高考數(shù)學復習 第六章 數(shù)列 第四節(jié) 數(shù)列求和課件 文

1、第四節(jié)數(shù)列求和總綱目錄教材研讀1.求數(shù)列的前n項和的方法考點突破2.常見的裂項公式考點二裂項相消法求和考點二裂項相消法求和考點一錯位相減法求和考點三分組轉(zhuǎn)化法求和考點三分組轉(zhuǎn)化法求和1.求數(shù)列的前求數(shù)列的前n項和的方法項和的方法(1)公式法公式法(i)等差數(shù)列的前n項和公式Sn=na1+.(ii)等比數(shù)列的前n項和公式當q=1時,Sn=na1;1()2nn aa(1)2n nd教材研讀教材研讀當q1時,Sn=.(2)分組轉(zhuǎn)化法分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項轉(zhuǎn)化成幾項之和,使所求和轉(zhuǎn)化為幾個等差、等比數(shù)列之和,再求解.(3)裂項相消法裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差求和,正負相消剩下首尾若干項.(4

2、)倒序相加法倒序相加法把數(shù)列分別正著寫和倒著寫再相加,倒序相加法是對等差數(shù)列求和公式的推導過程的推廣.1(1)1naqq11naa qq(5)錯位相減法錯位相減法適用于一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘所得的數(shù)列的求和,錯位相減法是對等比數(shù)列求和公式的推導過程的推廣.(6)并項求和法并項求和法若一個數(shù)列的前n項和中,可兩兩合并求解,這種方法稱為并項求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項合并求解.例如,Sn=1002-992+982-972+22-12=(100+99)+(98+97)+(2+1)=5050.2.常見的裂項公式常見的裂項公式(1)=-;(2)=;(3)=-.1(1)

3、n n1n11n1(21)(21)nn12112121nn11nn1nn1.若數(shù)列an的通項公式為an=2n+2n-1,則它的前n項和Sn=()A.2n+n2-1B.2n+1+n2-1C.2n+1+n2-2D.2n+n2-2答案答案CSn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+(2n+2n-1)=(21+22+2n)+1+3+5+(2n-1)=+=2n+1-2+n2.故選C.2(1 2 )1 2n1(21)2nnC2.已知數(shù)列an的前n項和為Sn=1-5+9-13+17-21+(-1)n-1(4n-3),則S15+S22-S31的值是()A.13B.-76C.46D.76答案答案BS15=

4、1-5+9-13+(413-3)-(414-3)+(415-3)=7(-4)+57=29,BS22=1-5+9-13+(421-3)-(422-3)=11(-4)=-44,S31=1-5+9-13+(429-3)-(430-3)+(431-3)=15(-4)+121=61,S15+S22-S31=29-44-61=-76.故選B.3.數(shù)列的前n項之和為,則n=.1(1)n n991003.數(shù)列的前n項之和為,則n=.1(1)n n99100答案答案99解析解析由題意得+=-+-+-+-=1-=,令=,解得n=99.11 212 313 41(1)nn1112121313141n11n11n1n

5、n1nn99100994.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且an=n2n,則Sn=.(n-1)2n+1+2答案答案(n-1)2n+1+2解析解析an=n2n,Sn=121+222+323+n2n.2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1.-,得-Sn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-2-n2n+12(1 2 )1 2n=(1-n)2n+1-2.Sn=(n-1)2n+1+2.典例典例1(2015北京朝陽一模)設數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1=4,an+1=Sn,nN*.(1)寫出a2,a3,a4的值;(2)求數(shù)列an的通項公式;(3)已知等差數(shù)列bn中,有b2

6、=a2,b3=a3,求數(shù)列anbn的前n項和Tn.考點一錯位相減法求和考點一錯位相減法求和考點突破考點突破(2)當n2時,an=Sn-Sn-1=2n+1-2n=2n.又當n=1時,a1=S1=4.所以an=(3)設等差數(shù)列bn的公差為d,依題意,b2=a2=4,b3=a3=8,則由得b1=0,d=4,則bn=4(n-1).所以anbn=因為當n=1時,(n-1)2n+2=0,所以anbn=(n-1)2n+2(nN*).4,1,2 ,2.nnn114,28,bdbd20,1,(1)2,2.nnnn解析解析(1)因為a1=4,an+1=Sn,所以a2=S1=a1=4,a3=S2=a1+a2=4+4

7、=8,a4=S3=a1+a2+a3=4+4+8=16.所以Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+an-1bn-1+anbn=0+124+225+326+(n-2)2n+1+(n-1)2n+2,2Tn=0+125+226+327+(n-2)2n+2+(n-1)2n+3,-,得-Tn=24+25+26+27+2n+2-(n-1)2n+3=-(n-1)2n+3=-16-(n-2)2n+3.所以Tn=16+(n-2)2n+3.412 (1 2)1 2n方法技巧方法技巧(1)一般地,如果數(shù)列an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列,求數(shù)列anbn的前n項和時,可采用錯位相減法求和,一般是和式兩邊同乘等比數(shù)

