高考專題復習第五節(jié)　空間向量及其運算

1、第五節(jié)空間向量及其運算學習要求-公眾號：新課標試卷:1.了解空間直角坐標系,會用空間直角坐標系刻畫點的位置,探索并得出空間兩點間的距離公式.2.了解空間向量的概念,了解空間向量的基本定理及其意義,掌握空間向量的正交分解及其坐標表示.3.掌握空間向量的線性運算及其坐標表示,掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示,能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量,能用向量方法證明立體幾何中有關線面位置關系的一些簡單定理.1.空間向量的有關概念名稱概念共線向量(平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相 平行或重合 的向量共面向量平行于 同一個平面 的向量共線向量定理對空間任

2、意兩個向量a,b(b0),ab存在R,使 a=b 共面向量定理若兩個向量a,b不共線,則向量p與向量a,b共面存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p= xa+yb ,x,yR空間向量基本定理定理:如果三個向量a,b,c不共面,那么對空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z使得p= xa+yb+zc ;推論:設O,A,B,C是不共面的四點,則對空間任一點P都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=12.數(shù)量積及坐標運算(1)兩個向量的數(shù)量積:a·b=|a|b|cos<a,b>ab a·b=0 (a,b為非零向量); |

3、a|2= a2 . (2)向量的坐標運算:a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3) 向量差a-b= (a1-b1,a2-b2,a3-b3) 數(shù)量積a·b= a1b1+a2b2+a3b3 共線ab a1=b1,a2=b2,a3=b3(R,b0) 垂直ab a1b1+a2b2+a3b3=0 夾角公式cos<a,b>= a1b1+a2b2+a3b3a12+a22+a32·b12+b22+b32 3.兩個重要向量(1)直線的方向向量:直線的方向向量是指和這條直線平行(或在這條直線上)的有向線段所表

4、示的向量,一條直線的方向向量有無數(shù)個.(2)平面的法向量:直線l平面,取直線l的方向向量,則這個向量叫做平面的法向量.顯然一個平面的法向量有無數(shù)個,且它們是共線向量.4.空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1,l2的方向向量分別為n1,n2l1l2n1n2 n1=n2 l1l2n1n2 n1·n2=0 直線l的方向向量為n,平面的法向量為mlnm n·m=0 lnmn=m平面,的法向量分別為n,mnmn=mnmn·m=01.判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“”).(1)空間中任意兩個非零向量a,b共面.()(2)對于向量a,b,若a·b=0,則一

5、定有a=0或b=0.()(3)若a·b<0,則<a,b>是鈍角.()(4)若a,b,c是空間的一個基底,則a,b,c中至多有一個零向量.()(5)兩個不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),則l1與l2的位置關系是平行.()(6)已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),則平面ABC的單位法向量n0=±13,-23,23.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2.(新教材人教A版選擇性必修第一冊P5T5改編)如圖,在空間四邊形OABC中,OB,AC為其對角線,M,N分別為OA,BC的中點,點G在線段M

6、N上,且MG=2GN,若OG=xOA+yOB+zOC,則x+y+z=. 答案563.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中點,N是A1B1的中點,則直線ON,AM的位置關系是. 答案垂直4.(易錯題)在空間直角坐標系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),則直線AB與CD的位置關系是. 答案平行【易錯點分析】忽視向量共線與共面的區(qū)別致誤.空間向量的線性運算1.如圖,在三棱錐O-ABC中,M,N分別是AB,OC的中點,設OA=a,OB=b,OC=c,用a,b,c表示NM

7、,則NM等于() A.12(-a+b+c)B.12(a+b-c)C.12(a-b+c)D.12(-a-b+c)答案BNM=NA+AM=(OAON)+12AB=OA12OC+12(OBOA)=12OA+12OB12OC=12(a+b-c).2.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC的中點.(1)化簡:A1O12AB12AD=; (2)用AB,AD,AA1表示OC1,則OC1=. 答案(1)A1A(2)12AB+12AD+AA1解析(1)A1O12AB12AD=A1O12(AB+AD)=A1O12AC=A1OAO=A1O+OA=A1A.(2)因為OC=12AC=1

