高考專題復(fù)習(xí)第一節(jié)　空間幾何體及其表面積與體積

1、第七章立體幾何第一節(jié)空間幾何體及其表面積與體積學(xué)習(xí)要求-公眾號：新課標(biāo)試卷:1.認識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式,能用公式解決簡單的實際問題.3.會用斜二測法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等)的直觀圖.1.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征:多面體結(jié)構(gòu)特征棱柱有兩個面 互相平行 ,其余各面都是四邊形且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行棱錐有一個面是多邊形,而其余各面都是有一個 公共頂點 的三角形棱臺棱錐被 平行于 底面的平面所截,截面和底面之間的部分叫做棱臺(2)

2、旋轉(zhuǎn)體的形成:幾何體旋轉(zhuǎn)圖形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形矩形一邊所在的直線或?qū)呏悬c連線所在的直線圓錐直角三角形或等腰三角形一直角邊所在的直線或等腰三角形底邊上的高所在的直線圓臺直角梯形或等腰梯形直角腰所在的直線或等腰梯形上下底中點連線所在的直線球半圓或圓直徑所在的直線2.直觀圖(1)畫法:斜二測畫法.(2)規(guī)則:a.原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中,x軸與y軸的夾角為 45°(或135°) ,z軸垂直于x軸和y軸所在的平面. b.原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段,直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.原圖形中平行于x軸或z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變,原圖形中平行于y軸的線段的長度

3、在直觀圖中變?yōu)?原來的一半 . 3.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)= 2rl S圓錐側(cè)= rl S圓臺側(cè)= (r+r)l 4.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積=S側(cè)+2S底V= S底h 錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S側(cè)+S底V= 13S底h 臺體(棱臺和圓臺)S表面積=S側(cè)+S上+S下V=13(S上+S下+S上S下)h球S= 4R2 V= 43R3 知識拓展1.原圖形與直觀圖面積的關(guān)系按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖與原圖形面積的關(guān)系:S直觀圖=24S原圖形.2.幾個與球切、接有關(guān)的結(jié)論(

4、1)正方體的棱長為a,球的半徑為R,(i)若球為正方體的外接球,則2R=3a;(ii)若球為正方體的內(nèi)切球,則2R=a;(iii)若球與正方體的各棱相切,則2R=2a.(2)長方體的共頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=a2+b2+c2.(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為31.1.判斷正誤(正確的打“”,錯誤的打“”).(1)有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()(2)菱形的直觀圖仍是菱形.()(3)錐體的體積等于底面積與高之積.()答案(1)(2)(3)2.(新教材人教A版必修第二冊P119T1改編)已知圓錐的表面積等于12 cm2,其側(cè)面展開

5、圖是一個半圓,則底面圓的半徑為()A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.32 cm答案B3.(易錯題)如圖,長方體ABCD-ABCD中被截去一部分,其中EHAD.剩下的幾何體是()A.棱臺B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱答案C【易錯點分析】棱柱的概念不清致誤.4.(2020課標(biāo),3,5分)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積,則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()A.5-14B.5-12C.5+14D.5+12答案C5.(2020浙江臺州五校聯(lián)考)圓錐和圓柱的底面半徑和高都是R,則圓錐

6、的表面積和圓柱的表面積之比為()A.(2+1)4B.22C.12D.(2+1)2答案A6.如圖,將一個長方體用過相鄰三條棱的中點的平面截出一個棱錐,則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為. 答案1477.(易錯題)圓柱的側(cè)面展開圖是相鄰邊長分別為6和4的矩形,則該圓柱的表面積為. 答案6(4+3)或8(3+1)【易錯點分析】不會分類討論致誤.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征1.給出下列命題:在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線;直角三角形繞其任意一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐;棱臺的上、下底面可以不相似,但側(cè)棱長一定相等.其中正確命題的個數(shù)是()

