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文檔簡介
1、.吳贛昌編 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(理工類)三版課后習(xí)題解答習(xí)題131、袋中5個白球,3個黑球,一次任取兩個。(1)求取到的兩個求顏色不同的概率;(2)求取到的兩個求中有黑球的概率。解:略2、10把鑰匙有3把能打開門,今取兩把,求能打開門的概率。解:設(shè)A=“能打開”,則法一,取出的兩把鑰匙,可能只有一把能打開,可能兩把都能打開,則所以法二,=都打不開,即取得兩把鑰匙是從另7把中取得的,則,所以3、兩封信投入四個信筒,求(1)前兩個信筒沒有信的概率,(2)第一個信筒內(nèi)只有一封信的概率。解:(兩封信投入四個信筒的總的方法,重復(fù)排列)(1)設(shè)A=“前兩個信筒沒有信”,即兩封信在余下的兩個信筒中重復(fù)排列,;
2、(2)設(shè)B=“第一個信筒內(nèi)只有一封信”,則應(yīng)從兩封信中選一封放在第一個信筒中,再把余下的一封信放入余下的三個信筒中的任一個,帶入公式既得兩個概率。4、一副撲克牌52張,不放回抽樣,每次取一張,連續(xù)抽4張,求花色各異的概率.解:略5、袋中有紅、黃、黑色求各一個,有放回取3次,求下列事件的概率。A=“三次都是紅球”;B=“三次未抽到黑球”,C=“顏色全不相同”,“顏色不全相同”解:略6、從等個數(shù)字中,任意選出不同的三個數(shù)字,試求下列事件的概率:三個數(shù)字中不含0和5,三個數(shù)字中不含0或5,三個數(shù)字中含0但不含5. 解 . ,或 , .7、從一副52張的撲克牌中任取3張,不重復(fù),計算取出的3張牌中至少
3、有2張花色相同的概率。解:略8、10個人中有一對夫婦,他們隨意坐在一張圓桌周圍,求該對夫婦正好坐在一起的概率。解:設(shè)“該對夫婦恰坐在一起”,則法一:個人在個座位上隨意坐,則;將兩個人綁在一起共種,有個位置可坐,其余八個人在個位置上隨意坐,共有;法二:設(shè)夫婦中一人已經(jīng)坐好,則余下的個人在個位置隨意坐共!,而夫婦中的另一人只有兩種坐法,余下的個人隨意坐,有!種,所以9、在1500個產(chǎn)品中有400個次品,1100個正品,任取200個。(1)求恰有90個次品的概率;(2)求至少有2個次品的概率。解:略10、從5雙不同的鞋子中任取4只,求這四只鞋子中至少有兩只配對的概率。解:設(shè)A=“四只鞋子中至少有兩只
4、配對”,則其對立事件為=“四只中無配對的”法一:從10只中取1只,將與其配對的另一只排除在外,再從余下的8只中取1只,依次類推,則法二:先從5雙中抽取四雙,再從每一雙中取一只,則法三:至少有一雙配對等價于“有一雙配對”=C和四只都配對”=D,有一雙配對,先從5雙中取1雙,再從余下的8只中任取兩只,但這種取法中有可能出現(xiàn)成對的情況,應(yīng)減去,成對的種類有,所以;有兩雙配對,從5雙中取兩雙即可,所以11、把52張牌發(fā)給四人,求指定的某人沒有得到黑桃A或黑桃K的概率。解:設(shè)C=“指定的某人沒有得到黑桃A或黑桃K”,則其對立事件為=“指定的某人得到黑桃A和黑桃K”12、50只鉚釘隨機裝入10個部件上,其
5、中3個鉚釘強度太弱。每個部件裝有3個鉚釘。如果3只強度太弱的鉚釘都裝入同一個部件,則這個部件的強度太弱,求發(fā)生一個部件強度太弱的概率。解:法一:用古典概率作:把隨機試驗E看作是用三個釘一組,三個釘一組去鉚完10個部件(在三個釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10組釘鉚完10個部件要分先后次序)對E:鉚法有種,每種裝法等可能對A:三個次釘必須鉚在一個部件上。這種鉚法有×10種法二:用古典概率作把試驗E看作是在50個釘中任選30個釘排成一列,順次釘下去,直到把部件鉚完。(鉚釘要計先后次序)對E:鉚法有種,每種鉚法等可能對A:三支次釘必須鉚在“1,2,3”位置上或“4,5,6”位置上,或“28,2
