_2第二章z變換

1、Z Z變換變換的的定義定義Z Z變換的變換的收斂域收斂域逆逆Z Z變換變換Z Z變換的變換的性質和定理性質和定理利用利用Z Z變換變換求解差分方程求解差分方程2.5 序列的序列的Z變換變換2.5.12.5.1Z Z變換的變換的定義定義（正變換）（正變換） 序列序列x(n)的的Z Z變換定義為變換定義為 ( )( )nnX zx n z0( )( )nnX zx n z雙邊Z變換單邊Z變換 z z復變量復變量、z z平面平面因果序列因果序列Z Z變換存在的條件變換存在的條件：( )nnx n z Z Z變換定義式中變換定義式中z z所在的所在的復平面復平面， z z是一個是一個連續(xù)復變量，具有連

2、續(xù)復變量，具有實部和虛部實部和虛部。j|ezzjezn在在Z Z平面上平面上|z|= 1|z|= 1為半徑的圓為半徑的圓n單位圓上的參數可表示為單位圓上的參數可表示為 jje(e )( )|zXX z( )( )nnX zx n zZTZT與與FTFT關系關系nnnxnxXjje )()(FT)e (FT:ZT:。就就是是其其單單位位圓圓上上的的FTZT單位圓單位圓如果單位圓上的如果單位圓上的ZTZT不存在，則不存在，則FTFT也不存在也不存在零點和極點零點和極點)()()(zQzPzX 零零點點的的根根 0)(zP極極點點的的根根 0)(zQ常用的常用的Z Z變換是一個有理函數，用兩個多項式

3、之比表示：變換是一個有理函數，用兩個多項式之比表示：在極點處在極點處Z Z變換不變換不存在存在( )nnx n z X(Z)=Z Z變換存在的變換存在的條件條件： ( )nnx n z 收斂收斂使上式成立的使上式成立的Z Z變量取值的范圍稱為變量取值的范圍稱為收斂收斂域域（ROCROC）。）。2.5.12.5.1Z Z變換變換的的收斂域收斂域在極點處在極點處Z Z變換不存在，因此收斂域中沒有變換不存在，因此收斂域中沒有極點極點. .收斂收斂域總是用極點限定其邊界。域總是用極點限定其邊界。 j|ezzRxrRx，|z|=r一般收斂域為一般收斂域為環(huán)狀域環(huán)狀域，即，即|xxRzR【例例】x(n)=

4、u(n), 求其Z變換。解解0( )( )nnnnX zu n zzX(z)存在的條件是|z1|1|1, 因此11( )| 11X zzz一個序列的傅里葉變換不存在，但在一定收斂域內一個序列的傅里葉變換不存在，但在一定收斂域內Z Z變變換是可以存在的。換是可以存在的。零點和零點和極點極點?收斂域不包含單位圓，因此其傅里葉變換不存在收斂域不包含單位圓，因此其傅里葉變換不存在( )nnx n z ( )( )nx na u n10011 21 3( )( )()1()()nnnnnnnX zx n za zazazazaz 1101( )(),|1nnzX zazzaazzaROC ( )(1)n

5、x na un 11( )(1)nnnnnnnnnX za unza zaz 11a zza111111)(azzazazXaz ROCn n=-=-1-兩者兩者Z Z變換的函數表達式一樣，但收斂域卻不相同，對應變換的函數表達式一樣，但收斂域卻不相同，對應的原序列也的原序列也不同不同正確正確地確定收斂域是很地確定收斂域是很重要重要( )( )nx na u n1101( )(),|1nnzX zazzaazza( )(1)nx na un 111111)(azzazazXaz 序列特性對收斂序列特性對收斂域的影響域的影響 12( )( )0 x nnnnx n其它21( )( )nnn nX

6、zx n z有限項有限項求和求和幾乎整個幾乎整個z z平面均收斂（考慮平面均收斂（考慮0 0和和 ）。）。收斂域？收斂域？( )( )nnX zx n z Z Z的正次的正次冪冪Z Z的負次冪的負次冪Z Z的零次的零次冪冪 n10, n20時，時，正次冪正次冪 零次冪零次冪 0|z| n10時，時，正次冪正次冪 零次冪零次冪 負次冪負次冪 0|z|0時，時，負次冪負次冪 零次冪零次冪 00時，時，負次冪負次冪 零次冪零次冪 極點？極點？ 零點？零點？【例例】求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域。收斂域為收斂域為0z。2 2 右右序列序列nn1nn1x(n)=x(n)0（1） （2）交集交集

7、（1）有限長序列有限長序列，設設n11，其收斂域為其收斂域為0|z|。（2）因果序列因果序列， 收斂域為收斂域為Rx|z|（圓外）。Rx|z|右序列是指在右序列是指在nn1時，時，序列值不全為零序列值不全為零，而在而在nn1時，時，序列值全為零的序列序列值全為零的序列。 110( )( )( )nnnn nn nnXx n zx n zx n z1( z) =(1) n(1) n1 10 0 n n2 2=1xRz 1xzRnnznxzXnnn11)()(1xRz (1) n10 n2=1xRz 右邊序列的收斂域是右邊序列的收斂域是半徑半徑Rx的的圓外部分。圓外部分。Rx1|z|【例例】求x(