8、列bn的公比,然后作差求解;(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式.1-1已知數(shù)列an是公差大于零的等差數(shù)列,數(shù)列bn為等比數(shù)列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1,a3+b3=13.(1)求數(shù)列an和bn的通項公式;(2)設cn=anbn,求數(shù)列cn的前n項和Tn.解析解析(1)設數(shù)列an的公差為d(d0),數(shù)列bn的公比為q,由已知得解得或d0,d=2,q=2,an=1+2(n-1)=2n-1,bn=22n-1=2n,即an=2n-1(nN*),bn=2n(nN*).(2)由(1)知cn=anbn=(2n-1)2n

9、,Tn=12+322+523+(2n-1)2n,2Tn=122+323+524+(2n-1)2n+1,22(1)1,12213,qddq10,4dq 2,2.dq-得Tn=-12-222-223-22n+(2n-1)2n+1=-2-23-24-2n+1+(2n-1)2n+1=-2-+(2n-1)2n+1=6+(2n-3)2n+1.312(1 2)1 2n考點二裂項相消法求和考點二裂項相消法求和典例典例2(2016北京東城二模)已知等差數(shù)列an滿足a3=7,a5+a7=26,其前n項和為Sn.(1)求an的通項公式及Sn;(2)令bn=(nN*),求數(shù)列bn的前8項和.1nSn解析解析(1)設等

10、差數(shù)列an的公差為d,由a5+a7=26,得a6=13,又a6-a3=3d=6,故d=2.所以an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1.所以Sn=n=n=n2+2n.(2)由bn=,得bn=-.設bn的前n項和為Tn,則T8=+=1-=.故數(shù)列bn的前8項和為.12naa3212n1nSn21nn1(1)n n1n11n112112311341189198989易錯警示易錯警示利用裂項相消法求和時,應注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項,也有可能前面剩兩項,后面也剩兩項.有些情況下,裂項時需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等.2-1(2018北京海淀高三期

11、中)已知等比數(shù)列an滿足a1a2a3=8,a5=16.(1)求an的通項公式及前n項和Sn;(2)設bn=log2an+1,求數(shù)列的前n項和Tn.11nnb b解析解析(1)設等比數(shù)列an的公比為q.因為a1a2a3=8,且a1a3=,所以=8,解得a2=2,又因為a5=a2q3=16,所以q3=8,解得q=2,所以a1=1.所以an=2n-1(nN+),所以Sn=2n-1.(2)因為an+1=2n,所以bn=log2an+1=n,所以=-.所以數(shù)列的前n項和Tn=+=1-=.22a32a1(1)1naqq1 21 2n11nnb b1(1)n n1n11n11nnb b1121123111n

12、n11n1nn典例典例3(2017北京西城一模)已知an是等比數(shù)列,a1=3,a4=24.數(shù)列bn滿足b1=1,b4=-8,且an+bn是等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an和bn的通項公式;(2)求數(shù)列bn的前n項和.考點三分組轉(zhuǎn)化法求和考點三分組轉(zhuǎn)化法求和解析解析(1)設等比數(shù)列an的公比為q.由題意得q3=8,解得q=2.所以an=a1qn-1=32n-1.設等差數(shù)列an+bn的公差為d.由題意得d=4.所以an+bn=(a1+b1)+(n-1)d=4n.從而bn=4n-32n-1(n=1,2,).(2)由(1)知bn=4n-32n-1.設bn的前n項和為Sn.41aa4411()()4 1aba

13、b1643則Sn=(4+42+4n)-(321-1+322-1+32n-1)=4(1+2+n)-3(20+21+2n-1)=2n(n+1)-3(1 2 )1 2n=2n2+2n+3-32n.所以,數(shù)列bn的前n項和為2n2+2n-32n+3.規(guī)律總結規(guī)律總結(1)若an=bncn,且bn,cn為等差或等比數(shù)列,可采用分組轉(zhuǎn)化法求an的前n項和.(2)對于通項公式為an=的數(shù)列,其中bn,cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組轉(zhuǎn)化法求和.(3)采用分組轉(zhuǎn)化法求和是將所求數(shù)列和分解轉(zhuǎn)化為若干個可求和的新數(shù)列的和或差,從而求得原數(shù)列的和,這就需要通過對數(shù)列通項結構特點進行分析研究,將數(shù)列的通項合理分解轉(zhuǎn)化.,nnb nc n為奇數(shù)為偶數(shù)3-1(2016北京海淀二模)已知等差數(shù)列an的通項公式為an=4n-2,各項都是正數(shù)的等比數(shù)列bn滿足b1=a1,b2+b3=a3+2.(1)求數(shù)