第八章 假設(shè)檢驗(yàn)8.1,8.2

1、第八章第八章 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)第一節(jié)第一節(jié) 假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和概念假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想和概念二、假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)概念二、假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)概念三、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟三、假設(shè)檢驗(yàn)的一般步驟一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想四、小結(jié)四、小結(jié)一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想一、假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式、但不在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式、但不知其參數(shù)的情況下知其參數(shù)的情況下, 為了推斷總體的某些性質(zhì)為了推斷總體的某些性質(zhì), 提提出某些關(guān)于總體的假設(shè)出某些關(guān)于總體的假設(shè).假設(shè)檢驗(yàn)就是根據(jù)樣本對所提出的假設(shè)作出判斷假設(shè)檢驗(yàn)就是根據(jù)樣本對所提出的假設(shè)作出判斷: 是接受是接受,

2、 還是拒絕還是拒絕.例如例如, 提出總體服從泊松分布的假設(shè)提出總體服從泊松分布的假設(shè); . ,0假設(shè)等假設(shè)等的的期望等于期望等于對于正態(tài)總體提出數(shù)學(xué)對于正態(tài)總體提出數(shù)學(xué)又如又如 如何利用樣本值對一個(gè)具體的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)如何利用樣本值對一個(gè)具體的假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)? 通常借助于直觀分析和理通常借助于直觀分析和理論分析相結(jié)合的做法論分析相結(jié)合的做法, 其基本原其基本原理就是人們在實(shí)際問題中經(jīng)常理就是人們在實(shí)際問題中經(jīng)常采用的所謂實(shí)際推斷原理采用的所謂實(shí)際推斷原理:“一一個(gè)小概率事件在一次試驗(yàn)中幾個(gè)小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的乎是不可能發(fā)生的”。下面結(jié)合實(shí)例來說明假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想下面結(jié)合實(shí)例來

3、說明假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想.假設(shè)檢驗(yàn)問題是統(tǒng)計(jì)推斷的另一類重要問題假設(shè)檢驗(yàn)問題是統(tǒng)計(jì)推斷的另一類重要問題例例8-1 某車間用一臺包裝機(jī)包裝味精某車間用一臺包裝機(jī)包裝味精, 包得的袋裝包得的袋裝糖糖的的重量是一個(gè)隨機(jī)變量重量是一個(gè)隨機(jī)變量X, 它服從正態(tài)分布它服從正態(tài)分布N( , 0.0152).當(dāng)機(jī)器正常時(shí)當(dāng)機(jī)器正常時(shí), 其均值其均值 =0.5=0.5千克千克. .某日開工后為檢驗(yàn)包某日開工后為檢驗(yàn)包裝機(jī)是否正常裝機(jī)是否正常, 隨機(jī)地抽取它所包裝的隨機(jī)地抽取它所包裝的袋裝糖袋裝糖9 9袋袋, 稱稱得凈重為得凈重為( (千克千克):): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0

4、.511 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 0.520 0.515 0.512, 問機(jī)器是否正常問機(jī)器是否正常? ? 問題問題: 根據(jù)樣本值判斷根據(jù)樣本值判斷 . 0.5 0.5 還是還是問題問題: 根據(jù)樣本值判斷根據(jù)樣本值判斷 . 0.5 0.5 還是還是提出兩個(gè)對立假設(shè)提出兩個(gè)對立假設(shè). : 5 . 0:0100 HH和和再利用已知樣本作出判斷是接受假設(shè)再利用已知樣本作出判斷是接受假設(shè) H0 ( 拒絕假設(shè)拒絕假設(shè) H1 ) , 還是拒絕假設(shè)還是拒絕假設(shè) H0 (接受假設(shè)接受假設(shè) H1 ). 如果作出的判斷是接受如果