7、A.0B.1C.2D.3答案A不一定,只有當(dāng)這兩點的連線垂直于底面時才是母線;不一定,當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐.如圖所示,它是由兩個同底圓錐組成的幾何體;錯誤,棱臺的上、下底面相似且對應(yīng)邊互相平行.棱臺的各側(cè)棱延長線交于一點,但是這些側(cè)棱的長不一定相等.2.下列命題正確的是()A.兩個面平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺B.兩個面平行且相似,其余各面都是梯形的多面體是棱臺C.直角梯形以一條直角腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓臺D.用平面截圓柱得到的截面只能是圓或矩形答案C根據(jù)A、B選項作出反例如圖所示,可知A、B選項錯

8、誤.對于D選項,只有截面與圓柱的母線平行或垂直時,截得的截面才為矩形或圓,否則截面為橢圓或橢圓的一部分,故選C.3.(多選題)給出下列命題,其中真命題是()A.棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面都是全等的平行四邊形B.若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則其三個側(cè)面也兩兩垂直C.在四棱柱中,若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面,則該四棱柱為直四棱柱D.存在每個面都是直角三角形的四面體答案BCDA不正確,根據(jù)棱柱的定義,棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形,但不一定全等;B正確,若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,則三個側(cè)面構(gòu)成的三個二面角都是直二面角;C正確,因為兩個過相對側(cè)棱的截面相互平行或它們的交線平行于側(cè)棱,又兩個截面都垂直

9、于底面,故該四棱柱為直四棱柱;D正確,如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC,四個面都是直角三角形.名師點評空間幾何體概念辨析問題的常用方法空間幾何體的直觀圖典例1等腰梯形ABCD中,上底CD=1,腰AD=腰CB=2,下底AB=3,以下底所在直線為x軸,用斜二測畫法畫出的直觀圖ABCD的面積為. 答案22名師點評原圖形與直觀圖中的“三變”與“三不變”(1)“三變”坐標(biāo)軸的夾角改變與y軸平行的線段的長度改變(減半)圖形改變(2)“三不變”平行性不變與x軸、z軸平行的線段長度不變相對位置不變?nèi)鐖D,矩形OABC是水平放置的一個平面圖形的直觀圖,其中OA=6 cm,OC

10、=2 cm,則原圖形是() A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四邊形答案C空間幾何體的表面積典例2(1)(2020四川瀘州一診)在梯形ABCD中,ABC=2,ADBC,BC=2AD=2AB=2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為()A.(5+2)B.(4+2)C.(5+22)D.(3+2)(2)(2020河南周口模擬)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1底面ABC,ABBC,AA1=AC=2,直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為30°,則該三棱柱的側(cè)面積為()A.4+42B.4+43C.12D.8+42答案(1)A(2)A解析(

11、1)在梯形ABCD中,ABC=2,ADBC,BC=2AD=2AB=2,將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為AB=1,高為BC=2的圓柱挖去一個底面半徑為AB=1,高為BC-AD=2-1=1的圓錐,該幾何體的表面積S=×12+2×1×2+×1×12+12=(5+2).故選A.(2)連接A1B.因為AA1底面ABC,則AA1BC,又ABBC,AA1AB=A,所以BC平面AA1B1B,所以直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為CAB,CA1B=30°.又AA1=AC=2,所以A1C=22,BC=2

12、.又ABBC,則AB=2,則該三棱柱的側(cè)面積為22×2+2×2=4+42.名師點評求解幾何體表面積的類型及求法求多面體的表面積只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形,利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積求旋轉(zhuǎn)體的表面積可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手,將其展開后求表面積,但要清楚它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系求不規(guī)則幾何體的表面積通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體,先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積,再通過求和或作差,求出所給幾何體的表面積1.(2020廣東東莞模擬)在一個圓柱內(nèi)挖去一個圓錐,圓錐的底面與圓柱的上底面重合,頂點是圓