8、2(AB+AD),所以OC1=OC+CC1=12(AB+AD)+AA1=12AB+12AD+AA1.3.如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點,試用a,b,c表示以下各向量:(1)AP;(2)MP+NC1.解析(1)P是C1D1的中點,AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+12D1C1=a+c+12AB=a+c+12b.(2)M是AA1的中點,MP=MA+AP=12A1A+AP=-12a+a+c+12b=12a+12b+c,又NC1=NC+CC1=12BC+AA1=12AD+AA1=12c+a,MP

9、+NC1=12a+12b+c+a+12c=32a+12b+32c.名師點評進行向量的線性運算,有以下幾個關鍵點(1)結合圖形,明確圖形中各線段的幾何關系;(2)正確運用向量加法、減法與數(shù)乘運算的幾何意義;(3)平面向量的三角形法則、平行四邊形法則在空間中仍然成立.共線向量、共面向量定理的應用典例1已知A,B,C三點不共線,對平面ABC外的任一點O,若點M滿足OM=13(OA+OB+OC).(1)判斷MA,MB,MC三個向量是否共面;(2)判斷點M是否在平面ABC內(nèi).解析(1)由已知得OA+OB+OC=3OM,所以OAOM=(OMOB)+(OMOC),即MA=BM+CM=MBMC,所以MA,MB

10、,MC三個向量共面.(2)由(1)知MA,MB,MC共面,又它們有公共點M,所以M,A,B,C四點共面,從而知點M在平面ABC內(nèi).名師點評1.證明點共線的方法證明點共線的問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共線的問題,如證明A,B,C三點共線,即證明AB,AC共線,亦即證明AB=AC(0).2.證明點共面的方法證明點共面的問題可轉(zhuǎn)化為證明向量共面的問題,如果證明P,A,B,C四點共面,只要能證明PA=xPB+yPC或?qū)臻g任一點O,有OA=OP+xPB+yPC或OP=uOA+vOB+wOC(u+v+w=1)即可.共面向量定理實際上也是三個非零向量所在直線共面的充要條件.1.已知a=(2,-1,3),b=(-1

11、,4,-2),c=(7,5,),若向量a,b,c共面,則實數(shù)等于() A.627B.637C.647D.657答案D因為向量a,b,c共面,所以由共面向量基本定理得存在唯一有序?qū)崝?shù)對(x,y)使得xa+yb=c,所以2x-y=7,-x+4y=5,3x-2y=,解方程組得=657.2.如圖,已知M、N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心,G為AM上一點,且GMGA=13.求證:B、G、N三點共線.證明設AB=a,AC=b,AD=c,則BG=BA+AG=BA+34AM=-a+14(a+b+c)=-34a+14b+14c,BN=BA+AN=BA+13(AC+AD)=-a+13b+13c=4

12、3BG,BNBG,即B、G、N三點共線.空間向量數(shù)量積的應用典例2如圖所示,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1,點E,F,G分別是AB,AD,CD的中點.計算:(1)EF·BA;(2)EG·BD.解析設AB=a,AC=b,AD=c.由題意得|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°.(1)EF=12BD=12(ADAB)=12c-12a,BA=-a,所以EF·BA=12c-12a·(-a)=12a2-12a·c=14.(2)EG·BD=(EA+AD

13、+DG)·(ADAB)=-12AB+AD+AG-AD·(ADAB)=-12AB+12AC+12AD·(ADAB)=-12a+12b+12c·(c-a)=12×1×1×12+1×1×12+1+11×1×121×1×12=12.變式1在本例條件下,求證:EGAB.證明由典例2知EG=12(AC+ADAB)=12(b+c-a),所以EG·AB=12(a·b+a·c-a2)=12×1×1×12+1×1&#

14、215;12-1=0.故EGAB,即EGAB.變式2在本例條件下,求EG的長.解析由典例2知EG=12a+12b+12c,所以|EG|2=14a2+14b2+14c2-12a·b+12b·c-12c·a=12,解得|EG|=22,即EG的長為22.變式3在本例條件下,求異面直線AG與CE所成角的余弦值.解析易知AG=12b+12c,CE=CA+AE=-b+12a,所以cos<AG,CE>=AG·CE|AG|CE|=23,因為異面直線所成角的范圍是0,2.所以異面直線AG與CE所成角的余弦值為23.名師點評空間向量數(shù)量積的3個應用求夾角設向量a