5、作出的判斷是接受 H0, 即認(rèn)為機(jī)器工作是正常的即認(rèn)為機(jī)器工作是正常的; , 0 則則否則否則, 則認(rèn)為是不正常的則認(rèn)為是不正常的.由于要檢驗(yàn)的假設(shè)為總體均值由于要檢驗(yàn)的假設(shè)為總體均值, 故可借助于樣本均值故可借助于樣本均值來判斷來判斷. , 的無偏估計(jì)量的無偏估計(jì)量是是因?yàn)橐驗(yàn)?X , | , 00不應(yīng)太大不應(yīng)太大則則為真為真所以若所以若 xH),1 , 0(/,00NnXH 為真時(shí)為真時(shí)當(dāng)當(dāng) , /|00的大小的大小的大小可歸結(jié)為衡量的大小可歸結(jié)為衡量衡量衡量nxx 于是可以選定一個(gè)適當(dāng)?shù)恼龜?shù)于是可以選定一個(gè)適當(dāng)?shù)恼龜?shù)k, ,/ 00Hknxx拒絕假設(shè)拒絕假設(shè)時(shí)時(shí)滿足滿足當(dāng)觀察值當(dāng)觀察值

6、.,/ ,00Hknxx接受假設(shè)接受假設(shè)時(shí)時(shí)滿足滿足當(dāng)觀察值當(dāng)觀察值反之反之 由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位點(diǎn)的定義取由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分位點(diǎn)的定義取/2,ku ),1 , 0(/00NnXH 為真時(shí)為真時(shí)因?yàn)楫?dāng)因?yàn)楫?dāng). ,/ ,/02/002/0HunxHunx接受接受時(shí)時(shí)拒絕拒絕時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 0.05, 在實(shí)例中若取定在實(shí)例中若取定 0.015, , 9 n又已知又已知 0.511, x由樣本算得由樣本算得 1.96,2.2/ 0 nx 即有即有于是拒絕假設(shè)于是拒絕假設(shè)H0, 認(rèn)為包裝機(jī)工作不正常認(rèn)為包裝機(jī)工作不正常.假設(shè)檢驗(yàn)過程如下假設(shè)檢驗(yàn)過程如下:,96. 1 025. 02/ uuk 則則以上所采取的檢

7、驗(yàn)法是符合實(shí)際推斷原理的以上所采取的檢驗(yàn)法是符合實(shí)際推斷原理的 0.05, 0.01, , 一一般般取取總總是是取取得得很很小小由由于于通通常常. ,/ , , ,/ , ,2/002/000幾乎是不會發(fā)生的幾乎是不會發(fā)生的的觀察值的觀察值等式等式由一次試驗(yàn)得到滿足不由一次試驗(yàn)得到滿足不為真為真就可以認(rèn)為如果就可以認(rèn)為如果根據(jù)實(shí)際推斷原理根據(jù)實(shí)際推斷原理小概率事件小概率事件是一個(gè)是一個(gè)時(shí)時(shí)即即為真為真因而當(dāng)因而當(dāng)xunxHunXH . ,/ ,002/0HHxunx因而拒絕因而拒絕正確性正確性的的的假設(shè)的假設(shè)則我們有理由懷疑原來則我們有理由懷疑原來的觀察值的觀察值得到了滿足不等式得到了滿足不等

8、式在一次試驗(yàn)中在一次試驗(yàn)中 . , ,/ 002/0HHunxx因而只能接受因而只能接受沒有理由拒絕假設(shè)沒有理由拒絕假設(shè)則則滿足不等式滿足不等式若出現(xiàn)觀察值若出現(xiàn)觀察值 上述假設(shè)檢驗(yàn)的判別轉(zhuǎn)化為判斷上述假設(shè)檢驗(yàn)的判別轉(zhuǎn)化為判斷 在哪一在哪一個(gè)范圍內(nèi)取值：個(gè)范圍內(nèi)取值：/0nxu= = ， 2/u 若若 |u| |拒絕拒絕H0， 2/u 若若 |u| 不拒絕不拒絕H0二、假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)概念二、假設(shè)檢驗(yàn)的相關(guān)概念1. 統(tǒng)計(jì)假設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè) 在許多實(shí)際問題中在許多實(shí)際問題中,需要根據(jù)理論與經(jīng)驗(yàn)對總體需要根據(jù)理論與經(jīng)驗(yàn)對總體X的分布函數(shù)或其所含的一些參數(shù)作出某種假設(shè)的分布函數(shù)或其所含的一些參數(shù)作出某種假設(shè)

