一課題背景和研究內(nèi)容

1、.芀蚄螀袇莂薆蚆袆蒅螂羄裊膄薅袀裊芇螀螆襖荿薃螞羃蒁莆羈羂膁薁袇羈莃莄袃羀蒆蝕蝿罿膅蒂蚅罿羋蚈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅肆膂葿蟻肅芄蚅薇肄蒆蕆羆肅膆螃袂肅羋薆螈肂莁螁蚄肁蒃薄羃膀膃莇衿腿芅薂螅膈莇蒞蟻膇肇薀蚇膇艿蒃羅膆莂蠆袁膅蒄蒂螇膄膄蚇蚃芃芆蒀羂節(jié)莈蚅袈節(jié)蒀蒈螄芁芀蚄螀袇莂薆蚆袆蒅螂羄裊膄薅袀裊芇螀螆襖荿薃螞羃蒁莆羈羂膁薁袇羈莃莄袃羀蒆蝕蝿罿膅蒂蚅罿羋蚈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅肆膂葿蟻肅芄蚅薇肄蒆蕆羆肅膆螃袂肅羋薆螈肂莁螁蚄肁蒃薄羃膀膃莇衿腿芅薂螅膈莇蒞蟻膇肇薀蚇膇艿蒃羅膆莂蠆袁膅蒄蒂螇膄膄蚇蚃芃芆蒀羂節(jié)莈蚅袈節(jié)蒀蒈螄芁芀蚄螀袇莂薆蚆袆蒅螂羄裊膄薅袀裊芇螀螆襖荿薃螞羃蒁莆羈羂膁薁袇羈莃莄袃羀蒆蝕蝿罿膅蒂蚅

2、罿羋蚈羃羈莀蒁衿羇蒂蚆螅肆膂葿蟻肅芄蚅薇肄蒆蕆羆肅膆螃袂肅羋薆螈肂莁螁蚄肁蒃薄羃膀膃莇衿腿芅薂螅膈莇蒞蟻膇肇薀蚇膇艿蒃羅膆莂蠆袁膅蒄蒂螇膄膄蚇蚃芃芆蒀羂節(jié)莈蚅袈節(jié)蒀蒈螄芁芀蚄螀袇莂薆蚆袆蒅螂羄裊膄薅袀裊芇螀螆襖荿薃螞羃蒁莆羈羂膁薁袇羈莃莄袃 一.課題背景和研究內(nèi)容： 馬克思曾說過：“一種科學(xué)只有在成功地運用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到完善的地步?！边@位偉大的科學(xué)的革命的導(dǎo)師的這句話，高度精確地概括了數(shù)學(xué)在眾多科學(xué)中的地位。可以說，數(shù)學(xué)是眾多科學(xué)的基礎(chǔ)，沒有數(shù)學(xué)，沒有數(shù)字，沒有運算方法，那么其他的科學(xué)根本找不到落腳點。也正因為如此，數(shù)學(xué)是一門最博大精深的學(xué)科，我們中學(xué)生學(xué)了十幾年的數(shù)學(xué)，其實也只觸摸到了這門

3、高深學(xué)問的一點皮毛。而數(shù)學(xué)這座高聳入云的大廈經(jīng)過世界人民幾千年的建設(shè)仍然有許多不完善的地方，等待著后人去修補，去創(chuàng)造。借助今天高度發(fā)達(dá)的電子計算機，科學(xué)家們解決了許多曾經(jīng)相當(dāng)棘手的問題，卻仍然對一些問題束手無策。那么可以想象，在各種科學(xué)都不甚發(fā)達(dá)的過去，數(shù)學(xué)就像是個蹣跚學(xué)步的孩子，每走一步都是巨大的艱辛和巨大的飛越。在這里，作者將通過以一些標(biāo)志性事件為線索，淺談一下數(shù)學(xué)發(fā)展史上的艱難與成就，相信這將有助于每一個對數(shù)學(xué)有興趣的人加深對這門科學(xué)的了解，從而更好地學(xué)習(xí)這門學(xué)問。二. 文獻(xiàn)綜述：對于數(shù)學(xué)發(fā)展史這個問題，已有先人做過一些研究。1983年，美國數(shù)學(xué)史家Howard Eves出版了Great

4、 Moments in Mathematics（中文譯名為數(shù)學(xué)史上的里程碑或數(shù)學(xué)史概論），以時間為順序較詳盡地介紹了從遠(yuǎn)古時候開始數(shù)學(xué)的發(fā)展情況。但這本四百多頁的書讀起來還是需要花費大量的時間與精力的，因此作者就以一個中學(xué)生的視角，盡量做到從一個客觀的角度去解讀數(shù)學(xué)這部龐大的歷史。三.論文正文：每一門新興學(xué)科的產(chǎn)生都有其必然性，歷史悠久的數(shù)學(xué)也是如此。古代勞動人民在生產(chǎn)生活中會遇到許多不可避免的問題，因為當(dāng)時沒有“數(shù)學(xué)”，這些問題往往得不到解決，或者解決的方法在今天看來愚笨又可笑。就拿最原始的計數(shù)問題來說，古代沒有數(shù)字的概念，為了解決計數(shù)問題，比如清點人數(shù)，計算一天打獵的戰(zhàn)利品，他們只能采用被

