第8章空間實體單元

1、第第8 8章章 空間實體單元空間實體單元 8.1 概述概述 許多工程實際問題屬于空間問題。用有限元法分析空間許多工程實際問題屬于空間問題。用有限元法分析空間問題和分析平面問題在原理、思路和解題方法完全相同，問題和分析平面問題在原理、思路和解題方法完全相同，基本未知量仍然是節(jié)點位移。不同的是單元具有三維特點?；疚粗咳匀皇枪?jié)點位移。不同的是單元具有三維特點。節(jié)點位移在節(jié)點位移在x、y、z三個坐標軸方向都有分量：三個坐標軸方向都有分量：u、v、w。它的基本方程比平面問題要多，有它的基本方程比平面問題要多，有3個平衡方程，個平衡方程，6個幾何個幾何方程，方程，6個物理方程。個物理方程。分析方法仍然

2、是先進行單元分析，再分析方法仍然是先進行單元分析，再進行系統(tǒng)分析，最后求解系統(tǒng)的節(jié)點平衡方程，解算內力進行系統(tǒng)分析，最后求解系統(tǒng)的節(jié)點平衡方程，解算內力或應力?；驊Α?空間離散化后的單元模型主要有：四面體單元、長方空間離散化后的單元模型主要有：四面體單元、長方體單元、直邊六面體單元、曲邊六面體單元，如圖體單元、直邊六面體單元、曲邊六面體單元，如圖8-1所示。所示。 (a)(b)(c)(d)圖圖8-1 空間實體單元模型空間實體單元模型(a) 圖為圖為4節(jié)點四面體單元，是空間問題最簡單的單元，也節(jié)點四面體單元，是空間問題最簡單的單元，也是是常應變、常應力單元常應變、常應力單元。類似平面問題三節(jié)點

3、三角形單元。類似平面問題三節(jié)點三角形單元進行分析。進行分析。？ (b)圖圖w為長方體單元，可以類似平面四節(jié)點矩形單元進行為長方體單元，可以類似平面四節(jié)點矩形單元進行分析。分析。 (c)圖為任意八節(jié)點六面體單元，可以類似平面四節(jié)點任意圖為任意八節(jié)點六面體單元，可以類似平面四節(jié)點任意四邊形等參元進行分析。四邊形等參元進行分析。 (d)圖為圖為20節(jié)點曲邊六面體單元，可以類似平面八節(jié)點曲邊節(jié)點曲邊六面體單元，可以類似平面八節(jié)點曲邊四邊形等參元進行分析四邊形等參元進行分析 。8.2 4節(jié)點四面體常應變單元節(jié)點四面體常應變單元 1、位移模式、位移模式 如圖如圖8-2所示，取四面體的所示，取四面體的4個頂

4、點個頂點 i,j,m,n 為節(jié)點。每為節(jié)點。每一個節(jié)點有一個節(jié)點有3個位移分量，即個位移分量，即 ),(nmjiwvuTiiii（8-1）單元節(jié)點位移向量為單元節(jié)點位移向量為TnnnmmmjjjiiiTTnTmTjTiewvuwvuwvuwvu（8-2） 與平面問題式（與平面問題式（2-12）類似，假定單元內一點的位移）類似，假定單元內一點的位移分量為坐標的線性函數分量為坐標的線性函數 zayaxaawzayaxaavzayaxaau121110987654321（8-3）將式（將式（8-3）的第）的第1式應用于式應用于4個結點，則個結點，則ijmnxyz圖圖 8-2nnnnmmmmjjjji

5、iiizayaxaauzayaxaauzayaxaauzayaxaau4321432143214321（8-4）由此可解出由此可解出a1a4，再代回到式（，再代回到式（8-3）的第）的第1式，與式（式，與式（2-19）的第）的第1式類似，有式類似，有 nnmmjjiiuNuNuNuNu（8-5）式中形函數具有與式（式中形函數具有與式（2-18）類似的形式：）類似的形式：),()(61nmjizdycxbaVNiiiii（8-6）其中其中 ),(nmji111111111nnmmjjinnmmjjinnmmjjinnnmmmjjjiyxyxyxdzxzxzxczyzyzybzyxzyxzyxa（