8、n)=anu(n)的Z變換及其收斂域。解解101( )( )1nnnnnnX za u n za zaz在收斂域中必須滿足在收斂域中必須滿足|az1|a|。右邊序列圓外3 3 左左序列序列左序列是指在左序列是指在nn2時，序列值不全為零，而在時，序列值不全為零，而在nn2時，序列值全為零的序列時，序列值全為零的序列。2( )( )nnnX zx n znn2x(n)=x(n)0(1)n1=- n20(2)n1=- n2020 xzR2xzR2xR2xR【例例】求x(n)=anu(n1)的Z變換及其收斂域。解解這里x(n)是一個左序列，當n0時，x(n)=0，X(z)存在要求|a1|1，即收斂域

9、為|z|a|, 因此1( )(1)nnnnnnX za unza z 1nnnaz1111( ),|11a zX zzaa zaz左左邊序列邊序列圓內12( )( )( )( )nnX zx n zXzXz111( )( )0 |nxnXzx n zzRX2(z)x(n)znn0Rx|z|4 4 雙邊雙邊序列序列 雙邊序列雙邊序列 = = （左序列）（左序列）+ +（右序列）（右序列）Rx1Rx2左序列左序列右序列右序列圓圓內內圓外圓外X2(z)x(n)znn0;Rx|z|圓內收斂圓內收斂圓外收斂圓外收斂Imzj12xxRR有有收斂域收斂域沒有收斂沒有收斂域域交集交集Rx1 |Z| Rx2Rx

10、2 Rx1Rx1左序列左序列右序列右序列111( )( )0 |nxnXzx n zzRRx2Rez環(huán)狀環(huán)狀【例例】x(n)=a|n|, a為實數，求x(n)的Z變換及其收斂域。解解 第一部分收斂域為|az|1，得|z|a|1; 第二部分收斂域為|az1|a|。如果|a|1, 兩部分的公共收斂域為|a|z|a|1, 其Z變換如下式:| |( )nnnX za zanznanznn0n1anznanznn0n111( )11azX zazaz2111| | |(1)(1)aazaazaz如果|a|1，則無公共收斂域，因此X(z)不存在。序列序列特性對收斂域的影響特性對收斂域的影響為其他值0)()

11、(21nnnnnxnx|0zImz0ROC有限長序列的收斂域0,|01nz0,|02nz0,0,|021nnzx(n)=R(n)序列特性：序列特性：序列描述：序列描述：收斂域：收斂域：序列實例：序列實例：收斂域圖示：收斂域圖示：110)()(nnnnnxnx右邊序列右邊序列|,0|1zRnzRxx)()(nuanxn| |az RezImzRx-0右邊序列220)()(nnnnnxnx左邊序列左邊序列xxRznRz|0 ,0|02|bz )1()(nubnxnRezImz0Rx+ 左邊序列有限長有限長序列序列1212( )( )( )( )(),),)yybny nX zY zRzaRRaRb

12、 1x12x2則 x其中:R =max(RR =min(RZ( )( )( )( )nX znY z x1x2y1y2若x(R z Ry(R z 1|Z|1x(n)Z X(z)Rx1z Rx2( )nzzaaanX 12xx則x， RRZ x(n x(n) )乘以指數序列等效于乘以指數序列等效于z z平面平面尺度伸縮尺度伸縮。（4）尺度變換性( )nnXazaaz 12xx例:x， RRZ( 1)nnXzz 12xxx， RRZ( )nzzaaanX 12xx則x， RRZ),min(),max(),()()()()()()()(22112121hxhxhhxxRRzRRzHzXnhnxZTR

13、zRzHnhZTRzRzXnxZT其收斂域為則若若位于某一若位于某一Z Z變換收斂域邊緣上的極點被另一變換收斂域邊緣上的極點被另一Z Z變換變換的零點抵消，則收斂域將會擴大。的零點抵消，則收斂域將會擴大。（7 7）時域卷積定理）時域卷積定理交集交集 2( ),( ),1( )( )( )()zzzx nX Zzazazh nH ZzbzbzazbzY zX z H zzazbab zazb 解：11() ( )nnabu n1其逆變換為 y(n)=a-b),max(baz 【例例】部分分部分分式展開式展開 ( ),11zzx nX Zzz 解： 1( )zzzh nH zzzaza 線性、時移

14、性1,zzaza求求卷積卷積 x(n)=u(n)【例例】極零極零點點抵消抵消,zzazay(n)z Y(z)H z X(z)zz1z1zaIZT:2.5.5 2.5.5 利用利用Z Z變換解系統輸出響應變換解系統輸出響應設設N階線性常系數差方程為階線性常系數差方程為00()()NNkkkka y nkb x nk解差分方程的方法解差分方程的方法？Z Z變換解法變換解法 將將差分方程變成了代數方程，使求解過程簡單。差分方程變成了代數方程，使求解過程簡單。0000001( )( )( )( )( )( )( )( )( ) ( )NNkkkkkkNkkkNkkkNkkkNkkka Y z zb X