5、Howard Eves稱為“一一對應(yīng)”的原理進行計數(shù)，這就是廣為人知的結(jié)繩計數(shù)法。一一對應(yīng)計數(shù)原理，就是數(shù)學(xué)這株巨大植物最初萌動的種子。大約在公元前600年，幾何學(xué)有了突破性的發(fā)展。數(shù)學(xué)史家們一致認(rèn)為，數(shù)學(xué)的這一重大進步應(yīng)歸功于當(dāng)時的希臘人，特別是泰勒斯。他是在數(shù)學(xué)史上留名的第一人，也是有幸占有一些演繹幾何學(xué)定理的發(fā)明權(quán)的第一人。泰勒斯的成就在于對一些簡單的數(shù)學(xué)結(jié)論給出了邏輯證明，而不像他之前的人們只靠直觀感覺或者實驗方法去證明。邏輯證明無疑更準(zhǔn)確，更有說服力。因此，演繹法的誕生是數(shù)學(xué)史上的一個里程碑，奠基人就是泰勒斯。泰勒斯以發(fā)明演繹法成為在數(shù)學(xué)史上留名的第一人，那么畢達(dá)哥拉斯就以其巨大的數(shù)

6、學(xué)成就及由他創(chuàng)立的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派二成為在數(shù)學(xué)史上留名的第二人。初等幾何中最精彩、最著名、最有用的定理之一就是畢達(dá)哥拉斯定理：在任何直角三角形中，斜邊上的正方形等于兩個直角邊上的正方形之和。這是數(shù)學(xué)中真正重要的第一個定理。一般認(rèn)為，這個定理并不是畢達(dá)哥拉斯最先提出的，但它的嚴(yán)格的邏輯證明也許就是畢達(dá)哥拉斯或者畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中的某一人提出的。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為整數(shù)是人和物的各種性質(zhì)的起因，只要揭示了整數(shù)的復(fù)雜性質(zhì)，或許可以左右和改善自己的命運。因此，他們熱衷于研究數(shù)與幾何學(xué)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派無疑為數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了巨大的貢獻(xiàn)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的所有研究都是建立在他們一個堅定的信仰之上的：萬物皆數(shù)，即任何

7、數(shù)都可以用整數(shù)或者整數(shù)與整數(shù)之比表示。這個說法在一定時期內(nèi)被廣泛接受，直到畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的一個成員希帕索斯考慮了這樣一個問題：一個邊長為1的正方形，它的對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)2 的誕生。這樣一個簡單的問題，動搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信仰，由此產(chǎn)生了數(shù)學(xué)史上的第一次危機。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員為此感到十分恐慌，因為他們所有的研究成果都是建立在上述信仰的基礎(chǔ)上的。存在不能用整數(shù)也不能用分?jǐn)?shù)表示的數(shù)的這樣一個事實，推翻了他們的許多研究成果。直到公元前370年，希臘數(shù)學(xué)家歐多克斯給出比例即兩個比相等的

8、定義，從而巧妙地化解了這次危機。歐多克斯給出的這個定義與所涉及的量是否能用整數(shù)或整數(shù)之比表示完全無關(guān)，可敘述如下：所謂四個量成等比，即第一個量與第二個量之比等于第三個量與第四個量之比，是指：當(dāng)取第一、第三兩個量的任何相同的倍數(shù)，并取第二、第四兩個量的任何相同的倍數(shù)時，前兩個量的倍數(shù)之間的小于、等于或大于的關(guān)系是否成立，取決于后兩個量的倍數(shù)之間的相應(yīng)關(guān)系是否成立。這樣就巧妙地繞過了所涉及的量是否能用整數(shù)或整數(shù)之比表示這個問題，歐幾里得在原本中對歐多克斯的定義做出了很高的評價。這就是第一次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生與化解，也意味著數(shù)學(xué)得到了進一步的完善。在泰勒斯以后的三百年間，希臘人在數(shù)學(xué)上取得了輝煌的成就，

9、現(xiàn)在公認(rèn)的這一時期的最大成就是希臘人形成了這樣一種觀念：一個合乎邏輯的學(xué)科，應(yīng)當(dāng)是由一組在開始研究這一學(xué)科時假設(shè)可以接受的原始命題出發(fā)，通過演繹推理而得到一系列命題。由此，實質(zhì)公理體系誕生了，可以敘述如下：對于一個學(xué)科的某些基本術(shù)語予以解釋，目的是使讀者了解這些基本術(shù)語的含義是什么；列出關(guān)于基本術(shù)語的某些原始命題，讀者根據(jù)基本術(shù)語的含義便可承認(rèn)這些命題是正確的，這些原始命題稱為這一學(xué)科的公理或公設(shè)；借助于已經(jīng)引入的術(shù)語定義這一學(xué)科的其他所有術(shù)語；由已經(jīng)承認(rèn)或已經(jīng)證明的命題，通過邏輯推理導(dǎo)出這一學(xué)科的其他所有命題。早期希臘人對于數(shù)學(xué)的最杰出的貢獻(xiàn)，就是確立實質(zhì)公理體系的模式和主張按照這種模式使數(shù)

10、學(xué)條理化?！案鶕?jù)公理體系來建立數(shù)學(xué)”這一概念的產(chǎn)生，無疑又是數(shù)學(xué)史上一個重要的里程碑。接下來就要說到一位偉大的數(shù)學(xué)家歐幾里得（公元前300275年）及其巨著原本。需要說明的是，原本的原始抄本現(xiàn)已無存，現(xiàn)在通用的版本是比歐幾里得晚幾百年的西翁的修訂本。原本共有十三卷，這本書是世界上最著名、最完整而且流傳最廣的數(shù)學(xué)著作，也是歐幾里德最有價值的一部著作。在原本里，歐幾里德系統(tǒng)地總結(jié)了古代勞動人民和學(xué)者們在實踐和思考中獲得的幾何知識，歐幾里德把人們公認(rèn)的一些事實列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質(zhì)，從而建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理得幾何學(xué)論證方法，