6、8-7）nnnmmmjjjiiizyxzyxzyxzyxV1111（8-8）在式（在式（8-8）中，）中，V為四面體的體積。為使其計算值不為負，為四面體的體積。為使其計算值不為負，單元的節(jié)點（單元的節(jié)點（i,j,m,n）編號次序應遵循右手法則。）編號次序應遵循右手法則。(p4) 采用同樣的方法，可得采用同樣的方法，可得nnmmjjiivNvNvNvNv（8-9）nnmmjjiiwNwNwNwNw（8-10）將式（將式（8-5）、（）、（8-9）（）（8-10）統(tǒng)一用矩陣式表示，可得與）統(tǒng)一用矩陣式表示，可得與平面問題式（平面問題式（2-20）類似的公式）類似的公式 （8-11）eNwvuf式中

7、式中N為單元形函數矩陣，其維數為為單元形函數矩陣，其維數為312。進一步可寫。進一步可寫為與平面問題式（為與平面問題式（2-21）、（）、（2-22）類似的子塊形式）類似的子塊形式（8-12）nmjiNNNNN 其中，子矩陣其中，子矩陣 （8-13）),(000000nmjiINNNNNiiiii式中，式中，I為為3階單位矩陣。階單位矩陣。 2、應變矩陣、應變矩陣 在空間問題中，每點有在空間問題中，每點有6個應變分量。幾何方程為：個應變分量。幾何方程為： TTzxyzxyzyxzuxwywzvxvyuzwyvxu（8-14）將式（將式（8-11）（）（8-13）和（）和（8-6）代入上式，得）

8、代入上式，得 （8-15）enmjieBBBBB式中式中 （8-16）),(00000000061nmjibdcdbcdcbVBiiiiiiiiii上式（上式（8-15）、（）、（8-16）與平面問題式（）與平面問題式（2-24）（）（2-26）類似。與平面問題三節(jié)點三角形單元相同，在四節(jié)點四面類似。與平面問題三節(jié)點三角形單元相同，在四節(jié)點四面體單元中，體單元中，B的元素都是常量，因此是常應變單元。的元素都是常量，因此是常應變單元。 2、應力矩陣、應力矩陣 三維問題的應力應變關系也可寫為式（三維問題的應力應變關系也可寫為式（2-8）的矩陣）的矩陣形式形式 D（8-17） 與平面問題不同，這里與

9、平面問題不同，這里和和分別由分別由6個分量組成，個分量組成，彈性矩陣彈性矩陣D是一個是一個66的矩陣：的矩陣：Tzxyzxyzyx（8-18）（8-19）Tzxyzxyzyx（8-20）)1 (22100000)1 (2210000)1 (221000111111)21)(1 ()1 (稱對ED 將式（將式（8-20）所表示的）所表示的D和式（和式（8-15）、（）、（8-16）所表）所表示的示的B代入式（代入式（8-22），并將），并將S定成分塊矩陣的形式，有定成分塊矩陣的形式，有將式（將式（8-15）代入式（）代入式（8-17），得），得eS（8-21）應力矩陣應力矩陣S為為（8-22）B

10、DS 由于由于D、B都是常數矩陣，因此應力矩陣都是常數矩陣，因此應力矩陣S也是常也是常數矩陣。也就是說，單元中的應力分量也是常數。數矩陣。也就是說，單元中的應力分量也是常數。（8-23）nmjiSSSSS式中式中 （8-24）),(00062222221111113nmjidAdAcAdAbAcAdcAbAdAcbAdAcAbVABDSiiiiiiiiiiiiiiiii其中其中（8-25）)21)(1 ()1 ()1 (2211321EAAA3、單元剛度矩陣、單元剛度矩陣 仿照平面問題中的推導，可得單元平衡方程仿照平面問題中的推導，可得單元平衡方程 eeFk（8-26）單元剛度矩陣具有與式（單

