)生的位位移、應(yīng)變和應(yīng)力移、應(yīng)變和應(yīng)力也對(duì)稱也對(duì)稱于此軸，這種問題稱為于此軸，這種問題稱為軸對(duì)稱問題。軸對(duì)稱問題。z軸對(duì)稱問題對(duì)完全軸對(duì)稱問題進(jìn)行對(duì)完全軸對(duì)稱問題進(jìn)行計(jì)算時(shí)，只需

2、取任一個(gè)計(jì)算時(shí)，只需取任一個(gè)子午面離散化后，進(jìn)行子午面離散化后，進(jìn)行分析即可。分析即可。在軸對(duì)稱問題中，通常采用柱坐標(biāo)在軸對(duì)稱問題中，通常采用柱坐標(biāo)(r, , z)。以。以z軸作為對(duì)稱軸，軸作為對(duì)稱軸，所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移都與所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移都與 方向無關(guān)，只是方向無關(guān)，只是r和和z的函數(shù)，任一的函數(shù)，任一點(diǎn)的位移只有兩個(gè)方向的分量，即沿點(diǎn)的位移只有兩個(gè)方向的分量，即沿r方向的徑向方向的徑向u和沿和沿z方向的方向的軸向位移軸向位移w。由于軸對(duì)稱，。由于軸對(duì)稱， 方向的位移等于零。因此軸對(duì)稱問方向的位移等于零。因此軸對(duì)稱問題是二維問題。題是二維問題。 z軸對(duì)稱問題在對(duì)軸對(duì)稱問題進(jìn)行計(jì)在對(duì)軸對(duì)

3、稱問題進(jìn)行計(jì)算時(shí)，只需取出一個(gè)截算時(shí)，只需取出一個(gè)截面進(jìn)行網(wǎng)格劃分和分析，面進(jìn)行網(wǎng)格劃分和分析，但應(yīng)注意到單元是環(huán)狀但應(yīng)注意到單元是環(huán)狀的，所有的節(jié)點(diǎn)載荷都的，所有的節(jié)點(diǎn)載荷都應(yīng)理解為作用在單元節(jié)應(yīng)理解為作用在單元節(jié)點(diǎn)所在的圓周上。點(diǎn)所在的圓周上。 離散軸對(duì)稱體時(shí)，采用的單元是一些圓環(huán)。這些圓環(huán)單元與離散軸對(duì)稱體時(shí)，采用的單元是一些圓環(huán)。這些圓環(huán)單元與rz平平面的截面可以有不同的形狀，例如面的截面可以有不同的形狀，例如3節(jié)點(diǎn)三角形、節(jié)點(diǎn)三角形、6節(jié)點(diǎn)三角形節(jié)點(diǎn)三角形或其它形式。單元的節(jié)點(diǎn)是圓周狀的鉸鏈，各單元在或其它形式。單元的節(jié)點(diǎn)是圓周狀的鉸鏈，各單元在rz平面內(nèi)形平面內(nèi)形成網(wǎng)格。圖示為成網(wǎng)

4、格。圖示為3節(jié)點(diǎn)三角形環(huán)狀單元。節(jié)點(diǎn)三角形環(huán)狀單元。 ikjijk軸對(duì)稱問題應(yīng)力和應(yīng)變分量應(yīng)力和應(yīng)變分量左圖給出了軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)體左圖給出了軸對(duì)稱旋轉(zhuǎn)體問題中的應(yīng)力和應(yīng)變分量。問題中的應(yīng)力和應(yīng)變分量。令旋轉(zhuǎn)軸為令旋轉(zhuǎn)軸為z、徑向軸為、徑向軸為r、環(huán)向坐標(biāo)為環(huán)向坐標(biāo)為。沿軸。沿軸z和軸和軸r的位移分量為的位移分量為u和和v，它們，它們都是坐標(biāo)都是坐標(biāo)r、z的函數(shù)。在軸的函數(shù)。在軸對(duì)稱情況下，任一徑向位對(duì)稱情況下，任一徑向位移都會(huì)引起周向應(yīng)變，所移都會(huì)引起周向應(yīng)變，所以必須考慮周向應(yīng)變和應(yīng)以必須考慮周向應(yīng)變和應(yīng)力分量。力分量。軸對(duì)稱問題幾何方程和平衡方程幾何方程和平衡方程應(yīng)變位移關(guān)系為應(yīng)變位移關(guān)系為軸

5、對(duì)稱問題平衡方程平衡方程應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系為應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系為位移模式和形函數(shù)計(jì)算前首先要在一個(gè)對(duì)稱面上進(jìn)行有限元的離散化處理，采用計(jì)算前首先要在一個(gè)對(duì)稱面上進(jìn)行有限元的離散化處理，采用的單元在對(duì)稱面上為三角形，分割的原則與平面問題基本類似。的單元在對(duì)稱面上為三角形，分割的原則與平面問題基本類似。 與平面問題類似，對(duì)于三角形單元只能取線性位移模式，因此與平面問題類似，對(duì)于三角形單元只能取線性位移模式，因此單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移可被近似地用其節(jié)點(diǎn)值表示成單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移可被近似地用其節(jié)點(diǎn)值表示成 形函數(shù)的值仍然按下式計(jì)算：形函數(shù)的值仍然按下式計(jì)算： 應(yīng)變的離散將位移表達(dá)式代入幾何方程：將位移表達(dá)式代入幾何方