15、,b的夾角為,則cos =a·b|a|b|,進而可求兩異面直線所成的角求長度(距離)利用公式|a|2=a·a,可將線段長度的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題解決垂直問題利用aba·b=0(a0,b0),可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題1.如圖,已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為1的正方形,AA1=2,A1AB=A1AD=120°.(1)求線段AC1的長;(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值;(3)求證:AA1BD.解析(1)設AB=a,AD=b,AA1=c,則|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=

16、0,c·a=c·b=2×1×cos 120°=-1.AC1=AC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c,|AC1|=|a+b+c|=(a+b+c)2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=12+12+22+2×(0-1-1)=2.線段AC1的長為2.(2)設異面直線AC1與A1D所成的角為,AC1=a+b+c,A1D=b-c,AC1·A1D=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-c2=0+1+12-22=-2,|A1D|=(b-c

17、)2=|b|2-2b·c+|c|2=12-2×(-1)+22=7.cos =|AC1·A1D|AC1|A1D|=|-2|2×7=147.故異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為147.(3)證明:AA1=c,BD=b-a,AA1·BD=c·(b-a)=c·b-c·a=(-1)-(-1)=0,AA1BD,即AA1BD.2.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點A為端點的三條棱長度都為1,且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長;(2)求BD1與AC夾角的余弦值.解析(1)設AB=a,AD=b,

18、AA1=c,由題意知|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°,a·b=b·c=c·a=12.|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×12+12+12=6,|AC1|=6,即AC1的長為6.(2)BD1=b+c-a,AC=a+b,|BD1|=2,|AC|=3,又BD1·AC=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1,cos<BD1,A

19、C>=BD1·AC|BD1|AC|=66.即BD1與AC夾角的余弦值為66.利用空間向量證明平行、垂直角度一利用空間向量證明平行問題典例3如圖,在四面體ABCD中,AD平面BCD,BCCD,AD=2,BD=22,M是AD的中點,P是BM的中點,點Q在線段AC上,且AQ=3QC.證明:PQ平面BCD.證明如圖,取BD的中點O,以O為原點,OD,OP所在直線分別為y軸,z軸,過O點垂直于平面yOz的直線為x軸,建立空間直角坐標系O-xyz.由題意知,A(0,2,2),B(0,-2,0),D(0,2,0).設點C的坐標為(x0,y0,0),點Q的坐標為(x,y,z),則AQ=(x,y

20、-2,z-2),QC=(x0-x,y0-y,-z),因為AQ=3QC,所以(x,y-2,z-2)=3(x0-x,y0-y,-z),所以Q34x0,24+34y0,12.因為M為AD的中點,所以M(0,2,1).又P為BM的中點,故P0,0,12,所以PQ=34x0,24+34y0,0.又平面BCD的一個法向量為DM=(0,0,1),PQ·DM=0,所以PQDM,又PQ平面BCD,所以PQ平面BCD.角度二利用空間向量證明垂直問題典例4如圖,在三棱錐P-ABC中,AB=AC,D為BC的中點,PO平面ABC,垂足O落在線段AD上.已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.(1)證明:A

21、PBC;(2)若點M是線段AP上一點,且AM=3.證明:平面AMC平面BMC.證明(1)以O為坐標原點,OD,OP所在直線分別為y軸,z軸,過點O且垂直于平面DOP的直線為x軸,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz.則O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4).于是AP=(0,3,4),BC=(-8,0,0),所以AP·BC=(0,3,4)·(-8,0,0)=0,所以APBC,即APBC.(2)由(1)知AP=|AP|=5,又AM=3,且點M在線段AP上,所以AM=35AP=0,95,125,又BA=(-4,-5,0),所

22、以BM=BA+AM=-4,-165,125,則AP·BM=(0,3,4)·-4,-165,125=0,所以APBM,即APBM,又根據(jù)(1)的結論知APBC,且BCBM=B,所以AP平面BMC,所以AM平面BMC.又AM平面AMC,故平面AMC平面BMC.名師點評利用空間向量證明垂直、平行的一般步驟(1)建立空間直角坐標系,建系時要盡可能地利用條件中的垂直關系;(2)建立空間圖形與空間向量之間的關系,用空間向量表示出問題中所涉及的點、直線、平面的要素;(3)通過空間向量的運算求出直線的方向向量或平面的法向量,再研究平行、垂直關系;(4)根據(jù)運算結果解釋相關問題.提醒運用向量