11、元剛度矩陣具有與式（2-33）類似的形式）類似的形式（8-27）vTdVBDBk式中，式中，k是一個是一個1212的矩陣。由于的矩陣。由于B、D都是常數矩都是常數矩陣，所以陣，所以k也是一個常量矩陣。并且也是一個常量矩陣。并且（8-28）VBDBkT寫成分塊矩陣的形式，有寫成分塊矩陣的形式，有 （8-29）nnnmnjnimnmmmjmijnjmjjjiinimijiikkkkkkkkkkkkkkkkk式中子矩陣式中子矩陣krs為為33的矩陣的矩陣 VBDBksTrrs),(nmjisr（8-30）)()()(362212121221212123srsrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsr

12、srsrsrsrsrsrsrsrsrccbbAdddcAcdAdbAbdAcdAdcAbbddAcccbAbcAddAdbAbcAcbAddccAbbVA4、等價節(jié)點力向量、等價節(jié)點力向量 式（式（8-26）中的單元等價節(jié)點力也包括體積力、表面力、）中的單元等價節(jié)點力也包括體積力、表面力、集中力幾部分。體積力與表面力的計算公式與平面三角形集中力幾部分。體積力與表面力的計算公式與平面三角形單元公式（單元公式（2-36）、（）、（2-37）類似：）類似：VVTeVdVpNF（8-31）（8-32）SSTeSdSpNF對于簡單情形，也可采用靜力等效原則簡化計算。對于簡單情形，也可采用靜力等效原則簡化

13、計算。 進一步的整體平衡方程的建立（即結構剛度矩陣、結進一步的整體平衡方程的建立（即結構剛度矩陣、結構等價節(jié)點力列陣的組集）、位移約束條件的引入、線性構等價節(jié)點力列陣的組集）、位移約束條件的引入、線性方程組的求解等，和平面問題有限元法一樣，不再贅述。方程組的求解等，和平面問題有限元法一樣，不再贅述。 8.3 二十結點六面體等參數單元二十結點六面體等參數單元 由于精度高，容易適應不同邊界，在平面問題中常選由于精度高，容易適應不同邊界，在平面問題中常選用了八節(jié)點四邊形等參數單元。與此類似，在三維問題中用了八節(jié)點四邊形等參數單元。與此類似，在三維問題中,常選用二十節(jié)點六面體等參數單元。常選用二十節(jié)點

14、六面體等參數單元。如圖如圖8-3所示，在整體坐標系的二十節(jié)點六面體的實際單元與中所示，在整體坐標系的二十節(jié)點六面體的實際單元與中心在局部坐標的原點、邊長為心在局部坐標的原點、邊長為2的立方體基本單元相對應。的立方體基本單元相對應。1234567891011121314151617181920 xyz6121812345789101113141516171920 = -1 = 1 = 1 = -1 = 1圖圖 8-3實際單元實際單元基本單元基本單元1、位移模式、形函數和坐標變換式、位移模式、形函數和坐標變換式 = -1201201201iiiiiiiiiwNwvNvuNu（8-33）（8-34）

15、201201201iiiiiiiiizNzyNyxNx形函數的表達式如下：形函數的表達式如下： （8-35）)20,19,18,17(4/ )1)(1)(1 ()16,15,14,13(4/ )1)(1)(1 ()12,11,10, 9(4/ )1)(1)(1 ()8, 2 , 1(8/ )2)(1)(1)(1 (002002002000000iNiNiNiNiiii式中式中 iii000,位移模式和坐標變換式可寫為如下形式：位移模式和坐標變換式可寫為如下形式：根據幾何方程，單元中的應變?yōu)楦鶕缀畏匠?，單元中的應變?yōu)?、應變矩陣、應變矩陣eeBBBB2021（8-36）其中其中 （8-37）T

16、ewvuwvuwvu202020222111應變矩陣的子矩陣應變矩陣的子矩陣Bi為：為：（8-38）)20, 2 , 1(000000000ixNzNyNzNxNyNzNyNxNBiiiiiiiiii根據復合函數求導規(guī)則，有根據復合函數求導規(guī)則，有iiiiiiNNNJzNyNxN1（8-39）式中式中J-1為雅可比矩陣為雅可比矩陣J的逆矩陣。的逆矩陣。 J的表達式為的表達式為 202020222111202120212021zyxzyxzyxNNNNNNNNNzyxzyxzyxJ（8-40）3、應力矩陣、應力矩陣單元中的應力為單元中的應力為eBDD單元應力矩陣單元應力矩陣S為為（8-41） B