11、形成了一個嚴(yán)密的邏輯體系幾何學(xué)。而這本書，也就成了歐式幾何的奠基之作。兩千多年來，幾何原本一直是學(xué)習(xí)幾何的主要教材?，F(xiàn)在我們計算曲邊圖形的面積往往是采用積分的思想，但鮮少有人知道最先使用積分思想的是古希臘科學(xué)家阿基米德。我們現(xiàn)在熟知的計算球的表面積和體積的公式，約公元前240年的阿基米德就已經(jīng)給出。這些公式是通過一系列命題一步一步地推導(dǎo)出來的，這個過程中蘊含著積分的思想。但這不是現(xiàn)代使用的較簡便的積分方法，而是采用較繁瑣但是可用的雙重歸謬法，也稱歐多克斯窮竭法。阿基米德的思想方法無疑為后來牛頓與萊布尼茨的研究打下了堅實的基礎(chǔ)。關(guān)于數(shù)的研究，有兩方面的問題：探討數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系和發(fā)展數(shù)的計算技巧

12、，古希臘人把前者稱為算術(shù)，后者稱為計算術(shù)?，F(xiàn)在通常把研究數(shù)的理論方面的學(xué)科稱為數(shù)論，說到數(shù)論，就不能不提到丟番圖（約公元250年）。丟番圖最著名的成就是算術(shù)，它對后世歐洲的數(shù)論學(xué)家產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。算術(shù)是一部具有高度創(chuàng)造性的偉大著作，它對代數(shù)數(shù)論做了解析處理，技巧高超。算術(shù)給出了一些方程的一般或特殊解法，還述了一些有關(guān)數(shù)的深奧定理，為后世的研究做出了巨大的貢獻(xiàn)。丟番圖不僅是個偉大的數(shù)論學(xué)家，還對代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了重大貢獻(xiàn)，其中之一就是簡寫了希臘代數(shù)學(xué)。在這之前的一切代數(shù)學(xué)都是用文字表示的，在使用過程中有許多不便。而丟番圖在算術(shù)中給出了表示未知數(shù)、未知數(shù)的直到六次的冪、相減、相等和倒數(shù)的簡寫符號

13、，因此可以說，向著代數(shù)學(xué)邁進的最初幾步是丟番圖用其天才的智慧寫就的。由于書寫材料日趨方便、廉價，算術(shù)方法也隨之發(fā)展。而數(shù)字的出現(xiàn)起初是人們用來記錄算盤（僅次于手指，人類最早使用的計算工具。）上籌碼的數(shù)目。目前，在世界各地通用著同一個數(shù)學(xué)系統(tǒng), 印度-阿拉伯?dāng)?shù)系即一切數(shù)字寫成十個數(shù)學(xué)符號0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的位值序列。在中世紀(jì)的歐洲，分別提倡使用羅馬數(shù)字和算盤計算的、印度-阿拉伯?dāng)?shù)字和適當(dāng)算法的算盤家及算術(shù)家進行了400多年的爭論。其中，算盤家有一條能使人信服的理由; “這些新數(shù)字本身容易被篡改，而且在已經(jīng)的數(shù)字之間和后面能在添加數(shù)字?！北娝苤《?阿拉伯?dāng)?shù)系是印度人發(fā)明，

14、阿拉伯人采用了并傳到了西歐，再通過波斯數(shù)學(xué)家花拉子密專著的拉丁文譯本及后來歐洲人的有關(guān)著作，得到了更廣泛的傳播。其中，algorithm(算法)、 algebra（代數(shù)）兩個常用數(shù)學(xué)詞匯的產(chǎn)生都?xì)w功于花拉子密。而對印度-阿拉伯?dāng)?shù)系的應(yīng)用影響及促進最大的就是1202年在意大利出版，由中世紀(jì)數(shù)學(xué)技巧最嫻熟的數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契（？）所著算盤書。這一書最大的功績是系統(tǒng)介紹印度記數(shù)法，影響并改變了歐洲數(shù)學(xué)的面貌，直接促進了印度-阿拉伯?dāng)?shù)系的傳播。我們所熟悉的斐波那契數(shù)列就是此書中最富有成果的兔子問題中得出的，它在數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域都有許多意想不到的應(yīng)用，它還存在于多米諾牌、蜜蜂的繁殖鋼琴的1

15、3個半音階的排列完全、自然界中一些花朵的花瓣數(shù)目等諸多方面，且隨便選兩個整數(shù),然后按照斐波拉契數(shù)的規(guī)律排下去,兩數(shù)間比也是會逐漸逼近黃金比的。如今，有關(guān)于斐波那契數(shù)列性質(zhì)的探討研究也是多的驚人。”。斐波那契其他數(shù)學(xué)著作還有幾何實踐，著重敘述希臘幾何與三角術(shù)。平方數(shù)書、花朵等，前者專論二次丟番圖方程，后者內(nèi)容多為菲德里克（Frederick）二世宮廷數(shù)學(xué)競賽問題十一世紀(jì)的波斯詩人兼數(shù)學(xué)家奧馬爾 海牙姆（約約）巧妙地用“一個立方體，一些邊和一些數(shù)”得出了三次方程的幾何算法，為阿拉伯代數(shù)學(xué)作出了創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)。在此大約年以后，一個不講信義的天才卡爾達(dá)諾（Cardano，15011576）將塔爾塔利亞三