6、9,30”位置上。這種鉚法有種法三:3個強度太弱的鉚釘有可能裝入10個部件中的任何一個,不妨設(shè)=“第I 個部件的強度太弱”=“3個強度太弱的鉚釘裝入第i個部件”所以A=“發(fā)生一個部件強度太弱”,則,且兩兩互斥,所以13、某復(fù)試考試,有3張考簽,3個考生應(yīng)試,一個人抽一張立即放回,再由另一個抽,如此3人各抽一次,求抽簽結(jié)束后,至少一張沒抽到的概率。解:提示:重復(fù)排列,利用對立事件的概率求解,設(shè)A=“至少有一只沒有被抽到”,則其對立事件為=“三張都被抽到”。所以14、從1-9的9個數(shù)中有放回地取3次,每次取一個,求取出的3個數(shù)之積能被10整除的概率。解:取出的3個數(shù)中應(yīng)有偶數(shù),且必須有5,才能保證
7、三數(shù)之積能被10整除。.設(shè)A=“取出的3個數(shù)中有偶數(shù)”,B=“取出的3個數(shù)中有5”,所求概率為15、提示 如右圖所示(1)帶點的四個區(qū)域的面積所占的比例(2)6個黑框和4個帶點區(qū)域的面積和所占的比例習(xí)題1-41、一批產(chǎn)品100件,有80件正品,20件次品,其中甲廠生產(chǎn)的為60件,有50件正品;余下的40見均由乙廠生產(chǎn);現(xiàn)從該批產(chǎn)品中任取一件,記A=“正品”,B=“甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品”,求:解:,2假設(shè)一批產(chǎn)品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,從中任取一件,發(fā)現(xiàn)它不是三等品,求它是一等品的概率. 解 設(shè)任取一件是等品 ,所求概率為 ,因為 所以 故 .*2、10件產(chǎn)品中有4件是次品,從中任
8、取兩件,已知有1件是次品,求另一件也是次品的概率。(9題與之類似)解:已知兩件中有一件是次品等價于“兩件中至少有一件是次品”=A;B=“另一件也是次品”等價于“兩件都是次品”所以所求條件概率為:另解: 設(shè)所取兩件中有一件是不合格品 所取兩件中恰有件不合格 則 ,所求概率為 .3、。解:由由乘法公式,得由加法公式,得4,求56、甲、乙兩人參加乒乓球比賽,甲先發(fā)球,甲發(fā)球成功后,乙回球失誤的概率為0.3;若乙回球成功,甲回球失誤的概率為0.4;若甲回球成功,乙再次回球失誤的概率為0.5,計算這幾個回合中乙輸一分的概率。解:本次比賽共進行兩個回合,甲發(fā)一次球,回一次球,而乙回球兩次。乙輸分的可能情況
9、有:甲發(fā)球成功,乙回球失誤;或甲發(fā)球成功,乙第一次回球成功,甲第一次回球成功,而乙第二次回球失誤。所以設(shè)A=“甲回球失誤”B=“第i次乙回球失誤”,由題意,已知下列概率,則p乙輸一分=7、用3個機床加工同一種零件,由各機床加工的概率分別為0.5,0.3,0.2,各機床加工的零件為合格品的概率分別是0.94、0.9、0.95,求全部產(chǎn)品中的合格率。解:略8、一個盒子中裝有15個乒乓球【原題為12個球】,其中9個新球,在第一次比賽時任意抽取3只,比賽后仍放回原盒中;在第二次比賽時同樣地任取3只球,求第二次取出的3個球均為新球的概率。 解 設(shè)第二次取出的均為新球, 第一次取出的3個球恰有個新球由全概