17、DS 4、單元剛度矩陣、單元剛度矩陣單元剛度矩陣可寫成單元剛度矩陣可寫成 （8-42） 111111| dddJBDBkTk是一個是一個6060的矩陣，式（的矩陣，式（8-42）通常采用高斯法進行）通常采用高斯法進行積分。積分。5、等價節(jié)點力矩陣、等價節(jié)點力矩陣等價節(jié)點力計算公式如下：等價節(jié)點力計算公式如下： （1）體積力）體積力 設單位體積力是設單位體積力是 ， 則等價節(jié)點力為則等價節(jié)點力為TvzVyVxVppppdddJpppNFFFFVzVyVxiVziVyiVxiVi|111111 （8-43）（2）表面力）表面力 設某邊界面上作用表面力設某邊界面上作用表面力 ，則等價節(jié)點，則等價節(jié)點

18、力為力為 TSzSySxSppppdSPPPNFFFFszSySxiSziSyiSxiSi（8-44）設該邊界面對應基本單元設該邊界面對應基本單元 =1 的面。由數學公式，結構的面。由數學公式，結構坐標下曲面微元坐標下曲面微元dS對應于單元坐標下的微元面積式為對應于單元坐標下的微元面積式為（8-45）ddyxyxxzxzzyzydS222)()()(則式（則式（8-44）可寫為單元坐標系下的積分公式）可寫為單元坐標系下的積分公式（8-46） 1111sxsysxisipppNFddyxyxxzxzzyzy222)()()(以上為以上為 =1的表面力計算公式。對于其他表面力，可類的表面力計算公式

19、。對于其他表面力，可類似處理。式（似處理。式（8-46）通常也采用高斯法進行積分計算。）通常也采用高斯法進行積分計算。 8.4 空間軸對稱單元空間軸對稱單元 許多工程構件，其幾何形狀、約束條件及所受的荷載許多工程構件，其幾何形狀、約束條件及所受的荷載都對稱于某一軸，因而所有的位移、應變和應力分量也都都對稱于某一軸，因而所有的位移、應變和應力分量也都對稱于該軸。這類問題稱對稱于該軸。這類問題稱空間軸對稱問題空間軸對稱問題。 對空間軸對稱問題，采用圓柱坐標系，對空間軸對稱問題，采用圓柱坐標系，r表示徑向坐表示徑向坐標，標，z表示軸向坐標，任一對稱面為表示軸向坐標，任一對稱面為rz面。在有限元分析時

20、，面。在有限元分析時，采用繞對稱軸旋轉一周的采用繞對稱軸旋轉一周的軸對稱環(huán)形單元軸對稱環(huán)形單元。把軸對稱的工。把軸對稱的工程構件與程構件與rz坐標平面正交的截面劃分為一些三角形，例如坐標平面正交的截面劃分為一些三角形，例如其中一個是其中一個是ijm（圖（圖8-4）。由這些三角形旋轉一周就構成）。由這些三角形旋轉一周就構成上述環(huán)形單元。上述環(huán)形單元。圖圖8-4 軸對稱構件及三角形環(huán)形單元軸對稱構件及三角形環(huán)形單元r (u)z (w)ij 當然，也可以劃分為當然，也可以劃分為矩形矩形，構成矩形截面的環(huán)形單元。總，構成矩形截面的環(huán)形單元?？傊?，單元截面形狀，可采用之，單元截面形狀，可采用三角形、四邊