16、次方程代數(shù)解法及費爾拉里的四次方程解法寫進了他的拉丁文的代數(shù)學(xué)巨著大衍書（Ars magna）。爾后，有不少數(shù)學(xué)家提出了簡化求解三次、四次方程的方法或其根的表達(dá)式。這些數(shù)學(xué)家包括R 邦貝利、F 韋達(dá)、笛卡爾我們都知道對數(shù)作為一種計算方法的功能在于; 通過對數(shù)，可以把乘除運算化為簡單的加減運算。耐普爾(Napier，15501617)潛心研究角的正弦的對數(shù)20余年，于1614年發(fā)表奇妙的對數(shù)表的描述（"Mirifici logarithmorum canonis descriptio"），在其中闡明了對數(shù)原理。這一著作立刻引起了人們廣泛的興趣。1616年H 布里格斯（B ri

17、ggs，15611631）去拜訪耐普爾，建議將對數(shù)改良一下以十為基底的對數(shù)表最為方便，這也就是后來常用的對數(shù)了?？上推諣柛裟暧?617年春天去世，后來就由布里格斯以畢生精力繼承耐普爾的未竟事業(yè)，以10為底列出一個很詳細(xì)的對數(shù)表。并且于1619年發(fā)表了對數(shù)算術(shù)（Arithmetica logarithmica），于書中詳細(xì)闡述了對數(shù)計算和造對表的方法。耐普爾的對數(shù)原理被整個歐洲積極采用，尤其是天文學(xué)界。拉普拉斯認(rèn)為：“對數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而使天文學(xué)家的壽命增加了一倍?！辈祭锔袼沟耐翬 岡特（Gunter，15811626）又發(fā)表了間隔為弧分的角的正弦及正切的普通對數(shù)表，并創(chuàng)造了cosine

18、(余弦) 、cotangent(余切) ，他還設(shè)計了對數(shù)刻度尺。在十七世紀(jì)，兩位杰出的數(shù)學(xué)家伽利略（Galiteo Gelilei，15641642）和J 開普勒（Kepler，15541630）的一系列發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)的復(fù)興。伽利略通過大量的實驗發(fā)現(xiàn)了有關(guān)物體在地球引力場運動的許多基本事實，導(dǎo)致了現(xiàn)在動力學(xué)的誕生。開普勒則在1619年前后歸納出著名的行星運動三定律，產(chǎn)生了現(xiàn)代天體力學(xué)。這些學(xué)科的發(fā)展都推動了新的數(shù)學(xué)工具能夠研究變化、流量和運動的數(shù)學(xué)分支微積分的出現(xiàn)。開普勒為了計算行星運動三定律中的第二定律的面積，不得不采用了一種原始的積分方法，這是他成為微積分的奠基人之一。開普勒對多面體也有

19、所貢獻(xiàn)，他首先認(rèn)識到反棱柱體，發(fā)現(xiàn)了立方八面體、斜方十二面體等，并且還把“焦點”一詞引入了圓錐曲線幾何學(xué)中。公元前三世紀(jì)，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉(zhuǎn)雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學(xué)的思想。作為微分學(xué)基礎(chǔ)的極限理論來說，早在古代以有比較清楚的論述。比如三國時期的劉徽在他的割圓術(shù)中提到“割之彌細(xì)，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣?！边@些都是樸素的、也是很典型的極限概念。 到了十七世紀(jì)，求即時速度、求曲線的切線、求函數(shù)的最大值和最小值、包括上面所講到的求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當(dāng)大的物

20、體作用于另一物體上的引力這些需要解決的問題都是促使微積分產(chǎn)生的重要因素。許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述問題作了大量研究，進而提出了許多很有建樹的理論。例如1635年B 卡瓦列利（Cavalieri，15981647）發(fā)表了不可分量幾何學(xué)（Geometria indivisibilibus）,其中闡述的了不可分量法的專論。十七世紀(jì)下半葉，在前人工作的基礎(chǔ)上，英國大科學(xué)家牛頓和德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作。牛頓研究微積分著重于從運動學(xué)來考慮，他在流數(shù)法和無窮級數(shù)一書中指出，變量是由點、線、面的連續(xù)運動產(chǎn)生的，否定了以前自己認(rèn)為的變量是無窮小

21、元素的靜止集合。他把連續(xù)變量叫做流動量，把這些流動量的導(dǎo)數(shù)叫做流數(shù)。牛頓在流數(shù)術(shù)中所提出的中心問題是：已知連續(xù)運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度求給定時間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。而德國的萊布尼茨在1684年發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文獻(xiàn)一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算，盡管這篇文章的題目又長又古怪，卻具有劃時代的意義。它已含有現(xiàn)代的微分符號和基本微分法則。今天，我們使用的微積分通用符號就是萊布尼茨精心選用的。他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起，一個是切線問題（微分學(xué)的中心問題），一個是求積問題(積分