6、程： B B矩陣構(gòu)成如下：矩陣構(gòu)成如下： 注意：由注意：由B矩陣可知有環(huán)矩陣可知有環(huán)向應(yīng)變是不為常量的，向應(yīng)變是不為常量的，其值與單元中點(diǎn)其值與單元中點(diǎn)(r, z)的的位置有關(guān)。位置有關(guān)。，應(yīng)力的離散將應(yīng)變表達(dá)式代入平衡方程：將應(yīng)變表達(dá)式代入平衡方程： 由于由于D D矩陣為矩陣為 環(huán)向應(yīng)變不為常量，則應(yīng)環(huán)向應(yīng)變不為常量，則應(yīng)力中除了剪應(yīng)力為常量外力中除了剪應(yīng)力為常量外其余的也均不為常量。其余的也均不為常量。，單元?jiǎng)偠染仃嚫鶕?jù)單元?jiǎng)偠染仃嚨钠毡樾问剑芍焊鶕?jù)單元?jiǎng)偠染仃嚨钠毡樾问?，可知?將將B B的表達(dá)式代入上式是可以求得解析解的，這部分內(nèi)容將在的表達(dá)式代入上式是可以求得解析解的，這部分內(nèi)容

7、將在等參元中學(xué)習(xí)，這里我們介紹一種簡化方法：等參元中學(xué)習(xí)，這里我們介紹一種簡化方法： ，把單元中隨點(diǎn)而變化的把單元中隨點(diǎn)而變化的r、z用形心處的坐標(biāo)近似用形心處的坐標(biāo)近似總體剛度矩陣關(guān)于總體剛度矩陣的組裝和存儲(chǔ)，與一般的平面問題無不同之關(guān)于總體剛度矩陣的組裝和存儲(chǔ)，與一般的平面問題無不同之處，此處不再詳述。處，此處不再詳述。 ，載荷的處理對(duì)于集中的節(jié)點(diǎn)載荷，處理方式并無特殊之處。對(duì)于集中的節(jié)點(diǎn)載荷，處理方式并無特殊之處。 ，對(duì)于均布荷載，處理方式如下：對(duì)于均布荷載，處理方式如下： i-j上任一點(diǎn)的法向面力上任一點(diǎn)的法向面力q在在r向和向和z向的分量為向的分量為 由于這個(gè)三角形事實(shí)上是一個(gè)三角由

8、于這個(gè)三角形事實(shí)上是一個(gè)三角環(huán)，所以經(jīng)過插值，積分后得環(huán)，所以經(jīng)過插值，積分后得 ：載荷的處理，對(duì)于溫度荷載，處理方式如下：對(duì)于溫度荷載，處理方式如下： 初應(yīng)變引起的等效節(jié)點(diǎn)載荷為初應(yīng)變引起的等效節(jié)點(diǎn)載荷為 由于溫度的變化，體內(nèi)將產(chǎn)生熱應(yīng)變，可被作為初應(yīng)變來處由于溫度的變化，體內(nèi)將產(chǎn)生熱應(yīng)變，可被作為初應(yīng)變來處理。假如溫度改變?yōu)槔?。假如溫度改變?yōu)門 T，產(chǎn)生的熱應(yīng)變是，產(chǎn)生的熱應(yīng)變是 為避免復(fù)雜的解析解計(jì)算仍采取單剛矩陣計(jì)算時(shí)的簡化為避免復(fù)雜的解析解計(jì)算仍采取單剛矩陣計(jì)算時(shí)的簡化 載荷的處理，對(duì)于離心力荷載，處理方式如下：對(duì)于離心力荷載，處理方式如下： 等效節(jié)點(diǎn)載荷為等效節(jié)點(diǎn)載荷為 若繞若繞z

9、軸的角速度為軸的角速度為 ，則單元，則單元 ijk 的離心力載荷的離心力載荷 為材料的質(zhì)量密度，角速度為為材料的質(zhì)量密度，角速度為 ，與轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)速n的關(guān)系為的關(guān)系為 邊界約束的處理，對(duì)于邊界約束，處理方式與平面問題有限元沒有區(qū)別。對(duì)于邊界約束，處理方式與平面問題有限元沒有區(qū)別。 值得注意的：對(duì)稱軸上的節(jié)點(diǎn)在值得注意的：對(duì)稱軸上的節(jié)點(diǎn)在z方向應(yīng)受到約束方向應(yīng)受到約束 。方程的求解，對(duì)于方程，求解方式與平面問題有限元沒有區(qū)別。對(duì)于方程，求解方式與平面問題有限元沒有區(qū)別。 結(jié)果的分析，軸對(duì)稱體在考慮溫度影響時(shí)，單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力為：軸對(duì)稱體在考慮溫度影響時(shí)，單元內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力為：軸對(duì)稱單元體內(nèi)的應(yīng)力

10、在一般情況下并非常應(yīng)力，如果用單元形軸對(duì)稱單元體內(nèi)的應(yīng)力在一般情況下并非常應(yīng)力，如果用單元形心坐標(biāo)代替單元中任一點(diǎn)的坐標(biāo)，則可近似地將三角形單元視為心坐標(biāo)代替單元中任一點(diǎn)的坐標(biāo)，則可近似地將三角形單元視為常應(yīng)力單元。常應(yīng)力單元。 值得注意的：軸對(duì)稱問題是可以簡化為平面問題的，但事實(shí)值得注意的：軸對(duì)稱問題是可以簡化為平面問題的，但事實(shí)上仍處于三向受力狀態(tài)，其環(huán)向上切應(yīng)力為零，所以環(huán)向必上仍處于三向受力狀態(tài)，其環(huán)向上切應(yīng)力為零，所以環(huán)向必為一應(yīng)力主方向，一般令：為一應(yīng)力主方向，一般令：對(duì)稱面上，二個(gè)主應(yīng)力及其方向可以和平面應(yīng)變分析情形類對(duì)稱面上，二個(gè)主應(yīng)力及其方向可以和平面應(yīng)變分析情形類似地確定。似地確定。 人有了知識(shí)，就會(huì)