10、公式 9、某倉庫有同樣規(guī)格的產(chǎn)品六箱,其中三箱由甲廠生產(chǎn),二箱為乙廠生產(chǎn),另一箱由甲廠生產(chǎn),他們的次品率分別為1/10,1/15,1/20,從中任取一件,求取得的是正品的概率。解:10、某人忘記電話號碼的最后一個數(shù)字,因而他隨意撥號,求(1)他撥號不超過3次而接通所需電話的概率;(2)若已知最后一個是數(shù)字是奇數(shù),則他撥號不超過3次而接通所需電話的概率。解:設(shè)“第i次撥號接通”,A=“他撥號不超過3次而接通所需電話的概率”則(三者之間兩兩互斥,之間不獨立,利用有限可加性和乘法公式即得?;?“三次都沒有撥通”,則 利用乘法公式即得。11、駕駛員甲、乙找到目標(biāo)的概率分別為0.9、0.8,投彈員丙、丁
11、在找到目標(biāo)的條件下投中的概率分別為0.7、0.6,現(xiàn)在要配備兩組人員,問甲,乙和丙、丁如何配合才能使完成使命有較大的概率(只要有一架命中目標(biāo)即可)?求此概率。12、甲、乙兩個盒子各裝10只螺釘,每個盒子的螺釘中各有一只是次品,現(xiàn)從甲盒中任取二只螺釘放入乙盒,再從乙盒中取出兩只,問從乙盒中取出的恰好有一只正品的概率。習(xí)題151、2、3、4、5、制造一種零件可采用兩種工藝,第一種工藝有三種工序,每道工序的廢品率分別為0.1、0.2、0.3;第二種工藝有二種工序,每道工序的廢品率都是0.3。如果采用第一種工藝,在合格零件中,一級品率為0.9;而用第二種工藝,在合格零件中,一級品率為0.8.問哪一種工
12、藝得到的一級品的概率更大?解:設(shè)A=“第一種工藝得到合格品”,“第一種工藝的第i道工序得到合格品”, B=“第一種工藝得到合格品”,“第一種工藝的第i道工序得到合格品” , 在每中工藝中,哪一道工序生產(chǎn)出合格品是相互獨立的,所以,則由題意所以而在采用第一種工藝時,在合格零件中,一級品率為0.9,所以得到的一級品率為而用第二種工藝,在合格零件中,一級品率為0.8,所以第一種大。6、三人獨立地破譯一個密碼,他們能譯出的概率分別是,求他們將此密碼譯出的概率. 解1 設(shè)將密碼譯出,第個人譯出 則 . 解2 事件如上所設(shè),則7、8、一獵人射擊野兔,第一槍距離野兔200米,如果未擊中,他追至離野兔150米
13、射擊第2次,如果仍未擊中,他追至100米處再射擊第三次,此時擊中的概率為0.5,假設(shè)獵人的命中率與他離野兔的距離平方成反比,求他擊中野兔的概率。解:設(shè)第i次擊中野兔,B“擊中野兔”則由題意,所以而,所以9、排球競賽規(guī)定:發(fā)球方贏球時得分,輸球時對方得到發(fā)球權(quán)。甲乙兩隊進行比賽。根據(jù)以往的戰(zhàn)例,已知甲隊發(fā)球時,甲隊贏球和輸球的概率分別為0.4和0.6;當(dāng)乙隊發(fā)球時,甲隊贏球和輸球的概率都為0.5。無論哪個隊先發(fā)球,比賽進行到任一隊得分時為止,求甲隊先發(fā)球時各隊得分的概率。解:分析,只要有一隊得分比賽就結(jié)束。設(shè)A=“甲隊發(fā)球甲隊得分”,B=“甲隊發(fā)球乙隊得分”。=“甲隊第i次發(fā)球甲隊贏球”, =“
14、甲隊第i次發(fā)球乙隊贏球”,=“乙隊第i次發(fā)球甲隊贏球”, =“乙隊第i次發(fā)球乙隊贏球”則由題意得:甲先發(fā)球時,可能第一次就贏球得一分,結(jié)束;可能甲第一次輸球,乙得發(fā)球權(quán),發(fā)球后乙輸球,甲得發(fā)球權(quán),發(fā)球后甲贏球得一分,結(jié)束;依次類推,得所以同理,即B與A是對立事件所以(或利用P()的求法也能得到)。10、(設(shè)有4個獨立工作的元件1,2,3,4。它們的可靠性分別為P1,P2,P3,P4,將它們按圖(1)的方式聯(lián)接,求系統(tǒng)的可靠性。記Ai表示第i個元件正常工作,i=1,2,3,4,2413A表示系統(tǒng)正常。 A=A1A2A3+ A1A4兩種情況不互斥 P (A)= P (A1A2A3)+P (A1A4