21、形等平面有限元三角形、四邊形等平面有限元法所用單元形狀法所用單元形狀。本節(jié)只討論三角形截面的環(huán)形單元，其。本節(jié)只討論三角形截面的環(huán)形單元，其它截面形狀環(huán)形單元可參照本節(jié)方法進行分析。它截面形狀環(huán)形單元可參照本節(jié)方法進行分析。 各個環(huán)形單元（后簡稱單元）間用位于三角形頂點的各個環(huán)形單元（后簡稱單元）間用位于三角形頂點的環(huán)形鉸聯(lián)系起來，就成了離散結構模型。我們把環(huán)形鉸在環(huán)形鉸聯(lián)系起來，就成了離散結構模型。我們把環(huán)形鉸在rz平面的交點（即三角形頂點）稱為單元的節(jié)點（如平面的交點（即三角形頂點）稱為單元的節(jié)點（如 i,j,m ）。因此）。因此對軸對稱問題進行有限元分析只需在對軸對稱問題進行有限元分析只

22、需在rz平面平面劃分網格劃分網格，就像平面問題在，就像平面問題在xy平面上劃分網格一樣。照此平面上劃分網格一樣。照此思路，軸對稱空間問題被大大簡化。思路，軸對稱空間問題被大大簡化。1、位移模式、位移模式 對于如圖對于如圖8-4所示軸對稱三角形環(huán)形單元，是由如圖所示軸對稱三角形環(huán)形單元，是由如圖8-5所示平面上的三角形繞對稱軸軸回旋一周得到的。考慮到所示平面上的三角形繞對稱軸軸回旋一周得到的?？紤]到問題的軸對稱特點，可以借助于平面問題三節(jié)點三角形單問題的軸對稱特點，可以借助于平面問題三節(jié)點三角形單元位移模式進行單元分析。元位移模式進行單元分析。圖圖8-5rzijmrirjrm 由于軸對稱，由于軸

23、對稱，環(huán)向位移恒等于零環(huán)向位移恒等于零。只有徑（只有徑（r）向位移和軸（）向位移和軸（z）向位移，）向位移，它們恰在它們恰在rz坐標平面上。設徑向位移為坐標平面上。設徑向位移為u，軸向位移為，軸向位移為w。對于圖。對于圖8-5所示情形，所示情形，借助平面問題的三角形單元，取位移模借助平面問題的三角形單元，取位移模式為式為？zrwzru654321（8-47）代入節(jié)點位移后，可解出代入節(jié)點位移后，可解出a1a6，再代入上式，得，再代入上式，得 （8-48）mmjjiimmjjiiwNwNwNwuNuNuNu其中，形函數其中，形函數 （8-49）),()(21mjizcrbaANiiii式中式中A

24、, ai, bi, ci，與平面問題三角形單元的對應公式（，與平面問題三角形單元的對應公式（2-15）、（）、（2-17）一致，區(qū)別僅僅是將那里的）一致，區(qū)別僅僅是將那里的x, y換成這里的換成這里的r, z。 式（式（8-48）也可寫為式（）也可寫為式（2-20）同樣的形式）同樣的形式emjieNNNNf（8-50）式中，式中， Ni= NiI(i, j, m)，其中，其中I為為2階單位矩陣。階單位矩陣。2、應變矩陣、應變矩陣 根據彈性力學理論，空間軸對稱問題的幾何方程為根據彈性力學理論，空間軸對稱問題的幾何方程為 rwzuzwrururzzr（8-51）與平面問題中與平面問題中只含有只含有

25、3個應變分量不同，這里個應變分量不同，這里含有含有4個應變分量個應變分量。將。將u, w的表達代入式（的表達代入式（8-51），得），得 emjieBBBB（8-52）式中式中 ),(00021mjibccfbABiiiiii（8-53）其中其中 ),(mjirzcbrafiiii（8-54）由式（由式（8-52）（）（8-54）可見，矩陣中含有變量）可見，矩陣中含有變量r, z，因此，因此它不是常數矩陣。即它不是常數矩陣。即軸對稱問題的三角形環(huán)形單元不是常軸對稱問題的三角形環(huán)形單元不是常應變單元應變單元。 3、應力矩陣、應力矩陣 根據彈性力學理論，空間軸對稱問題的應力根據彈性力學理論，空間軸