9、H0, 這種假設(shè)稱為這種假設(shè)稱為統(tǒng)計(jì)假設(shè)統(tǒng)計(jì)假設(shè)(簡稱簡稱假設(shè)假設(shè))。 當(dāng)統(tǒng)計(jì)假設(shè)當(dāng)統(tǒng)計(jì)假設(shè)H0僅僅涉及總體分布的未知參數(shù)時(shí)僅僅涉及總體分布的未知參數(shù)時(shí)（如假設(shè)（如假設(shè)H0 ： =0.5）, 稱之為稱之為參數(shù)假設(shè)參數(shù)假設(shè); 當(dāng)統(tǒng)計(jì)假設(shè)當(dāng)統(tǒng)計(jì)假設(shè)Ho涉及總體的分布函數(shù)形式時(shí)（如涉及總體的分布函數(shù)形式時(shí)（如假設(shè)假設(shè)H0 ：總體總體X服從泊松分布服從泊松分布）, 稱之為稱之為非參數(shù)假設(shè)非參數(shù)假設(shè)。2. 顯著性水平顯著性水平 / , , ,0來作決定。來作決定。還是小于還是小于值大于等于值大于等于的觀察值的絕對的觀察值的絕對然后按照統(tǒng)計(jì)量然后按照統(tǒng)計(jì)量定定就可以確就可以確數(shù)數(shù)后后選定選定當(dāng)樣本容量固定

10、時(shí)當(dāng)樣本容量固定時(shí)nxuu /2 u /2u /2, ,/000Hxnxu則我們拒絕則我們拒絕的差異是顯著的的差異是顯著的與與則稱則稱如果如果 u /2 .0之下作出的之下作出的著性水平著性水平在顯在顯有無顯著差異的判斷是有無顯著差異的判斷是與與上述關(guān)于上述關(guān)于 x.稱為顯著性水平稱為顯著性水平數(shù)數(shù) , , ,/ ,000Hxnxu則我們接受則我們接受不顯著的不顯著的的差異是的差異是與與則稱則稱如果如果反之反之 u /23. 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量4. 原假設(shè)與備擇假設(shè)原假設(shè)與備擇假設(shè). /0稱為稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量nXu . : , : 0100 HH檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè) . ,

11、10稱為稱為備擇假設(shè)備擇假設(shè)稱為稱為原假設(shè)原假設(shè)或零假設(shè)或零假設(shè)HH5. 拒絕域與臨界值拒絕域與臨界值 當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取某個(gè)區(qū)域當(dāng)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取某個(gè)區(qū)域C中的值時(shí)中的值時(shí), 我們我們拒絕原假設(shè)拒絕原假設(shè)H0, 則稱區(qū)域則稱區(qū)域C為為拒絕域拒絕域(記為記為W), 拒拒絕域的邊界點(diǎn)稱為絕域的邊界點(diǎn)稱為臨界值臨界值或或臨界點(diǎn)臨界點(diǎn).如在前面實(shí)例中如在前面實(shí)例中, 拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)閃= |2/ uu 2/2/ u和和u 臨界值為臨界值為6. 兩類錯(cuò)誤及記號兩類錯(cuò)誤及記號 假設(shè)檢驗(yàn)的依據(jù)是假設(shè)檢驗(yàn)的依據(jù)是: 小概率事件在一次試驗(yàn)中小概率事件在一次試驗(yàn)中很難發(fā)生很難發(fā)生, 但很難發(fā)生不等于不發(fā)生但很難發(fā)生不等