22、學(xué)的中心問題)。 對于微積分這一新型數(shù)學(xué)有這樣一個比喻：舊的數(shù)學(xué)如照相術(shù)發(fā)展的靜物攝影階段，而新數(shù)學(xué)可比作電影攝影階段。另為，舊數(shù)學(xué)與新數(shù)學(xué)相比，如同解剖學(xué)和生理學(xué)，前者研究尸體而后者研究活體。由此可以看出，舊數(shù)學(xué)只涉及不變和有限的問題，消極靜止；而新數(shù)學(xué)則包括變化和無限的問題，積極運動。所以微積分學(xué)的創(chuàng)立，極大地推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學(xué)的非凡威力。不幸的事，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學(xué)科的創(chuàng)立者的時候，竟然引起了一場悍然大波，造成了歐洲大陸的數(shù)學(xué)家和英國數(shù)學(xué)家的長期對立。牛頓和萊布尼茨分別是自己獨立研究

23、，在大體上相近的時間里先后完成的。他們的研究各有長處，也都各有短處。那時候，由于民族偏見，關(guān)于發(fā)明優(yōu)先權(quán)的爭論竟從1699年始延續(xù)了一百多年。 應(yīng)該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經(jīng)歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茨的工作也都是很不完善的。他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊。牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。這些基礎(chǔ)方面的缺陷，最終導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生。直到十九世紀(jì)，柯西和維爾斯特拉斯建立了極限理論，康托爾等建立了嚴(yán)格的實數(shù)理論，這門學(xué)科才得以嚴(yán)密化同樣在十七世紀(jì)，R 笛卡爾（Descartes，15961650）和

24、P de 費馬（Fermat，16011665）為解析幾何做出了決定性貢獻(xiàn)。解析幾何的實質(zhì)在于它的變換求解反演的特征，即首先把一個幾何問題變換為一個相應(yīng)的代數(shù)問題，然后求解這個代數(shù)問題，最后反演成代數(shù)解而得到幾何解。解析幾何的創(chuàng)立，引入了一系列新的數(shù)學(xué)概念，特別是將變量引入數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進入了一個新的發(fā)展時期，這就是變量數(shù)學(xué)的時期。解析幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中起了推動作用。恩格斯對此曾經(jīng)作過評價：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，”概率幾乎是由游戲和賭博發(fā)展而來的。概率科學(xué)的起源還是從一個所謂的點數(shù)問題開始的，

25、這個著名的問題是這樣的：兩個技巧相當(dāng)?shù)馁€徒對局，他們知道怎樣的比分賭局終止，也知道取勝所要求的點數(shù)，問應(yīng)該怎樣來分配他們的賭注。而帕斯卡和費馬在對這一問題的通信討論，還思考了與點數(shù)問題有關(guān)的一些其他問題。他們的這一工作奠定了概率論的基礎(chǔ)，開創(chuàng)了概率的數(shù)學(xué)理論。英國的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟學(xué)家W S 杰文斯（Jevons，18351882）認(rèn)為：“概率是生活真正的領(lǐng)路人，如果沒有對概率的某種估計，那么我們就寸步難行，無所作為?！痹跓o窮級數(shù)發(fā)展史上，阿基米德是第一個對一些特殊的收斂去窮級數(shù)求和的人，而第一個適當(dāng)考慮無窮級數(shù)收斂概念的是德國著名的數(shù)學(xué)家C F 高斯（Gauss，17771855），他是在18

26、12年研究超幾何級數(shù)是提出的。然而在這一領(lǐng)域作為里程碑的事件則是另外兩件。1715年在B 泰勒（Tatlor,1685-1731）的著作增量法中第一次出現(xiàn)了函數(shù)f(x)展開成x-a的冪級數(shù)。 1742年蘇格蘭數(shù)學(xué)家C 馬克勞林（Maclaurin）在巨著流數(shù)論中用到了這一冪級數(shù)當(dāng)a=0時的特殊情形。而人們充分認(rèn)識到這一冪級數(shù)的重要性是在1775年歐拉機智地將他們應(yīng)用在微分學(xué)中后，以及在更后來1797年拉格朗日把級數(shù)作為函數(shù)論的基礎(chǔ)之后。在十九世紀(jì)上半葉數(shù)學(xué)史上有兩個重要的轉(zhuǎn)折點。第一個是1829年左右發(fā)現(xiàn)了與人們所熟知的歐幾里得幾何有顯著區(qū)別的一種自相容的幾何；第二個在1843年發(fā)現(xiàn)了與通常實

27、數(shù)系代數(shù)有本質(zhì)區(qū)別的一種代數(shù)。文藝復(fù)興后的西歐數(shù)學(xué)家重新提出了對歐幾里第五公設(shè)的批評，而后的數(shù)學(xué)家用歸繆法證明歐幾里德公設(shè)并做出了卓越的貢獻(xiàn)。不少年后，法國著名的數(shù)學(xué)家A M 勒讓德為證明平行公設(shè)做出了大量的努力，發(fā)表在幾何學(xué)基本原理一書中。比平行公設(shè)問題的解決有更深遠(yuǎn)的意義的結(jié)果是：把幾何學(xué)從其傳統(tǒng)的模式中解放出來羅巴切夫斯基的和黎曼的非歐幾何使創(chuàng)造許多不同體系的幾何的道路打開了幾何學(xué)的公設(shè)，對于數(shù)學(xué)家們來說，僅僅是假定，其物理的真與假用不著考慮；數(shù)學(xué)家們可以隨心所欲的取其公設(shè)，只要它們是彼此相容的數(shù)學(xué)家采用一條公設(shè)，用不著考慮：它是否具有，自古希臘以來規(guī)定它必有的，“自明”或“真”的特徵有