15、)P (A1A2A3 A4) (加法公式)= P (A1) P (A2)P (A3)+ P (A1) P (A4)P (A1) P (A2)P (A3)P (A4)= P1P2P3+ P1P4P1P2P3P4(A1, A2, A3, A4獨立)11、證明若三事件相互獨立,則及都與獨立。 證 即與獨立. 即 與相互獨立.12、13、14、15、有一大批產(chǎn)品,其驗收方案如下,先做第一次檢驗:從中任取10件,經(jīng)驗收無次品接受這批產(chǎn)品,次品數(shù)大于2拒收;否則作第二次檢驗,其做法是從中再任取5件,僅當(dāng)5件中無次品時接受這批產(chǎn)品,若產(chǎn)品的次品率為10%,求(1)這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率(2)需作
16、第二次檢驗的概率(3)這批產(chǎn)品按第2次檢驗的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率(4)這批產(chǎn)品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率(5)這批產(chǎn)品被接受的概率解:X表示10件中次品的個數(shù),Y表示5件中次品的個數(shù), 由于產(chǎn)品總數(shù)很大,故XB(10,0.1),YB(5,0.1)(近似服從)(1)P X=0=0.9100.349(2)P X2=P X=2+ P X=1=(3)P Y=0=0.9 50.590(4)P 0<X2,Y=0(0<X2與 Y=2獨立) = P 0<X2P Y=0 =0.581×0.5900.343(5)P X=0+ P 0<X2,Y=0 0.349+0
17、.343=0.692總習(xí)題一5、設(shè)是三個事件,且,求至少有一個發(fā)生的概率。 解 因為 ,所以,于是 6、已知都滿足證明:,而7、 某書店一天中售出數(shù)學(xué)書50本,外語書50本,理化書50本。設(shè)每位顧客每類書至多夠買一本。其中,只購數(shù)學(xué)書的占顧客總數(shù)的20%,只購?fù)庹Z書的占25%,只購理化書占15%,三類書全購的占10%,求(1) 總共有多少顧客購書?(2)只購數(shù)學(xué)和外語書的人數(shù)占顧客總?cè)藬?shù)的比例。解:設(shè)A=“顧客購買數(shù)學(xué)書”,B=“顧客購買外語書”,C=“顧客購買理化書”,則由題意知,還需要求出只購買其中兩類書的顧客,設(shè),則由所有購書的顧客共購買了150書知:,所以有0.2+0.25+0.15+
18、0.1+x+y+z=1 (1)另外,設(shè)購買書的總?cè)藬?shù)為w,則賣出的50本數(shù)學(xué)書應(yīng)該是總?cè)藬?shù)乘以只購數(shù)學(xué)、購數(shù)學(xué)和外語、購數(shù)學(xué)和理化及三種書都購所占比例之和,即 (2)同理可得: (3) (4)聯(lián)立四個方程成方程組,解得w=100,x=0.05,y=0.15,z=0.1,所以(1)共有100名顧客購書,(2)只購數(shù)學(xué)和外語的占5%9、某賓館一樓有3部電梯,現(xiàn)有5人要乘坐,求每部電梯至少有一人的概率。解:設(shè)A=“每部電梯至少有一人”,其對立事件為=“有電梯中沒有人”等價于至少有一部電梯中無人,設(shè)=“第I部電梯中無人”,則,所以, 有題意可知,所以或:14、隨機地向半圓(為正常數(shù))內(nèi)擲一點,點落在園