13、柱下底面中心.若圓柱的軸截面是邊長為2的正方形,則圓錐的側(cè)面展開圖的面積為()A.5B.6C.3D.4答案A圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為5,弧長為2的扇形,其面積S=12l·r=12(2·1)×5=5,所以圓錐的側(cè)面展開圖面積為5.2.(2020浙江杭州第四中學(xué)模擬)在底面半徑為2,母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為3的圓柱,則圓柱的表面積為. 答案(2+23)解析設(shè)圓錐的底面半徑為R,圓柱的底面半徑為r,表面積為S.底面半徑為2,母線長為4的圓錐的高為16-4=23,則圓柱的上底面為中截面,可得r=1,2S圓柱底=2,S圓柱側(cè)=23,S=(2+23).空間幾何

14、體的體積角度一直接利用公式求體積典例3(2020江蘇,9,5分)如圖,六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm,高為2 cm,內(nèi)孔半徑為0.5 cm,則此六角螺帽毛坯的體積是cm3. 答案1232解析此六角螺帽毛坯的體積V=V正六棱柱-V圓柱=6×34×22×214×2=123-2cm3.角度二利用割補法求體積典例4(1)(2019課標(biāo),16,5分)學(xué)生到工廠勞動實踐,利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體,其中O為長方體的中心,

15、E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB=BC=6 cm,AA1=4 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3.不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量為g. (2)如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且ADE,BCF均為正三角形,EFAB,EF=2,則該多面體的體積為. 答案(1)118.8(2)23解析(1)依題意,知該模型是長方體中挖去一個四棱錐,故其體積V=V長方體-V四棱錐=6×6×4-13×12×4×6×3=132(cm3).又該模型的原料密度為0.9 g/cm3,故

16、制作該模型所需原料的質(zhì)量為0.9×132=118.8(g).(2)如圖,分別過點A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH,易得EG=HF=12,AG=GD=BH=HC=32,則BHC中,BC邊上的高h=22.SAGD=SBHC=12×22×1=24,V多面體=VE-ADG+VF-BHC+VAGD-BHC=2VE-ADG+VAGD-BHC=13×24×12×2+24×1=23.角度三等體積法求體積典例5如圖所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1,且AA1底面ABC,則三棱錐B1-ABC1的體積為()

17、A.312B.34C.612D.64答案A在ABC中,BC邊上的高為32,即三棱錐A-BB1C1的高為32,又易知SBB1C1=12,故VB1-ABC1=VA-BB1C1=13×32×12=312.角度四求球的表面積、體積典例6(2020浙江杭州第四中學(xué)模擬)如果兩個球的體積之比為827,那么這兩個球的表面積之比為()A.827B.23C.49D.29答案C設(shè)兩個球的半徑分別為r,R,由條件知43r343R3=rR3=827,故rR=23,于是兩球?qū)?yīng)的表面積之比為4r24R2=rR2=49.故選C.名師點評1.處理體積問題的思路(1)“轉(zhuǎn)”:指的是轉(zhuǎn)換底面與高,將原來不易

18、求面積的底面轉(zhuǎn)換為易求面積的底面,或?qū)⒃瓉聿灰卓闯龅母咿D(zhuǎn)換為易看出并易求解的高.(2)“拆”:指的是將一個不規(guī)則的幾何體拆成幾個簡單的幾何體,便于計算.(3)“拼”:指的是將小幾何體嵌入一個大幾何體中,如將一個三棱錐復(fù)原成一個三棱柱,將一個三棱柱復(fù)原成一個四棱柱,這些都是拼補的方法.2.求空間幾何體的體積的常用方法(1)公式法:對于規(guī)則幾何體的體積問題,可以直接利用公式進行求解.(2)割補法:把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體,然后進行體積計算;或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體,不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體,便于計算其體積.(3)等體積法:一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化,其體積總是不變的.當(dāng)一個

19、幾何體的底面面積和高較難求解時,我們可以采用等體積法進行求解.等體積法也稱等積轉(zhuǎn)化或等積變形,它是通過選擇合適的底面來求幾何體體積的一種方法,多用來解決有關(guān)錐體的體積,特別是求三棱錐的體積.1.如圖,正四棱錐P-ABCD的底面邊長為23 cm,側(cè)面積為83 cm2,則它的體積為cm3. 答案4解析記正四棱錐P-ABCD的底面中心為點O,棱AB的中點為H,連接PO,HO,PH,則PO平面ABCD,因為正四棱錐的側(cè)面積為83 cm2,所以83=4×12×23×PH,解得PH=2.在RtPHO中,HO=3且PH=2,則PO=1,所以VP-ABCD=13