23、知識判定空間位置關系時,仍然離不開幾何定理.如用直線的方向向量與平面的法向量垂直來證明線面平行時,仍需強調(diào)直線在平面外.1.(2019河北衡水模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是邊長為a的正方形,側面PAD底面ABCD,且PA=PD=22AD,設E,F分別為PC,BD的中點.求證:(1)EF平面PAD;(2)平面PAB平面PDC.證明(1)如圖,取AD的中點O,連接OP,OF.因為PA=PD,所以POAD.又側面PAD底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,PO平面PAD,所以PO平面ABCD.又O,F分別為AD,BD的中點,所以OFAB.又四邊形ABCD是正方形,所以OFA

24、D.因為PA=PD=22AD,所以PAPD,OP=OA=a2.以O為坐標原點,OA,OF,OP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系O-xyz,則Aa2,0,0,F0,a2,0,D-a2,0,0,P0,0,a2,Ba2,a,0,C-a2,a,0.因為E為PC的中點,所以E-a4,a2,a4.易知平面PAD的一個法向量為OF=0,a2,0,因為EF=a4,0,-a4,OF·EF=0,a2,0·a4,0,-a4=0.且EF平面PAD,所以EF平面PAD.(2)因為PA=a2,0,-a2,CD=(0,-a,0),所以PA·CD=a2,0,-a2·(0

25、,-a,0)=0,所以PACD,所以PACD.又PAPD,PDCD=D,PD,CD平面PDC,所以PA平面PDC.又PA平面PAB,所以平面PAB平面PDC.2.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,側棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點,過點E作EFPB于點F.求證:(1)PA平面EDB;(2)PB平面EFD.證明以D為坐標原點,直線DA,DC,DP分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.設DC=a.(1)連接AC交BD于點G,連接EG.依題意得A(a,0,0),P(0,0,a),C(0,a,0),E0,a2,a2.因為底面ABCD是正方形

26、,所以G為AC的中點,故點G的坐標為a2,a2,0,所以PA=(a,0,-a),EG=a2,0,-a2,則PA=2EG,故PAEG.又EG平面EDB,PA平面EDB,所以PA平面EDB.(2)依題意得B(a,a,0),D(0,0,0),所以PB=(a,a,-a),DE=0,a2,a2,故PB·DE=0+a22a22=0,所以PBDE,所以PBDE.又EFPB,EFDE=E,所以PB平面EFD.A組基礎達標1.在空間四邊形ABCD中,AB·CD+AC·DB+AD·BC=()A.-1B.0C.1D.不確定答案B2.(2019甘肅天水期末)已知A(x,5-x,

27、2x-1),B(1,x+2,2-x),當|AB|取最小值時,x的值為()A.19B.-87C.87D.1914答案C3.已知空間內(nèi)有任意一點O和不共線的三點A,B,C,若OP=xOA+yOB+zOC(x,y,zR),則“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四點共面”的()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案B4.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O為坐標原點,OA+OB與OB的夾角為120°,則的值為()A.±66B.66C.-66D.±6答案C5.(多選題)已知ABCD-A1B1C1D1為正方體,則下列說法

28、正確的是()A.(A1A+A1D1+A1B1)2=3(A1B1)2B.A1C·(A1B1A1A)=0C.向量AD1與向量A1B的夾角是60°D.正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|AB·AA1·AD|答案AB由向量的加法得到A1A+A1D1+A1B1=A1C,A1C2=3A1B12,A1C2=3A1B12,故A說法正確;A1B1A1A=AB1,AB1A1C,A1C·AB1=0,故B說法正確;ACD1是等邊三角形,AD1C=60°,又A1BD1C,異面直線AD1與A1B所成的角為60°,但是向量AD1與向量A1B的夾角是

29、120°,故C說法錯誤;ABAA1,AB·AA1=0,故|AB·AA1·AD|=0,因此D說法錯誤.故選AB.6.已知O(0,0,0),A(-2,2,-2),B(1,4,-6),C(x,-8,8),若OCAB,則x=;若O,A,B,C四點共面,則x=. 答案16;87.三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分別是A1B,B1C1上的點,且BM=2A1M,C1N=2B1N.設AB=a,AC=b,AA1=c.(1)用a,b,c表示向量MN為; (2)若BAC=90°,BAA1=CAA1=60°,AB=AC=AA1=1,則

