課題數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念

1、課題：數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念汪洋濤（湖北省荊門市龍泉中學）一、教學設計1 、教學目標分析數(shù)系的擴充與復數(shù)的概念是人教版普通高中數(shù)學實驗教材選修2-2 第三章第一節(jié)的內(nèi)容，課時安排約一課時.復數(shù)的引入是中學階段數(shù)系的又一次擴充，引入復數(shù)以后，這不僅可以使學生對于數(shù)的概念有一個初步的、完整的認識，也為進一步學習數(shù)學打下基礎.通過本節(jié)課的學習，要使學生在問題情境中了解數(shù)系擴充的過程以及引入復數(shù)的必要性，學習復數(shù)的一些基本知識，體會人類理性思維在數(shù)系擴充中的作用.根據(jù)以上分析，確定教學目標如下：（ 1 ）知識與技能：理解虛數(shù)單位等概念；掌握復數(shù)相等的充要條件.（ 2）過程與方法：由經(jīng)歷解方程的運作領悟

2、引入復數(shù)的必要性，在探索復數(shù)有關概念中進一步提升合作、交流水平，在定義復數(shù)相等的探討中增強數(shù)學轉化意識.（ 3）情感、態(tài)度與價值觀：在問題情境中了解數(shù)系的擴充過程，體會實際需求與數(shù)學內(nèi)部矛盾（數(shù)的運算規(guī)則、方程求根）在數(shù)系擴充過程中的作用，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系2 、教學內(nèi)容解析復數(shù)的引入實現(xiàn)了中學階段數(shù)系的最后一次擴充新課程中復數(shù)內(nèi)容突出復數(shù)的代數(shù)表示，同時也強調(diào)了復數(shù)的幾何意義它的內(nèi)容是分層設計的：先將復數(shù)看成是有序?qū)崝?shù)對，再把復數(shù)看成是直角坐標系下平面上的點或向量，最后介紹復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義同時，復數(shù)作為一種新的數(shù)學語言，也為我們今后用代數(shù)的方法解決

3、幾何問題提供了新的工具和方法，體現(xiàn)了數(shù)形結合思想本節(jié)課的學習，一方面讓學生回憶數(shù)系擴充的過程，體會虛數(shù)引入的必要性和合理性；另一方面，讓學生理解復數(shù)的有關概念，掌握復數(shù)相等的充要條件，為今后的學習奠定基礎因此，本節(jié)課具有承前啟后的作用，是本章的重點內(nèi)容根據(jù)以上分析，本節(jié)課的教學重點確定為：（ 1 ）感受數(shù)系擴充的過程，體會引進虛數(shù)單位i 的必要性和對i 的規(guī)定；（ 2）理解復數(shù)的有關概念，掌握復數(shù)相等的充要條件3 、教學問題診斷結合學生已有的認知基礎，預測學生在學習本節(jié)內(nèi)容可能產(chǎn)生的認知障礙與學習困難：為什么要引入i ？如何引入？i 是什么？根據(jù)教與學的關系，學生的學可以促進教師的教與學教師通

4、過學習數(shù)系的擴充歷史，了解數(shù)系擴充的原則與方法，從而為虛數(shù)單位i 的引入奠定理論基礎；虛數(shù)的引入雖然最先由于數(shù)學本身的需要，但也只有當高斯用于表示一個向量的時候，復數(shù)在解決實際問題中才得到廣泛的應用，漸漸地才被大家接受因此，i 是人類理性思維的產(chǎn)物，是一種創(chuàng)造所以本節(jié)課的教學難點確定為：虛數(shù)單位i 的引入和復數(shù)概念的理解.4、教學對策分析本節(jié)課是章節(jié)起始課，在學習本節(jié)課的過程中，復數(shù)的概念如果單純地講解或介紹會顯得較為空洞無味，加之由于學生對數(shù)系擴充的知識不熟悉，對了解實數(shù)系擴充到復數(shù)系的過程有困難，也就是對虛數(shù)單位i 的引入難以理解，另外學生對虛數(shù)單位i 和實數(shù)進行四則運算也不容易接受。本節(jié)