19、內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,求原點與該點的連線與軸的夾角小于的概率. 解:半圓域如圖0yxyxax 設(shè)原點與該點連線與軸夾角小于 由幾何概率的定義 18、假設(shè)有兩箱同種零件:第一箱內(nèi)裝50件,其中10件一等品;第二箱內(nèi)裝30件其中18件一等品,現(xiàn)從兩箱中隨意挑出一箱,然后從該箱中先后隨機取出兩個零件(取出的零件均不放回),試求:(1)先取出的零件是一等品的概率;(2)在先取的零件是一等品的條件下,第二次取出的零件仍然是一等的概率. 解 設(shè)第次取出的零件是一等品,. 取到第箱,.則 (1). (2) . 23、某人有兩盒火柴,吸煙時從任一盒中取一根火柴,經(jīng)過若干時間后,發(fā)現(xiàn)一盒火柴已用完
20、。如果最初每盒中各有n根火柴,求這時另一盒中還有r 根火柴的概率。解:設(shè)有甲、乙兩盒火柴,每次從甲還是從乙中取火柴的概率都是0.5.而用完的哪盒火柴可能是甲盒也可能是乙盒。該人總共取火柴的次數(shù)為2n-r+1 ,在最后一次即第2n-r+1次取的過程中發(fā)現(xiàn)火柴沒有了,因此實際上取火柴的次數(shù)為2n-r 次,在這2n-r 次取火柴的過程中,有n次從其中的一個盒子里取得,另外的n-r次從另外一個盒子里取得,從哪一個盒子里取的概率都為0.5,因此這是一個貝努利概型:每次試驗只有兩個結(jié)果:要么從甲盒取、要么從乙盒取,共進行了2n-r次試驗,并且是獨立的,要求的是:在2n-r 次試驗中恰好從其中一個盒子里取到
21、n只火柴的概率。所以 另解:設(shè)發(fā)現(xiàn)一盒已經(jīng)用完另一盒還有根。 發(fā)現(xiàn)甲盒已經(jīng)用完乙盒還有根。則 發(fā)生甲盒拿了次,乙盒拿了次,共進行了次試驗,而且前次試驗,甲發(fā)生次,第次試驗甲發(fā)生。故 從而 .24、甲乙丙3人同向一飛機射擊,設(shè)擊中飛機的概率分別為0.4、0.5、0.7。如果只有一人擊中飛機,則飛機被擊落的概率為0.2,如果有兩人擊中飛機,則飛機被擊落的概率為0.6,如果有三人擊中飛機,則飛機一定被擊落。求飛機被擊落的概率。解:設(shè)A“甲擊中飛機”,B“乙擊中飛機”,C“丙擊中飛機”; “有i人擊中飛機”(i0,1,2,3);D“飛機被擊中”則由已知,由于A、B、C相互獨立,所以而,所以所以題型2
22、利用古典概型、幾何概型與加法公式計算概率解題思路 (1)如果基本事件是等可能事件,則利用古典概率公式求解,在計算樣本點的數(shù)量是,必須在同一確定的樣本空間中考慮。(2) 屬于“至少存在一個”的命題,用對立事件求解(3) 如果樣本空間是一個區(qū)域,且具有等可能性,則由幾何概率計算公式求解。(4) 如果一個復(fù)雜的事件能分解成若干個簡單事件(兩兩互斥)的并,則由有限可加性求解。例9 n個人各帶一件禮品參加聚會,先把所有禮品編號,然后每人各抽一個號碼,按號碼領(lǐng)取禮品,求(1) 所有的人都得到別人的禮品的概率(2) 恰有r個人取回自己的禮品的概率。解:(1)設(shè)=“第i人得到自己的禮品”,A=“所有的人都得到
23、別人的禮品”等價于“每個人都沒有得到自己的禮品”,則其對立事件為=“至少有一人得到自己的禮品”,所以,第i個人得到自己禮品的概率為 (i=1,2n)第i人和第j人都得到自己禮品的概率為第i,j,k三人都得到自己禮品的概率為N個都得到自己的禮品的概率為而,所以當(dāng)n充分大時,所以(2)B=“恰有r個人取回自己的禮品”,說明n個人中只有這r個人取得自己的禮品,其他人不用考慮 。而這r 個人是任意地從n 個人中選取,所以有,而這r 個取得的禮品是從n件禮品中隨意選取,共有,所以題型3 利用條件概率、乘法公式及事件的獨立性計算概率解題思路 例7 某商場各柜臺受到消費者投訴的事件數(shù)為0、1、2三種情形,其