28、了創(chuàng)造純粹“人造的”幾何的可能性；物理空間必須被看作是由我們的外部經(jīng)驗導(dǎo)出的經(jīng)驗概念，用來描述物理空間的幾何學(xué)的公設(shè)只不過是這種經(jīng)驗的表述，和物理科學(xué)的定律一樣，就成為顯然的了例如，竭力謀求解釋現(xiàn)實空間的歐幾里得平行公設(shè)，看來就與伽利略的落體定律，有同類的效力；也就是說，它們都是在實驗誤差的限度內(nèi)，能被證實的觀察定律人類認(rèn)知知識的過程在現(xiàn)階段的歸納中分為兩個過程：第一個過程，是囫圇吞棗的認(rèn)知對于數(shù)學(xué)，就是不遺余力地記住公式、定理，培養(yǎng)邏輯思維。第二個過程，就是重返基礎(chǔ)，從零開始，一步一步，利用已建立起的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿媮硗蒲荩ɑ诩僭O(shè)存在不必證明的公理）。任何偉大的學(xué)者在最初也是死記硬背公式定理而非

29、從哲學(xué)角度開始論證逐步演為數(shù)學(xué)。這和人類最先認(rèn)知正整數(shù)一樣是普遍規(guī)律。所有的數(shù)學(xué)命題最終應(yīng)歸結(jié)為關(guān)于自然數(shù)*（為正整數(shù)）的命題。事實上，我們之所以說正整數(shù)而不是自然數(shù)，是因為在生活中，“零”不屬于我們所應(yīng)用的最“自然”的那一類數(shù)。可以想見，在原始社會，如果你問原始人類捕獲了多少只獵物，如果他一只也沒捕獲，他是絕對不會說“我捕獲了零只”的。由此可見，最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)命題應(yīng)當(dāng)是關(guān)于正整數(shù)（或部分）的，至于零，在多數(shù)情況下，這會被我們當(dāng)作一個特例處理。往往我們驗證的是，對于任意正整數(shù)，我們有某結(jié)論恒成立，將零代入，得到對于零，此結(jié)論也成立，故這個結(jié)論對于任意非負(fù)數(shù)成立。古希臘人將點作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，實際上與

30、我們所說的將自然數(shù)*作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是不矛盾的。第一，點的數(shù)量可以表示正整數(shù)。第二，一個n維整數(shù)組可以表示一個在n維坐標(biāo)系中的點；對于一個點，在坐標(biāo)系單位長度取的足夠小、合適的時候，這個點作可以表示成為整數(shù)點（即格點）。數(shù)學(xué)之所以有別于其他任何一門學(xué)科（包括物理、化學(xué)等理科），是因為數(shù)學(xué)是完全抽象的或者說是完全理想化的。比如，在研究剛體的運動時，我們可以將其理想化，不考慮空氣阻力、不考慮形變等等，而涉及關(guān)于質(zhì)點的計算的時候，我們?nèi)匀灰獙⑵錃w結(jié)于數(shù)學(xué)模型，譬如方程、函數(shù)，我們將剛體運動軌跡看作函數(shù)圖像，對此進行計算，那么實際上我們又將其進一步理想化了，試問，什么物體可以嚴(yán)格按照某個函數(shù)圖像運動？物理

31、模型的抽象化、理想化多是可以實現(xiàn)的，譬如在真空中，可以忽略空氣阻力，但是即使在真空中，也不能將數(shù)學(xué)模型完全實現(xiàn)。數(shù)，是數(shù)學(xué)中的基本概念，也是人類文明的重要組成部分。數(shù)的概念的每一次擴充都標(biāo)志著數(shù)學(xué)的巨大飛躍。一個時代人們對于數(shù)的認(rèn)識與應(yīng)用，以及數(shù)系理論的完善程度，反映了當(dāng)時數(shù)學(xué)發(fā)展的水平。今天，我們所應(yīng)用的數(shù)系，已經(jīng)構(gòu)造的如此完備和縝密，以致于在科學(xué)技術(shù)和社會生活的一切領(lǐng)域中，它都成為基本的語言和不可或缺的工具。在我們得心應(yīng)手地享用這份人類文明的共同財富時，是否想到在數(shù)系形成和發(fā)展的歷史過程中，人類的智慧所經(jīng)歷的曲折和艱辛呢？ 最早發(fā)展的一類數(shù)系應(yīng)該是簡單分群數(shù)系（simple groupin

32、g system），如在公元前3400年埃及象形文字中就有實例,它是10進的，但卻不是位置的。在公元前3000到2000年之間，巴比倫人發(fā)展了60進位的定位數(shù)系（positional numeral system），它采用了位置制，卻不是10進的。而最重要和最美妙的記數(shù)法則是10進位位置制記數(shù)法。 法國著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯（Laplace,1749 1827）曾經(jīng)寫道：用十個記號來表示一切的數(shù)，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以致我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算

33、術(shù)在一切有用的發(fā)明中列在首位。記數(shù)法的進步是與計算工具的改進相聯(lián)系的。研究表明，10進位位置制記數(shù)之產(chǎn)生于中國，是與算籌的使用與籌算制度的演進分不開的。 有理數(shù)系：位置制記數(shù)法的出現(xiàn)，標(biāo)志著人類掌握的數(shù)的語言，已從少量的文字個體，發(fā)展到了一個具有完善運算規(guī)則的數(shù)系。人類第一個認(rèn)識的數(shù)系，就是常說的“自然數(shù)系”。但是，隨著人類認(rèn)識的發(fā)展，自然數(shù)系的缺陷也就逐漸顯露出來。首先，自然數(shù)系是一個離散的、而不是稠密的數(shù)系2 ，因此，作為量的表征，它只能限于去表示一個單位量的整數(shù)倍，而無法表示它的部分。同時，作為運算的手段，在自然數(shù)系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它們的逆運算。這些缺陷，由于分?jǐn)?shù)和