5、課運用多媒體課件輔助教學，圖文并茂，講解數(shù)的發(fā)展簡史，增強生動性；并通過動畫演示，類比實數(shù)，從幾何意義角度認識虛數(shù)單位i,進而借助幾何圖形展示理解復數(shù)的代數(shù)形式a bi ,降低難度，便于學生接受.5、教學基本流程創(chuàng)設情景一一回顧歷史一一懸疑探究一一建構新知一一生成理論一一鞏固練習6、教學過程設計一、創(chuàng)設情景：同學們，很高興有機會和同學們一起學習，首先我想問大家?guī)讉€問題：全班共有多少人？其中男生多少？女生多少？男、女生比例多少？男生比女生多多少？設計意圖：一方面拉近與學生的距離，另一方面引出了自然數(shù)、整數(shù)、分數(shù)，從而很自然的過 渡到回顧數(shù)的發(fā)展史.二、回顧歷史：問題1數(shù)集經(jīng)歷了哪幾次擴充？（配圖

6、，穿插數(shù)的發(fā)展史相關知識）設計意圖：學生已經(jīng)學習過自然數(shù)、整數(shù)、分數(shù)、負數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)等，在此基 礎之上，幫助學生重新建構數(shù)集的擴充過程，即自然數(shù)集一整數(shù)集一有理數(shù)集一實數(shù)集，這是學 生的“最近發(fā)展區(qū)”，也是本節(jié)課知識的生長點.數(shù)學典故的講解可提高學生的興趣，讓學生更 加了解數(shù)學的本質(zhì)。問題2什么原因?qū)е聰?shù)的概念逐步擴充的？計意意圖：學生通過回憶、思考每次數(shù)集擴充的必要性，解決了哪些問題，即數(shù)集為什么要 擴充？自然數(shù)集引入 整數(shù)集 引入 有理數(shù)集引入 一實數(shù)集負整數(shù)分數(shù)無理數(shù)讓學生感受到這些數(shù)的產(chǎn)生不是從天而降，是數(shù)學內(nèi)部發(fā)展的需要，也是社會發(fā)展的需要.問題3新數(shù)集與舊數(shù)集是怎樣的關

7、系？N Z Q R/ / 一一 、設計意圖：一方面培養(yǎng)學生的觀察、概括與表達能力；另一方面通過對前幾次數(shù)集擴充的梳 理，為數(shù)系的再一次擴充以及如何擴充打好了堅實的基礎，讓學生感受到數(shù)系擴充的合理性，并 能提煉出數(shù)系擴充的一般原則.由此，突破本節(jié)課的一個難點.三、懸疑探究問題4 將10分成兩部分，使兩者的乘積為40.有這樣的兩個數(shù)嗎？設計意圖：一方面展示數(shù)學家卡當?shù)娘L采，激發(fā)學生的學習興趣；另一方面，引領學生重溫 歷史，感悟數(shù)學發(fā)現(xiàn)并不神秘，數(shù)學家也是從常規(guī)問題入手.同時為復數(shù)的引入及為什么引入和 引入的意義埋下伏筆。即60開平方問題，就是要找一個數(shù)的平方為 60,260 601，我們知道，J6

8、0已經(jīng)解決，因此問轉化為（？ ）21 ）即解方程x21.設計意圖：打破原有認知平衡，形成認知沖突，讓學生感受到數(shù)已經(jīng)不夠用了，體現(xiàn)學習新 知識的必要性.四、建構新知問題5為什么用i呢？是誰引入了 i呢？i是“虛幻的”英文單詞imaginary的第一個字母.卡當只是發(fā)現(xiàn)了這個矛盾，它的引入者是 被稱為“分析的化身”的瑞士著名數(shù)學家歐拉，引入時間公元1777年，從十六世紀到十八世紀，歷史的車輪已經(jīng)行進了兩百多年，可見科學上每一步的邁出是多么的艱辛！設計意圖：教師通過自問自答， 介紹與虛數(shù)單位i有關的歷史，激發(fā)學生興趣，強化對i的認 識，并讓學生感受到科學上每一步的邁出是多么的艱辛！問題6虛數(shù)i真的