20、3;S正方形ABCD·PO=4 cm3.2.如圖,在多面體ABCDEFG中,AB,AC,AD兩兩垂直,平面ABC 平面DEFG,平面BEF平面ADGC,AB=AD=DG=2,AC=EF=1,則該多面體的體積為. 答案4解析(分割法)由題意知幾何體有兩對相對面互相平行,如圖所示,過點C作CHDG于H,連接EH,即把多面體分割成一個直三棱柱DEH-ABC和一個斜三棱柱BEF-CHG.由題意,易知V三棱柱DEH-ABC=SDEH×AD=12×2×1×2=2,V三棱柱BEF-CHG=SBEF×DE=12×2×1&

21、#215;2=2.故V多面體ABCDEFG=2+2=4.3.如圖,已知體積為V的三棱柱ABC-A1B1C1,P是棱B1B上除B1,B以外的任意一點,則四棱錐P-AA1C1C的體積為(用V表示). 答案2V3解析如圖,把三棱柱ABC-A1B1C1補成平行六面體A1D1B1C1-ADBC.設(shè)P到平面AA1C1C的距離為h,則VP-AA1C1C=13S四邊形AA1C1C·h=13VAA1C1C-DD1B1B=13·2VABC-A1B1C1=2V3.微專題球與幾何體的切接問題球與其他幾何體的切接問題,是近幾年高考的熱點,這種題目幾乎在各省高考試題中都有涉及,主要考查學(xué)生直

22、觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng).幾何體的外接球(2019課標(biāo)理,12,5分)已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,ABC是邊長為2的正三角形,E,F分別是PA,AB的中點,CEF=90°,則球O的體積為() A.86B.46C.26D.6答案DE、F分別是PA、AB的中點,EFPB.CEF=90°,EFEC,PBEC,又三棱錐P-ABC為正三棱錐,PBAC,從而PB平面PAC,三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩垂直.ABC是邊長為2的正三角形,PA=PB=PC=2,則球O是棱長為2的正方體的外接球,設(shè)球O的半徑為R,則2R=3×2,R=62,球O的

23、體積V=43R3=6.故選D.一個多面體的頂點都在球面上即為球的外接問題,解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點,即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.1.(2020貴州貴陽四校模擬)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1面ABC,BAC=23,AA1=4,AB=AC=23,則三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的表面積為()A.32B.48C.64D.72答案CAB=AC=23且BAC=23,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos 23=36,BC=6,由正弦定理可得,ABC的外接圓半徑r=BC2sinBAC=62sin23=23,三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半徑R=r2+

24、12AA12=12+4=4,外接球表面積S=4R2=64.2.(2020天津,5,5分)若棱長為23的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為()A.12B.24C.36D.144答案C設(shè)外接球的半徑為R,正方體的體對角線為外接球的直徑,所以3×23=2R,解得R=3,所以該球的表面積為4R2=36.故選C.3.(2020江西南昌二中模擬)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=a,AA1=h,若該三棱柱內(nèi)接于球O,且三棱錐O-ABC的體積為34a,則球O的表面積的最小值為()A.163B.83C.43D.23答案B如圖所示,由題知,該三棱柱內(nèi)接于一球O,D為ABC的外心,連接O

25、B,OD,BD,三棱錐O-ABC的體積為34a,即V=13×12×a×32a×2=34a,所以ah=6,因為三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱,所以O(shè)B2=OD2+BD2=22+32a×2322×2×a3=a3=23,又OB為球O的半徑,即R223,所以球O的表面積的最小值Smin=4Rmin2=83.故選B.幾何體的內(nèi)切球(2020課標(biāo)理,15,5分)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為. 答案23解析如圖為圓錐內(nèi)球半徑最大時的軸截面圖.其中球心為O,設(shè)其半徑為r,AC=3,O1C