24、概率分別為0.6、0.3、0.1.有關(guān)部門每月抽查商場的兩個柜臺,規(guī)定:如果兩個柜臺受到的投訴之和超過1次,則給商場通報批評;若一年中有三個月受到通報批評則該商場受掛牌處分一年,求該商場受處分的概率。分析:首先應(yīng)該求出一月內(nèi)兩柜臺受投訴的次數(shù)超過1次的概率,再求一年內(nèi)受通報批評次數(shù)大于等于3次的概率。解:設(shè)A=“商場一月內(nèi)受到通報批評”,=“第一柜臺一月內(nèi)受到投訴i次”(i=1,2,3)=“第二柜臺一月內(nèi)受到投訴i次”(i=1,2,3),則由題意得,受到通報批評的情況有一下幾種:第一柜臺0投訴第二柜臺2次投訴或第一柜臺2次投訴第二柜臺0投訴或者第一柜臺至少一次投訴第二柜臺至少一次投訴,即(兩兩
25、互斥,之間獨立)所以 =0.28設(shè)X表示商場一年12個月內(nèi)受到通報批評的次數(shù),則這是一個貝努利概型,n=12,p=0.28,“受掛牌處分”等價于“”所以題型4 利用全概率公式何貝葉斯公式求解例5 一條自動生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n件產(chǎn)品不出故障的概率為,(n=0,1,2,)。假設(shè)產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為。如果各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立。(1) 計算生產(chǎn)線在兩次故障間共生產(chǎn)k(k=0,1,2,)件優(yōu)質(zhì)品的概率;(2) 如已知在某兩次故障之間該生產(chǎn)線生產(chǎn)了k件優(yōu)質(zhì)品,求它共生產(chǎn)m件產(chǎn)品的概率。解:設(shè)=“生產(chǎn)線在兩次故障間共生產(chǎn)k(k=0,1,2,)件優(yōu)質(zhì)品”,=“兩次故障之間共生產(chǎn)n(n=0,1,2,)件產(chǎn)品”,
26、由題意(1)由于生產(chǎn)線在兩次故障間共生產(chǎn)k(k=0,1,2,)件優(yōu)質(zhì)品是在兩次故障之間共生產(chǎn)n件產(chǎn)品(即在一條自動生產(chǎn)線連續(xù)生產(chǎn)n件產(chǎn)品不出故障)的前提下,所以,在兩次故障之間連續(xù)生產(chǎn)的n件產(chǎn)品中,恰有k件優(yōu)質(zhì)品的概率表示為,又相互獨立,所以這是一個伯努利概型,當(dāng)時,當(dāng)時,而構(gòu)成一個完備事件組所以所以(2)當(dāng)時,當(dāng)時總復(fù)習(xí)題一15、(課本分房子問題與之類似)把個不同的球隨機地放入個盒子中,求下列事件的概率:(1)某指定的個盒子中各有一個球;(2)任意個盒子中各有一個球;(3)指定的某個盒子中恰有個球.分析:這是古典概率的一個典型問題,許多古典概率的計算問題都可歸結(jié)為這一類型.每個球都有種放法,
27、個球共有種不同的放法.“某指定的個盒子中各有一個球”相當(dāng)于個球在個盒子中的全排列;與(1)相比,(2)相當(dāng)于先在個盒子中選個盒子,再放球;(3)相當(dāng)于先從個球中取個放入某指定的盒中,再把剩下的個球放入個盒中.解:樣本空間中所含的樣本點數(shù)為.(1)該事件所含的樣本點數(shù)是,故:;(2)在個盒子中選個盒子有種選法,故所求事件的概率為:;(3)從個球中取個有種選法,剩下的個球中的每一個球都有種放法,故所求事件的概率為:.18、10本書任意擺在書架上,其中有3卷一套的和4卷一套的,求下列事件的概率(1)A:3卷一套的放在一起;(2)B:4卷一套的放在一起;(3)C:兩套各自放在一起;(4)D:兩套中至少