9、那么 虛幻”？它是否跟實數(shù)一樣有意義？rqIeI1»-101-1011X(-1)=-11XiXi=-11乘-1逆時針旋轉1801乘i逆時針旋轉90進一步探究 2 i 2i,3 i 3i,( 2) i 2i.問題7虛數(shù)i與實數(shù)b相乘的幾何意義，即數(shù) bi的幾何意義是什么？數(shù)bi也落在一條數(shù)軸上(與實數(shù)數(shù)軸垂直)問題8 bi與實數(shù)a相加的幾何意義呢？復平面上的點 a,b對應a bi形式的數(shù)，點a, b唯一.設計意圖：分別類比實數(shù)賦予虛數(shù)單位i ,數(shù)bi和a bi的幾何表示，使學生更清楚的認識“虛數(shù)不虛”，很自然的引出了復數(shù)的定義，同時為復數(shù)的分類和兩個復數(shù)相等的條件等知識的出現(xiàn)打下了堅實

10、的基礎，同時也為第二節(jié)內(nèi)容作好了鋪墊五、生成理論問題9：虛數(shù)與實數(shù)構成了一個新的數(shù)集，我們把這個新的數(shù)集叫做復數(shù)集，記作C .這樣我們就完成了數(shù)系的又一次擴充.我們把新的數(shù)系稱作復數(shù)系.該怎樣用描述法表示集合 C呢？1、復數(shù)的定義：形如a bi a,b R的數(shù)，我們把它們叫做復數(shù)， 其中a叫做復數(shù)的實部，b叫做復數(shù)的虛部。C zz a bi,a,b R設計意圖：難點突破了，接下來就是本節(jié)課的而重點內(nèi)容。練一練：大家能不能構造出幾個不同類型的復數(shù)，再指出其實部和虛部?師生活動：學生快速在白紙上寫出幾個不同類型的復數(shù)，教師巡視，選有代表性兩張進行投影然后請學生說明理由,師生共同總結出復數(shù)分類的標準

11、，從而得出復數(shù)的分類.2、復數(shù)的分類:復數(shù)Za bi實數(shù)(b 0)虛數(shù)(b 0)當a0時為純虛數(shù)設計意圖：通過學生自己動手，合作探究，找到復數(shù)分類的標準，解決復數(shù)的分類問題加深對這一知識的理解.練習：判斷下列說法是否正確：(1) 一個數(shù)是實數(shù)，則這個數(shù)一定是復數(shù)；(2) 一個數(shù)是虛數(shù)，則這個數(shù)一定是純虛數(shù)；(3) 一個數(shù)有可能既是虛數(shù)，又是實數(shù)；(4) 1 2i2是虛數(shù)；(5) 3 2i的虛部是 2i ；(6) 1 bi b R是虛數(shù).六、鞏固練習例1、實數(shù)m分別取什么值時，復數(shù) z m 1 m 1 i是(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？分析：因為m R,所以m 1,m 1都是實數(shù)，由復數(shù)

12、 z a bi是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)的條件可以確定實數(shù) m的值.解：(1)當m 10,即m 1時，復數(shù)z是實數(shù)；(2)當m 1 0,即m 1時，復數(shù)z是虛數(shù)；m 1 0當，即m 1時，復數(shù)z是純虛數(shù).m 1 0練習：若x2 1 x2 3x 2 i是純虛數(shù)，則實數(shù) x=；設計意圖：及時反饋，了解學生對概念的理解情況，鞏固復數(shù)的分類的條件，特別強調(diào)純虛數(shù)滿足兩個條件.問題10：對于復數(shù)z1a bi,z2 c dia,b,c,d R 在什么情況下相 等呢?a bi c例2、已知(2x 1) idi ac且bdy (3 y)i 淇中 x, y R ,求 x, y .分析：因為x, y R,所以由兩個復數(shù)