34、負(fù)數(shù)的出現(xiàn)而得以彌補。原始的分?jǐn)?shù)概念來源于對量的分割。如說文·八部對“分”的解釋：“分，別也。從八從刀，刀以分別物也?！钡?，九章算術(shù)中的分?jǐn)?shù)是從除法運算引入的。其“合分術(shù)”有云：“實如法而一。不滿法者，以法命之。”這句話的今譯是：被除數(shù)除以除數(shù)。如果不能除盡，便定義了一個分?jǐn)?shù)。中國古代分?jǐn)?shù)理論的高明之處是它借助于“齊同術(shù)”把握住了分?jǐn)?shù)算法的精髓：通分。劉徽在九章算術(shù)注中所言：眾分錯雜，非細(xì)不會。乘而散之，所以通之。通之則可并也。凡母互乘子謂之齊，群母相乘謂之同。同者，相與通同共一母也。齊者，子與母齊，勢不可失本數(shù)也。容易證明，分?jǐn)?shù)系是一個稠密的數(shù)系，它對于加、乘、除三種運算是封閉的

35、。為了使得減法運算在數(shù)系內(nèi)也同行無阻，負(fù)數(shù)的出現(xiàn)就是必然的了。盈余與不足、收入與支出、增加與減少是負(fù)數(shù)概念在生活中的實例，教科書在向?qū)W生講授負(fù)數(shù)是也多循此途。這就產(chǎn)生一種誤解：似乎人類正是從這種具有相反意義的量的認(rèn)識而引進了負(fù)數(shù)的。歷史的事實表明：負(fù)數(shù)之所以最早為中算家所引進，這是由中國古代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，算法高度發(fā)達(dá)和籌算機械化的特點所決定的。負(fù)數(shù)的概念和算法首先出現(xiàn)在九章算術(shù)“方程”章，因為對“方程”進行兩行之間的加減消元時，就必須引入負(fù)數(shù)和建立正負(fù)數(shù)的運算法則。負(fù)數(shù)雖然通過阿拉伯人的著作傳到了歐洲，但16世紀(jì)和17世紀(jì)的大多數(shù)數(shù)學(xué)家并不承認(rèn)它們是數(shù)，或者即使承認(rèn)了也并不認(rèn)為它們是方程的根。負(fù)

36、數(shù)是人類第一次越過正數(shù)域的范圍，前此種種的經(jīng)驗，在負(fù)數(shù)面前全然無用。在數(shù)系發(fā)展的歷史進程中，現(xiàn)實經(jīng)驗有時不僅無用，反而會成為一種阻礙。我們將會看到，負(fù)數(shù)并不是惟一的例子。 實數(shù)理論的擴張：無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，擊碎了Pythagoras學(xué)派“萬物皆數(shù)”的美夢。同時暴露出有理數(shù)系的缺陷：一條直線上的有理數(shù)盡管是“稠密”，但是它卻漏出了許多“孔隙”，而且這種“孔隙”多的“不可勝數(shù)”。這樣，古希臘人把有理數(shù)視為是連續(xù)銜接的那種算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，就徹底的破滅了。它的破滅，在以后兩千多年時間內(nèi)，對數(shù)學(xué)的發(fā)展，起到了深遠(yuǎn)的影響。不可通約的本質(zhì)是什么？長期以來眾說紛紜。兩個不可通約量的比值也因其得不到正確的解釋，而

37、被認(rèn)為是不可理喻的數(shù)。15世紀(jì)達(dá)芬奇（Leonardo da Vinci, 1452- 1519） 把它們稱為是“無理的數(shù)”（irrational number），開普勒（J. Kepler, 1571- 1630）稱它們是“不可名狀”的數(shù)。這些“無理”而又“不可名狀”的數(shù)，找到雖然在后來的運算中漸漸被使用，但是它們究竟是不是實實在在的數(shù)，卻一直是個困擾人的問題。中國古代數(shù)學(xué)在處理開方問題時，也不可避免地碰到無理根數(shù)。對于這種“開之不盡”的數(shù)，九章算術(shù)直截了當(dāng)?shù)亍耙悦婷庇枰越邮?，劉徽注釋中的“求其微?shù)”，實際上是用10進小數(shù)來無限逼近無理數(shù)。這本是一條完成實數(shù)系統(tǒng)的正確道路，只是劉徽的思想

38、遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他的時代，而未能引起后人的重視。不過，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)關(guān)注的是數(shù)量的計算，對數(shù)的本質(zhì)并沒有太大的興趣。（李）而善于究根問底的希臘人就無法邁過這道坎了。既然不能克服它，那就只好回避它。此后的希臘數(shù)學(xué)家，如歐多克斯（Eudoxus）、歐幾里得（Euclid）在他們的幾何學(xué)里，都嚴(yán)格避免把數(shù)與幾何量等同起來。歐多克斯的比例論（見幾何原本第5卷），使幾何學(xué)在邏輯上繞過了不可公度的障礙，但就在這以后的漫長時期中，形成了幾何與算術(shù)的顯著分離。17、18世紀(jì)微積分的發(fā)展幾乎吸引了所有數(shù)學(xué)家的注意力，恰恰是人們對微積分基礎(chǔ)的關(guān)注，使得實數(shù)域的連續(xù)性問題再次突顯出來。因為，微積分是建立在極限運算基礎(chǔ)上的變