30、MN的長為. 答案(1)13a+13b+13c(2)538.已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1).有如下結論:APAB;APAD;AP是平面ABCD的法向量;APBD.其中正確的是.(只填序號) 答案解析因為AB·AP=0,AD·AP=0,所以ABAP,ADAP,所以結論正確;又AB與AD不平行,所以AP是平面ABCD的法向量,所以結論正確;因為BD=ADAB=(2,3,4),AP=(-1,2,-1),所以BD與AP不平行,所以結論錯誤.9.如圖,在四棱柱ABCD-A1B1

31、C1D1中,底面ABCD是平行四邊形,E,F,G分別是A1D1,D1D,D1C1的中點.(1)試用向量AB,AD,AA1表示AG;(2)用向量方法證明平面EFG平面AB1C.解析(1)設AB=a,AD=b,AA1=c,則AG=AA1+A1D1+D1G=c+b+12DC=12a+b+c=12AB+AD+AA1.(2)證明:AC=AB+BC=a+b,EG=ED1+D1G=12b+12a=12AC,EG與AC無公共點,EGAC,EG平面AB1C,AC平面AB1C,EG平面AB1C.又AB1=AB+BB1=a+c,FG=FD1+D1G=12c+12a=12AB1,FG與AB1無公共點,FGAB1,FG

32、平面AB1C,AB1平面AB1C,FG平面AB1C.又FGEG=G,FG平面EFG,EG平面EFG,平面EFG平面AB1C.B組能力拔高10.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱長為2,底面邊長為1,M為BC的中點,C1N=NC,且AB1MN,則的值為. 答案15解析如圖所示,取B1C1的中點P,連接MP,以M為坐標原點,MC,MA,MP的方向分別為x軸,y軸,z軸正方向建立空間直角坐標系M-xyz.因為底面邊長為1,側棱長為2,所以A0,32,0,B1-12,0,2,C12,0,0,C112,0,2,M(0,0,0),設N12,0,t,則AB1=-12,-32,2,C1N=(0,

33、0,t-2),NC=(0,0,-t),因為C1N=NC,所以N12,0,21+,所以MN=12,0,21+.又因為AB1MN,所以AB1·MN=0,所以-14+41+=0,解得=15.11.(2019甘肅蘭州模擬)已知V為矩形ABCD所在平面外一點,且VA=VB=VC=VD,VP=13VC,VM=23VB,VN=23VD,則VA與平面PMN的位置關系是. 答案平行解析如圖,設VA=a,VB=b,VC=c,則VD=a+c-b.由題意知PM=VMVP=23VB13VC=23b-13c,PN=VNVP=23VD13VC=23a-23b+13c,因此VA=32PM+32PN,VA,

34、PM,PN共面.又VA平面PMN,VA平面PMN.12.如圖,三棱錐P-ABC中,PA·AB=PA·AC=AB·AC=0,PA2=AC2=4AB2.(1)求證:AB平面PAC;(2)若M為線段PC上的點,設|PM|PC|=,當為何值時,直線PC平面MAB?解析(1)證明:因為PA·AB=PA·AC=AB·AC=0,所以PAAB,ABAC,因為PAAC=A,所以AB平面PAC.(2)當M為PC的中點,即=12時,直線PC平面MAB.如圖,以A為坐標原點,射線AC,AB,AP分別為x軸,y軸,z軸的正半軸,建立空間直角坐標系A-xyz.由

35、PA2=AC2=4AB2可得PA=AC=2AB.設AP=2,則P(0,0,2),A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,1,0),M(1,0,1).PC=(2,0,-2),AM=(1,0,1),MB=(-1,1,-1).PC·AM=2×1+0×0+(-2)×1=0,所以PCAM,即PCAM.PC·MB=2×(-1)+0×1+(-2)×(-1)=0,所以PMB,即PCBM.又因為AMBM=M,所以PC平面MAB.故當=12時,PC平面MAB.C組思維拓展13.如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都等于2,ABC和A1AC均為60°,平面AA1C1C平面ABCD.(1)求證:BDAA1;(2)判斷直線CC1上是否存在點P,使BP平面DA1C1,若存在,求出點P的位置;若不存在,請說明理由.解析(1)證明:設BD與AC交于點O,則BDAC,連接A1O,在AA1O中,AA1=2,AO=1,A1AO=60°,A1O2=