15、 z zb zY zX za zY zH zX zb zH za zy nZ T Y z式中 H(Z)系統系統函數函數輸出輸出輸入輸入Y(Z)=X(Z)H(Z)1 1. .求穩(wěn)態(tài)解求穩(wěn)態(tài)解00()()NNkkkka y nkb x nk雙邊雙邊ZT雙邊雙邊ZT2. 2. 系統的完全響應系統的完全響應對于N階差分方程，必須已知N個初始條件。設設x( (n) )是因果序列是因果序列，即x(n)=0,nmax(|a|,|b|)，1111( )2(),0nnny nbabnab式中第一項為零輸入解，第二項為零狀態(tài)解。11121( )1(1)(1)bY zbzazbz2.5.3 2.5.3 逆逆z z變

16、換變換求逆求逆z z變換方法變換方法: :冪級數法冪級數法部分分式展開法部分分式展開法圍線積分（留數法）圍線積分（留數法） 部分分式展開法部分分式展開法 = X1（Z）+ X2（Z） + X3（Z）部分分式之和（以三部分為例）部分分式之和（以三部分為例）x1（n）+ x2（n） + x3（n）Z Z逆變換逆變換 （查表）（查表）原理：化繁為簡原理：化繁為簡 aznuaaznuaazznn)1( )(- 復雜、整復雜、整X(z) 簡單簡單常用的常用的x(n) = zX zzzX zX zzX 分子的次數低于分子的次數低于分母的次數分母的次數0101( )( )NmmmNmmmA zX zAzzX

17、 zAAzzzz0( )Re ,0( )Re ,mmX zAszX zAszz單階極點單階極點多階極點不做討論多階極點不做討論部分分式展開部分分式展開ZmZm極點極點ZmZm極點處的留數極點處的留數 。求求，已知已知nxzzzzzX, 2:ROC)2)(1()(2 21 zBzAzzX1)2)(1()1(1 zzzzzA)2)(1()( zzzzzXz221)( zzzzzX)()2(2)()(nununxn nun122 2211)( zzzzX所以所以221)( zzzzzXO zRe zImj122 z)()2(2)()(nununxn 21 z)1()2(2)()( nununxn1

18、z 1221nununxn【例例】 用用部分分式法部分分式法求下列求下列Z Z變換的逆變換變換的逆變換 2,5 . 0121111zzzzX 12115 . 0121zAzAzX解：因為它的收斂域是一個解：因為它的收斂域是一個圓外圓外，所以對應的序列是，所以對應的序列是右邊序列右邊序列。 345 . 0112121211zzzzzXA 312115 . 015 . 015 . 012zzzzzXA 115 . 01121431zzzX 0, 00,5 . 031234nnnxnn nunxnn5 . 031234或或|Z|2|Z|2|Z|0.5因果序列因果序列【例例】 用部分分式法求下列用部分

19、分式法求下列Z變換的逆變換變換的逆變換 32,615211zzzzzX 1211111312131215zAzAzzzzX 131521211211zzzzzzXA 121531311312zzzzzzXA解：雙邊序列解：雙邊序列最后得最后得 0,30,2nnnxnn 132nununxnn或或 11311211zzzX2|Z|2|Z|3因果序列非因果序列常用序列Z變換的對照表(一)序列序列Z變換變換收斂域收斂域 n nu11111zzz平面整個z1z nuan111zaazzaz 常用序列Z變換的對照表(二)序列序列Z變換變換收斂域收斂域 nRN nun11111zzzzzNNN0z nua

20、nnaz 211211zzzz1z21121zazaazza常用序列Z變換的對照表(三)序列序列Z變換變換收斂域收斂域1z nuenj010011zeezzjnj1z1z nun0sin nun0cos20101020cos21sin1cos2sinzzzzzz201010202cos21cos11cos2coszzzzzzz常用序列Z變換的對照表(四)序列序列Z變換變換收斂域收斂域 nunena0sinaez1z nun0sin201010202cos21sinsin1cos2sinsinzzzzzzz nunena0cosaezaaaezezez220101cos21sinaaaezezez220101cos21cos1常用序列Z變換的對照表(五)序列序列Z變換變換收斂域收斂域 nuann1az az az nuannn!221 nuammnnnn!21212211zaazz313311zaazz111111mmmzaazz 傳遞函數與系統函數傳遞函數與系統函數 因果性、穩(wěn)定性因果性、穩(wěn)定性2.6 2.6 利用利用ZTZT分析信號和系統的頻域分析信號和系統的頻域特性特性2.6.1 2.6.1 傳輸函數與系統函數傳輸函數與系統函數 系統系統函數函數 H(z)=ZT(h(n)=Y(z)/X(z) 系統復頻域特征系統復頻域特征 傳輸函數傳輸函數