39、量數(shù)學(xué)，而極限運算，需要一個封閉的數(shù)域。無理數(shù)正是實數(shù)域連續(xù)性的關(guān)鍵。無理數(shù)是什么？法國數(shù)學(xué)家柯西（A.Cauchy,1789- 1875）給出了回答：無理數(shù)是有理數(shù)序列的極限。然而按照柯西的極限定義，所謂有理數(shù)序列的極限，意即預(yù)先存在一個確定的數(shù)，使它與序列中各數(shù)的差值，當(dāng)序列趨于無窮時，可以任意小。但是，這個預(yù)先存在的“數(shù)”，又從何而來呢？在柯西看來，有理序列的極限，似乎是先驗地存在的。這表明，柯西盡管是那個時代大分析學(xué)家，但仍未能擺脫兩千多年來以幾何直覺為立論基礎(chǔ)的傳統(tǒng)觀念的影響。變量數(shù)學(xué)獨立建造完備數(shù)域的歷史任務(wù)，終于在19世紀(jì)后半葉，由維爾斯特拉斯（Weierstrass,1815-

40、 1897）、戴德金（R.Dedekind1831- 1916）、康托（G.Cantor,1845- 1918）等人加以完成了。 實數(shù)的三大派理論本質(zhì)上是對無理數(shù)給出嚴(yán)格定義，從而建立了完備的實數(shù)域。實數(shù)域的構(gòu)造成功，使得兩千多年來存在于算術(shù)與幾何之間的鴻溝得以完全填平，無理數(shù)不再是“無理的數(shù)”了，古希臘人的算術(shù)連續(xù)統(tǒng)的設(shè)想，也終于在嚴(yán)格的科學(xué)意義下得以實現(xiàn)。 復(fù)數(shù)的擴張：復(fù)數(shù)概念的進化是數(shù)學(xué)史中最奇特的一章，那就是數(shù)系的歷史發(fā)展完全沒有按照教科書所描述的邏輯連續(xù)性。人們沒有等待實數(shù)的邏輯基礎(chǔ)建立之后，才去嘗試新的征程。在數(shù)系擴張的歷史過程中，往往許多中間地帶尚未得到完全認(rèn)識，而天才的直覺隨著

41、勇敢者的步伐已經(jīng)到達(dá)了遙遠(yuǎn)的前哨陣地。 1797年，挪威的韋塞爾（C. Wessel,1745-1818） 寫了一篇論文“關(guān)于方向的分析表示”，試圖利用向量來表示復(fù)數(shù)，遺憾的是這篇文章的重大價值直到1897年譯成法文后，才被人們重視。瑞士人阿甘達(dá)（J. Argand ,1768-1822） 給出復(fù)數(shù)的一個稍微不同的幾何解釋。他注意到負(fù)數(shù)是正數(shù)的一個擴張，它是將方向和大小結(jié)合起來得出的，他的思路是：能否利用新增添某種新的概念來擴張實數(shù)系？在使人們接受復(fù)數(shù)方面，高斯的工作更為有效。他不僅將 a+ bi 表示為復(fù)平面上的一點 ( a, b)，而且闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法和乘法。他還說，如果1, 1 和

42、原來不稱為正、負(fù)和虛單位，而稱為直、反和側(cè)單位，那么人們對這些數(shù)就可能不會產(chǎn)生種種陰暗神秘的印象。他說幾何表示可以使人們對虛數(shù)真正有一個新的看法，他引進術(shù)語“復(fù)數(shù)”（complex number）以與虛數(shù)相對立，并用 i 代替 。在澄清復(fù)數(shù)概念的工作中，愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈米爾頓（Hamilton,1805 1865） 是非常重要的。哈米爾頓所關(guān)心的是算術(shù)的邏輯，并不滿足于幾何直觀。他指出：復(fù)數(shù)a+ bi 不是 2 3意義上的一個真正的和，加號的使用是歷史的偶然，而 bi 不能加到a 上去。復(fù)數(shù)a+ bi 只不過是實數(shù)的有序數(shù)對（a，b），并給出了有序數(shù)對的四則運算，同時，這些運算滿足結(jié)合律、交換率和分配率。在這樣的觀點下，不僅復(fù)數(shù)被邏輯地建立在實數(shù)的基礎(chǔ)上，而且至今還有點神秘的 也完全消除了。 總結(jié)：回顧數(shù)系的歷史發(fā)展，似乎給人這樣一種印象：數(shù)系的每一次擴充，都是在舊的數(shù)系中添加新的元素。如分?jǐn)?shù)添加于整數(shù)，負(fù)數(shù)添加于正數(shù)，無理數(shù)添加于有理數(shù)，復(fù)數(shù)添加于實數(shù)。但是，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點認(rèn)為：數(shù)系的擴張，并不是在舊的數(shù)系中添加新元素，而是在舊的數(shù)系之外去構(gòu)造一個新的代數(shù)系，其元素在形式上與舊的可以完全不同，但是，它包含一個與舊代數(shù)系同構(gòu)的子集，這種同構(gòu)必然保持新舊代數(shù)系之間具有完全相同的代數(shù)構(gòu)造。 集合