(4-6)部分習(xí)習(xí)題及其解答

1、本教材習(xí)題和參考答案及部分習(xí)題解答第四章已知物體內(nèi)一點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)力分量為： ， 試求法線方向余弦為，的微分面上的總應(yīng)力、正應(yīng)力和剪應(yīng)力。 解：應(yīng)力矢量的三個(gè)分量為 ， 總應(yīng)力。 正應(yīng)力。 剪應(yīng)力。過某點(diǎn)有兩個(gè)面，它們的法向單位矢量分別為和，在這兩個(gè)面上的應(yīng)力矢量分別為和，試證。 證：利用應(yīng)力張量的對稱性，可得。證畢。某點(diǎn)的應(yīng)力張量為 且已知經(jīng)過該點(diǎn)的某一平面上的應(yīng)力矢量為零，求及該平面的單位法向矢量。 解：設(shè)要求的單位法向矢量為，則按題意有 即 ， (a) 上面第二式的兩倍減去第一式和第三式，得 上式有兩個(gè)解：或。若，則代入式(a)中的三個(gè)式子，可得，這是不可能的。所以必有。將代入式(a)，利用

2、，可求得 ?；A(chǔ)的懸臂伸出部分具有三角柱體形狀，見圖，下部受均勻壓力作用，斜面自由，試驗(yàn)證應(yīng)力分量 ， 滿足平衡方程，并根據(jù)面力邊界條件確定常數(shù)、和。 解：將題中的應(yīng)力分量代入平衡方程，可知它們滿足平衡方程。 在的邊界上，有邊界條件 ， 所給的應(yīng)力分量自動(dòng)滿足上面的第二個(gè)條件。將的表達(dá)式代入上面的第一個(gè)條件，得 (1) 在上斜面上，有，所以斜面上的應(yīng)力分量可以簡化成 ， (2)斜面上的外法向方向余弦為 ， (3) 將式(2)和(3)代入邊界條件，得 (4) 聯(lián)立求解(1)和(4)，得 ，圖表示一三角形水壩，已求得應(yīng)力分量為 ， ， 和分別是壩身和水的比重。求常數(shù)、，使上述應(yīng)力分量滿足邊界條件。

3、 解：在的邊界上，有邊界條件 ， 將題中的應(yīng)力分量代入上面兩式，可解得：，。 在左側(cè)的斜面上，外法向方向余弦為 ， 把應(yīng)力分量和上面得到的有關(guān)結(jié)果代入邊界條件，可解得：，。物體的表面由確定，沿物體表面作用著與其外法向一致的分布載荷，試寫出其邊界條件。 解：物體表面上任意一點(diǎn)的外法向單位矢量為 或 按題意，邊界條件為 因此 即 上式的指標(biāo)形式為 。如圖所示，半徑為的球體，一半沉浸在密度為的液體內(nèi)，試寫出該球的全部邊界條件。 解：球面的外法向單位矢量為 或 當(dāng)時(shí)，有邊界條件 即 或 。 當(dāng)時(shí)，球面上的壓力為，其中為重力加速度，邊界條件為 即 或 。物體的應(yīng)力狀態(tài)為，其中為矢徑的函數(shù)。(1)證明物體

4、所受的體積力是有勢力，即存在一個(gè)函數(shù)，使；(2)寫出物體表面上的面力表達(dá)式。 解：(1)應(yīng)力場必須滿足平衡方程，所以 所以，只要令，就有。 (2)表面上的面力為 或 。已知六個(gè)應(yīng)力分量中的，求應(yīng)力張量的不變量并導(dǎo)出主應(yīng)力公式。 解：應(yīng)力張量的三個(gè)不變量為：，。 特征方程是 上式的三個(gè)根即三個(gè)主應(yīng)力為和 已知三個(gè)主應(yīng)力為、和，在主坐標(biāo)系中取正八面體，它的每個(gè)面都為正三角形，其法向單位矢量為 ， 求八面體各個(gè)面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。 解：， ， 。某點(diǎn)的應(yīng)力分量為，求： (1)過此點(diǎn)法向?yàn)榈拿嫔系恼龖?yīng)力和剪應(yīng)力； (2)主方向、主應(yīng)力、最大剪應(yīng)力及其方向。 解：(1)， 。 正應(yīng)力為。 剪應(yīng)力為。

5、由此可知，是主應(yīng)力，是和其對應(yīng)的主方向。 (2)用表示主應(yīng)力，則 所以，三個(gè)主應(yīng)力是，。由上面的結(jié)論可知，和對應(yīng)的主方向是，又因?yàn)槭侵馗?，所以和垂直的任何方向都是主方向。第五章把線性各向同性彈性體的應(yīng)變用應(yīng)力表示為，試寫出柔度系數(shù)張量的具體表達(dá)式。 解： 橡皮立方塊放在同樣大小的鐵盒內(nèi)，在上面用鐵蓋封閉，鐵蓋上受均布壓力作用，如圖所示。設(shè)鐵盒和鐵蓋可以作為剛體看待，而且橡皮與鐵盒之間無摩擦力。試求鐵盒內(nèi)側(cè)面所受的壓力、橡皮塊的體積應(yīng)變和橡皮中的最大剪應(yīng)力。 解：取壓力的方向?yàn)榈姆较颍推浯怪钡膬蓚€(gè)相互垂直的方向?yàn)?、的方向。按題意有 證明：對線性各向同性的彈性體來說，應(yīng)力主方向與應(yīng)變主方向是一致