26、=1,AO1=AC2-O1C2=22.OO1=OM=r,AO=AO1-OO1=22-r,又AMOAO1C,OMO1C=AOAC,即r1=22-r3,故3r=22-r,r=22.該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積V=43×223=23.求解多面體的內(nèi)切球問題,一般是將多面體分割為以內(nèi)切球球心為頂點,多面體的各側(cè)面為底面的棱錐,利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑.名師點評解決與球有關(guān)的切、接問題,其通法是作截面,將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解,其解題的思維流程是:1.(2020重慶第一中學(xué)模擬)阿基米德(公元前287年公元前212年),偉大的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家和物理學(xué)

27、家,他死后的墓碑上刻著一個“圓柱容球”的立體幾何圖形,為紀(jì)念他發(fā)現(xiàn)“軸截面為正方形的圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的23,且球的表面積也是圓柱表面積的23”這一完美的結(jié)論.已知某圓柱的軸截面為正方形,其表面積為24,則該圓柱的內(nèi)切球體積為()A.43B.16C.163D.323答案D設(shè)圓柱的底面半徑為r,則其母線長l=2r,因為圓柱的表面積S圓柱表=2r2+2rl,所以2r2+2r×2r=24,解得r=2.因為圓柱的體積V圓柱=Sh=r2·2r,所以V圓柱=×2×23=16,由題知,圓柱內(nèi)切球的體積是圓柱體積的23,所以所求圓柱內(nèi)切球的體積V=23V圓柱=2

28、3×16=323.故選D.2.如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則V1V2的值是. 答案32解析設(shè)圓柱內(nèi)切球的半徑為R,則由題設(shè)可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R,高為2R,V1V2=R2·2R43R3=32.3.(2020天津部分區(qū)聯(lián)考)圓柱的體積為34,底面半徑為32,若該圓柱的兩個底面的圓周在同一個球的球面上,則該球的體積為. 答案43解析設(shè)圓柱的高為h,圓柱體積為34,底面半徑為32,×322×=34,解得h=1,設(shè)球的半徑為R,則(2R)2=(

29、3)2+12,可得R=1,球的體積為43R3=43.A組基礎(chǔ)達標(biāo)1.下列命題中真命題的個數(shù)是()由五個面圍成的多面體只能是四棱錐;用一個平面去截棱錐便可得到棱臺;僅有一組對面平行的五面體是棱臺;棱錐的側(cè)棱長都相等.A.0B.1C.2D.3答案A2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為1,點M在線段BC上(點M異于B,C兩點),點N為線段CC1的中點,若平面AMN截正方體ABCD-A1B1C1D1所得的截面為四邊形,則線段BM的取值范圍是()A.0,13B.0,12C.12,1D.12,23答案B3.已知正ABC的邊長為a,那么ABC的平面直觀圖ABC的面積為()A.34a2B.38a2

30、C.68a2D.616a2答案D4.(2020浙江寧波四中月考)已知圓錐底面半徑為1,其側(cè)面展開圖是半圓,則圓錐的體積為()A.23B.33C.2D.3答案B5.(2020湖北荊州北門中學(xué)期末)體積為8的正方體的頂點都在同一球面上,則該球面的表面積為()A.12B.323C.8D.4答案A6.(多選題)已知某圓柱的側(cè)面展開圖是長和寬分別為2a,a的矩形,設(shè)該圓柱的體積為V,則V=()A.a3B.a32C.2a3D.a32答案AB7.(多選題)(2020山東濰坊模擬)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,已知平面AC1,則關(guān)于截此正方體所得截面的判斷正確的是()A.截面形狀可能為正三角形B