13、相等的定義，可列出關于x,y的方程組，解這個方程 組，可求出x,y的值.解：由復數(shù)相等的條件有2x11 y解得(3 y)5 x 一2 y 4設計意圖：強化復數(shù)相等的條件和復數(shù)問題實數(shù)化的基本方法.讓學生在解決問題的過程中 內(nèi)化復數(shù)有關概念，起到及時反饋、學以致用的效果.七、歸納總結數(shù)系擴充史 史i21za bi (a,b復平面R)分類.實數(shù)b a,b取值虛數(shù)b0時為純虛數(shù)實部復數(shù)相等的充要條件a bi c di a c且b d 虛部復數(shù)集的擴充是中學階段數(shù)的最后一次擴充，后面的課我們將要解決復數(shù)的四則運算及復數(shù)的幾何意義，在解決問題的過程中要注意與實數(shù)結合，弄清它們的區(qū)別，也要抓住它們的聯(lián)系

14、隨著科學技術的不斷進步，復數(shù)理論已越來越顯示出它的重要性，它不僅對數(shù)學本身的發(fā)展有著 極其重要的意義，而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，并且在解決堤壩滲水的問 題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站(如三峽水電站)提供了重要理論依據(jù)設計意圖：通過學生總結和教師提煉，深化內(nèi)容，讓學生體會數(shù)系擴充過程中蘊含的創(chuàng)新精神和實踐能力，感受人類理性思維的作用以及數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系.既是對整節(jié)課堂教學的回顧，又能對教學效果起到及時反饋的作用，而對后續(xù)問題和復數(shù)理論重要性的概述，使學生進一步明確學習復數(shù)的意義，激發(fā)它們繼續(xù)學習的欲望.八、布置作業(yè)1、課本第106頁習題3.1A組題 1, 2, 3題

15、2、撰寫小論文(題目自擬)完成一個學習總結報告。對數(shù)發(fā)展的歷史軌跡、自己感興趣的歷史事件與人物，寫出自己 的研究報告：如如果世界沒了數(shù)、數(shù)的歷史、數(shù)的未來，可參考書籍資料、網(wǎng)絡資源等 .二、教學反思1、可取之處(1)以人為本，充分考慮學生的認知規(guī)律.從實際需求與數(shù)學內(nèi)部矛盾兩個方面發(fā)現(xiàn)數(shù)系擴充的基本特征以及通過對卡當問題的思考進而引出虛數(shù)單位i,都是從學生的角度出發(fā)，幫助學生解決頭腦中的疑問，同時注重發(fā)揮學生的主觀能動性(2)注重數(shù)學的人文價值.通過對數(shù)學史的介紹提高了學生數(shù)學學習的興趣，加強了學生數(shù)學學習的動機，轉變了數(shù)學觀念，讓學生更加了解數(shù)學的本質(zhì)(3)重視知識的生成過程 Xi的認識、復

16、數(shù)a bi形式的給出，不是采用直接給出的方式而是通過實數(shù)的意義， 借助i21引出虛數(shù)單位i的幾何意義，進一步在坐標平面上得到 a bi形式的數(shù).這樣處理不僅讓學生感到“虛數(shù)不虛”，還為后一節(jié)學習復數(shù)的幾何意義打下了堅實的基礎.2、改進之處(1)培養(yǎng)學生的學習能力不夠，特別是自主學習的能力，做的不夠.數(shù)學發(fā)展史的這些材料如果讓學生自己去搜集，那么學生對這一部分知識會有更深刻的了解(2)復數(shù)相等的充要條件是對復數(shù)概念的一個深入理解，明確了一個復數(shù)是由一對實數(shù)對 唯一確定的，這也為后續(xù)的學習埋下了伏筆.在這個概念的構建上本人還是在前面學生構造的復 數(shù)的基礎上，由學生歸納得出.因為本人思考還不夠成熟，所以在這個環(huán)節(jié)上本人的處理仍比較 生硬.三、教學點評1、抓住知識的本質(zhì)，突破難點虛數(shù)單位幾