28、有一套放在一起;(5)兩套各自放在一起,并且各自按順序排好解(1)3卷一套的擺放種數(shù)為3!,再將這一套與其它7本書在8個位置上全排列有8!所以;(2)(3)(將兩套和其余的3本在5個位置上全排列;(4);(5)兩套各按次序排放在一起,各有2種排法(正序或反序),這兩套和其余3本在5個位置全排列,共有5!,所以19、盒中有50個電阻、20個電感、30個電容,從中任取30個元件,求所取的元件中至少有一個電阻同時至少有一個電感的概率。解:設(shè)A=“取得30個中至少有一個電阻”,B=“取得30個中至少有一個電感”,則=“取得30個中沒有電阻” =“取得30個中沒有電感”,=“取得30個中沒有電感也沒有電
29、阻”=“30個全是電容”,所以20、甲乙兩人先后從52張牌中各取13張,求甲或乙拿到四張A的概率(1)甲抽后不放回,乙再抽;(2)甲抽后放回,乙再抽解:設(shè)A=“甲抽到4張A”,B=“乙抽到4張A”(1)因為甲抽到4張A后,乙不可能抽到A,隨意A與B互斥,所求概率為(B是在甲抽完13張后乙再?。?)22、提示,設(shè)=“第i天下雨”,則所求概率為(1);(2);(3);(4);(5) 23、任取兩個真分?jǐn)?shù),求它們的乘積不大于1/4的概率。解:如圖 陰影部分的面積為或18、某人下午5:00下班。他所積累的資料表明B1B2B3B4B5到家時間5;35-5:395;40-5:445;45-5:495:5
30、0-5:545;54以后乘地鐵到家0.10.250.450.150.05乘汽車到家0.30.350.20.20.05某日他拋一枚硬幣決定是乘地鐵還是乘汽車回家,結(jié)果他在5:47到家,求他是乘地鐵到家的概率。(該題可問他乘什么交通工具回家的可能性大?)解:本題是求已知他在5:45-5:49之間到家,求乘地鐵的概率。設(shè)A=“乘地鐵回家”,=“乘汽車回家”,則由“他拋一枚硬幣決定是乘地鐵還是乘汽車回家”知,設(shè)B3=“他在5:47到家”等價于“他在5:45-5:49之間到家”;所以所求概率為而,所以又所以=0.69220、玻璃杯成箱出售,每箱20只,假設(shè)各箱含0,1,2只殘次品的概率分別為0.8,0.
31、1,0.1,一顧客欲購一箱玻璃杯,售貨員隨意取一箱,顧客開箱隨意地察看四只,若無殘次品,則買下該箱,否則退回。試求: (1)顧客買下該箱的概率; (2)在顧客買下的一箱中,確無殘次品的概率. 解 設(shè)顧客買下該箱, 箱中恰有件殘次品, (1) ; (2)22、原題,運輸貨物的損壞情況解:物品損壞的情況共有三種,所以有,所以而,則可得P(B),利用條件概率公式則可求所求三個概率。9、某單位招工需經(jīng)過4項考核,設(shè)能通過一、二、三、四項考核的概率分別為0.6、0.8、0.91、0.95,各項考核相互獨立,只要有一項考核不通過則被淘汰。求(1)這項招工的淘汰率;(2)通過一、三項被淘汰的概率(3)考核按
32、順序進行,一旦某項考核不合格就淘汰,求淘汰率。解:設(shè)“第i項考核通過”,則(1)(2)B“通過一、三項被淘汰”意味著“在四項考核中,一三通過二未過四過或一三過二過四未過或一三過二四都未過”所以,所以 0.131(3)0.58510、11、設(shè),證明、互不相容與、相互獨立不能同時成立. 證 若、互不相容,則,于是所以、不相互獨立. 若、相互獨立,則,于是,即、不是互不相容的. 注:從上面的證明可得到如下結(jié)論: 1)若、互不相容,則、又是相互獨立的或. 2)因,所以 如果 ,則,從而可見概率是1的事件與任意事件獨立,自然,必然事件與任意事件獨立. 如果,則,即概率是零的事件與任意事件獨立,自然,不可能事件與任何事件獨立。 12、14、A、B、C三人在同一辦公室,共三部電話。據(jù)統(tǒng)計,打給A、B、C三人電話的概率分別為2/5,2/5,1/5.三人因公外出的
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