6、的。非各向同性體是否具有這樣的性質(zhì)試舉例說明。 解：對各向同性材料，設(shè)是應(yīng)力的主方向，是相應(yīng)的主應(yīng)力，則 (1) 各向同性的胡克定律是 將上式代入式(1)，得，即 由此可知，也是應(yīng)變的主方向。類似地可證，應(yīng)變主方向也是應(yīng)力主方向。因此，應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向一致。 下面假定材料性質(zhì)具有一個(gè)對稱面。設(shè)所取的坐標(biāo)系是應(yīng)變主坐標(biāo)系，且材料性質(zhì)關(guān)于平面對稱。因?yàn)?，所以從式?若應(yīng)變主坐標(biāo)系也是應(yīng)力主坐標(biāo)系，則，即 上式只能在特殊的應(yīng)變狀態(tài)下才能成立。總之，對各向異性材料，應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向不一定相同。對各向同性材料，試寫出應(yīng)力不變量和應(yīng)變不變量之間的關(guān)系。 解：由式可得主應(yīng)力和主應(yīng)變之間的關(guān)系 (

7、1) 第六章為什么同時(shí)以應(yīng)力、應(yīng)變和位移15個(gè)量作未知函數(shù)求解時(shí)，應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是自動(dòng)滿足的 解：因?yàn)閼?yīng)變和位移滿足幾何方程，所以應(yīng)變協(xié)調(diào)方程自動(dòng)滿足。設(shè) 其中、為調(diào)和函數(shù)，問常數(shù)為何值時(shí)，上述的為無體力彈性力學(xué)的位移場。 解： 同理。 由上面兩式及和是調(diào)和函數(shù)可得 (1) 因、為調(diào)和函數(shù)，所以 (2) 將式(1)、(2)代入無體力的Lamé-Navier方程，得 上式成立的條件是 即 。已知彈性體的應(yīng)力場為 ，。(1) 求此彈性力學(xué)問題的體力場；(2) 本題所給應(yīng)力分量是否為彈性力學(xué)問題的應(yīng)力場。解：證明下述Betti互易公式，其中、和、分別為同一彈性體上的兩組面力、體力和位移。證：

8、如果體積力為零，試驗(yàn)證下述(Papkovich-Neuber)位移滿足平衡方程其中，。證：無體力的Lamé-Navier方程為又，所以Lamé-Navier方程可以寫成設(shè)有受純彎的等截面直桿，取桿的形心軸為軸，彎矩所在的主平面為平面。試證下述位移分量是該問題的解 。 提示：在桿的端面上，按圣維南原理，已知面力的邊界條件可以放松為 ， 其中是桿的橫截面。 證：容易驗(yàn)證所給的位移分量滿足無體力時(shí)的Lamé-Navier方程。用所給的位移可以求出應(yīng)變，然后用胡克定律可以求出應(yīng)力： ，其它應(yīng)力分量為零。 (a) 上述應(yīng)力分量滿足桿側(cè)面無面力的邊界條件。桿端面的邊界條件為

9、， 式(a)表示的應(yīng)力分量滿足上述端面條件。所以，所給的位移分量是受純彎直桿的解。圖表示一矩形板，一對邊均勻受拉，另一對邊均勻受壓，求應(yīng)力和位移。 解：顯然板中的應(yīng)力狀態(tài)是均勻的。容易驗(yàn)證下述應(yīng)力分量 ， 滿足平衡方程、協(xié)調(diào)方程和邊界條件，即是本問題的解。由胡克定律可求得應(yīng)變?yōu)?利用題的結(jié)果，可求得位移為 彈性半空間，比重為，邊界上作用有均布壓力，設(shè)在處，求位移和應(yīng)力。 解：由問題的對稱性，可以假設(shè) ， 把上述位移分量代入Lamé-Navier方程，可以發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)自動(dòng)滿足，余下的一個(gè)變成 解之得 其中的、是待定常數(shù)。由已知條件得 所以 應(yīng)力分量為 ，。 在邊界上的邊界條件為：，。前兩個(gè)條件自動(dòng)滿足，最后一個(gè)成為 即 所以最后得 ，； ，。設(shè)一等截面桿受軸向拉力作用，桿的橫截面積為，求應(yīng)力分量和位移分量。設(shè)軸和桿的軸線重合，原點(diǎn)取在桿長的一半處；并設(shè)在原點(diǎn)處，且 。 答案：當(dāng)體力為零時(shí)，應(yīng)力分量為 ， ， ， 式中，。試檢查它們是否可能發(fā)生。解：圖所示的矩形截面長桿偏心受壓，壓力為，偏心距為，桿的橫截面積為，求應(yīng)力分量。 解：根據(jù)桿的受力特點(diǎn)，假設(shè) ， 其中、是待定的常數(shù)。 長方形板，厚度為，兩對邊分別受均布的彎矩和作用，如圖所示。驗(yàn)證應(yīng)力分量 ，