31、.截面形狀可能為正方形C.截面形狀可能為正六邊形D.截面面積最大值為33答案ACD如圖,易知A,C正確,B不正確,下面說明D正確,如圖,截面為正六邊形,六邊形的頂點均為棱的中點時,其面積最大,MN=22,GH=2,OE=OO'2+O'E2=1+222=62,所以S=2×12×(2+22)×62=33,故D正確.故選ACD.8.(2020湖北鄂東南省級示范高中教學(xué)改革聯(lián)盟模擬)已知在三棱錐C-ABD中,ABD是等邊三角形,BCCD,平面ABD平面BCD,若該三棱錐的外接球表面積為4,則AC=()A.32B.62C.3D.32答案C根據(jù)題意,畫出圖形,

32、取BD的中點F,連接CF,AF,設(shè)該外接球球心為O,半徑為R,根據(jù)題意,有4R2=4,解得R=1,根據(jù)題意,可知球心O為正三角形ABD的中心,連接OD,所以O(shè)D=1,AO=1,OF=12,所以正三角形ABD的邊長為3,因為BCCD,所以CF=12BD=32,因為平面ABD平面BCD,所以AFC=2,所以AC=CF2+AF2=34+94=3.9.2021年1月“八省(市)聯(lián)考”圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上,其上、下底面半徑分別為4和5,則該圓臺的體積為. 答案61解析截面圖如圖所示,因為圓臺的下底面半徑為5,球的直徑為10,所以圓臺的下底面圓心與球心重合,所以O(shè)C=O

33、B=5,O'C=4,OO'C=2,則圓臺的高為3,故其體積V=13h(S1+S1S2+S2)=25+20+16=61.10.(2020浙江,14,4分)已知圓錐的側(cè)面積(單位:cm2)為2,且它的側(cè)面展開圖是一個半圓,則這個圓錐的底面半徑(單位:cm)是. 答案1解析設(shè)圓錐的底面半徑為r cm,母線長為l cm,如圖.由題意可得S側(cè)=rl=2,2r=l,r=1.故圓錐的底面半徑為1 cm.B組能力拔高11.(2020課標(biāo)理,10,5分)已知A,B,C為球O的球面上的三個點,O1為ABC的外接圓.若O1的面積為4,AB=BC=AC=OO1,則球O的表面積為()A.64B

34、.48C.36D.32答案A如圖,由題意知ABC為等邊三角形,圓O1的半徑r=2,即O1B=2,BC=23=OO1,在RtOO1B中,OB2=OO12+O1B2=16,球O的半徑R=OB=4,則S球O=4R2=64.故選A.12.(2020浙江湖州模擬)設(shè)球O與圓錐SO1的體積分別為V1,V2,若球O的表面積與圓錐SO1的側(cè)面積相等,且圓錐SO1的軸截面為正三角形,則V1V2的值是()A.33B.233C.63D.263答案C設(shè)球O的半徑為R,圓錐SO1的底面半徑為r,圓錐SO1的軸截面為正三角形,圓錐SO1的母線長l=2r,由題意得4R2=rl=2r2,解得r=2R,V1V2=43R313&

35、#215;r2×4r2-r2=43R333r3=63.13.(2020浙江寧波四中模擬)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個圓柱,如圖所示,圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球,這個球的直徑恰好與圓柱的高相等,相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn).我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn),圓柱的體積與球的體積之比為,圓柱的表面積與球的表面積之比為. 答案32;32解析由題意可知,圓柱底面半徑r=球的半徑R,圓柱的高h=2R,則V球=43R3,V柱=r2h=·R2·2R=2R3.V柱V球=2R343R3=32.S球=4R2,S柱=2r2+2rh=2R2+2R·2R=6R2.S柱S球=6R24R2=32.14.(2020山東濟寧嘉祥第一中學(xué)模擬)在三棱錐A-BCD中,AB=AC,DB=DC,AB+DB=4,ABBD,則三棱錐A-BCD外接球的體積的最小值為. 答案823解析如圖所示,三棱錐A-BCD的外接球即為長方體的外接球,外接球的直徑為長方體的體對角線AD,設(shè)AB=AC=x,那么DB=DC=4-x,ABBD,所以AD=AB2+DB2.由題意知