26、對稱問題的應力-應變關系為應變關系為 Drzzr（8-55）式中式中D是軸對稱問題的彈性矩陣是軸對稱問題的彈性矩陣121000111111)21)(1 ()1 (稱對ED（8-56）將式（將式（8-52）代入式（）代入式（8-55），得），得eeSBD（8-57）應力矩陣應力矩陣 S=DB顯然，除顯然，除 rz外，單元中其他應力分量不是常數。外，單元中其他應力分量不是常數。 4、單元剛度矩陣、單元剛度矩陣 軸對稱問題的單元剛度矩陣可由式（軸對稱問題的單元剛度矩陣可由式（8-27）計算）計算 VTVTdzrdrdBDBdVBDBk由于被積函數由于被積函數 與無關，故在三角形截面的環(huán)單元的積分可與

27、無關，故在三角形截面的環(huán)單元的積分可簡化為在三角形截面上的積分：簡化為在三角形截面上的積分： ATrdrdzBDBk2（8-58） 式（式（8-58）中，）中，B不是常數，而由式（不是常數，而由式（8-53）、（）、（8-54）確定。式（）確定。式（8-53）、（）、（8-54）中，）中，ai, bi, ci是（是（P32）（1）一般公式）一般公式（2）近似計算）近似計算可見，單元剛度矩陣計算比平面三角形單元麻煩。須對其進行數值可見，單元剛度矩陣計算比平面三角形單元麻煩。須對其進行數值計算或近似計算?，F在，討論面積分計算或近似計算?，F在，討論面積分A g(r, z)drdz的計算問題。的計算問

28、題。雖為常數，由式（雖為常數，由式（2-17）計算，但）計算，但 fi 是是r, z的函數。式（的函數。式（8-58）被積函數）被積函數BTDBr是是r, z的函數，暫簡寫為的函數，暫簡寫為g(r,z)。式。式（8-58）可寫為）可寫為圖圖8-6rzijm對于一個典型三角形截面對于一個典型三角形截面ijm（圖（圖8-6），過），過j點作垂直于點作垂直于r軸的直線，將軸的直線，將三角形三角形ijm，分成兩個三角形：，分成兩個三角形：A1，A2。于是，有。于是，有A2A1Adrdzzrgk),(212),(),(),(AAAdrdzzrgdrdzzrgdrdzzrgderzrzefrzrzdzzr

29、gdrdzzrgdr)()()()(2131),(),(（8-59） 完成上述積分可采用數值方法，有專完成上述積分可采用數值方法，有專門的二重數值積分程序可供引用。門的二重數值積分程序可供引用。 也可采用近似方法完成：也可采用近似方法完成：當單元較小時，常把各個單元中的當單元較小時，常把各個單元中的r, z近似看作常數，并且近似看作常數，并且分別等于各單元形心的坐標，即分別等于各單元形心的坐標，即)(31),(31mjimjizzzzzrrrrrijmA2A1rzdefZ1(r)Z2(r)Z3(r)則式（則式（8-54）成為常數：）成為常數： rzcbraffiiiii（8-60）這樣，就可把

30、各個單元近似地當做常應變單元，式（這樣，就可把各個單元近似地當做常應變單元，式（8-58）變成變成2BDBArkT（8-61）式中式中B是從式（是從式（8-52） （8-54）將）將B中的中的r, z用用r, z代替后得出的。代替后得出的。 若將單元剛度矩陣若將單元剛度矩陣k寫為子塊形式寫為子塊形式 mmmjmijmjjjiimijiikkkkkkkkkk其中，子矩陣可近似為其中，子矩陣可近似為 ArBDBksrrs2（8-62）寫成顯式寫成顯式srsrsrssrsrrrssrsrsrsrsrrsbbAcccbAfbcAbcAfbcAccAbffbAffbbAArk22121213)()()(2),(mjisr（8-63）式中式中A1, A2, A3 由式（由式（8-25）確定。）確定。 5、等價節(jié)點力、等價節(jié)點力 軸對稱問題的等價節(jié)點力可用類似平面問題的式（軸對稱問題的等價節(jié)點力可用類似平面問題的式（2-36）、（）、（2-37）寫出。對于作用于三角形環(huán)單元上的體積）寫出。對于作用于三角形環(huán)單元上的體積力、表面力的等效結點力為：力、表面力的等效結點力為：r