12、于不發(fā)生, 因而假設(shè)檢驗(yàn)因而假設(shè)檢驗(yàn)所作出的結(jié)論有可能是錯(cuò)誤的所作出的結(jié)論有可能是錯(cuò)誤的. 這種錯(cuò)誤有兩類這種錯(cuò)誤有兩類: (1) 當(dāng)原假設(shè)當(dāng)原假設(shè)H0為真為真, 觀察值卻落入拒絕域觀察值卻落入拒絕域, 而作而作出了拒絕出了拒絕H0的判斷的判斷, 稱做稱做第一類錯(cuò)誤第一類錯(cuò)誤, 又叫又叫拒真錯(cuò)誤拒真錯(cuò)誤, 這類錯(cuò)誤是這類錯(cuò)誤是“以真為假以真為假”. 犯第一類錯(cuò)誤的概率是犯第一類錯(cuò)誤的概率是顯著性水平顯著性水平. P |H0成立成立 = |2/ uu P(x1,x2,xn) W|H0成立成立 = 犯第二類錯(cuò)誤的概率記為犯第二類錯(cuò)誤的概率記為 (2) 當(dāng)原假設(shè)當(dāng)原假設(shè) H0 不真不真, 而觀察值卻

13、落入接受域而觀察值卻落入接受域, 而作出了接受而作出了接受 H0 的判斷的判斷, 稱做稱做第二類錯(cuò)誤第二類錯(cuò)誤, 又叫又叫取取偽錯(cuò)誤偽錯(cuò)誤, 這類錯(cuò)誤是這類錯(cuò)誤是“以假為真以假為真”. 當(dāng)樣本容量當(dāng)樣本容量 n 一定時(shí)一定時(shí), 若減少犯第一類錯(cuò)誤的概若減少犯第一類錯(cuò)誤的概率率, 則犯第二類錯(cuò)誤的概率往往增大則犯第二類錯(cuò)誤的概率往往增大. 若要使犯兩類錯(cuò)誤的概率都減小若要使犯兩類錯(cuò)誤的概率都減小, 除非增加樣除非增加樣本容量本容量.P |H1成立成立 = |2/ uu P(x1,x2,xn) W|H1成立成立 = 7. 顯著性檢驗(yàn)顯著性檢驗(yàn) 只對只對犯第一類錯(cuò)誤的概率加以控制犯第一類錯(cuò)誤的概率加

14、以控制, 而不考而不考慮犯第二類錯(cuò)誤的概率的檢驗(yàn)慮犯第二類錯(cuò)誤的概率的檢驗(yàn), 稱為稱為顯著性檢驗(yàn)顯著性檢驗(yàn).8. 雙邊備擇假設(shè)與雙邊假設(shè)檢驗(yàn)雙邊備擇假設(shè)與雙邊假設(shè)檢驗(yàn). : , : , , , , : : 01000010100為為雙邊假設(shè)檢驗(yàn)雙邊假設(shè)檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)稱的假設(shè)檢驗(yàn)稱形如形如假設(shè)假設(shè)稱為稱為雙邊備擇雙邊備擇也可能小于也可能小于可能大于可能大于表示表示備擇假設(shè)備擇假設(shè)中中和和在在 HHHHH9. 右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn)右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn)右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn)統(tǒng)稱為右邊檢驗(yàn)與左邊檢驗(yàn)統(tǒng)稱為單邊檢驗(yàn)單邊檢驗(yàn). . : , : 0100稱為稱為右邊檢驗(yàn)右邊檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)形如形如 HH .

15、 : , : 0100稱為稱為左邊檢驗(yàn)左邊檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)的假設(shè)檢驗(yàn)形如形如 例例 某切割機(jī)在正常工作時(shí)某切割機(jī)在正常工作時(shí), 切割每段金屬棒的平均長切割每段金屬棒的平均長度為度為10.5cm, 標(biāo)準(zhǔn)差是標(biāo)準(zhǔn)差是0.15cm, 今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)的今從一批產(chǎn)品中隨機(jī)的抽取抽取15段進(jìn)行測量段進(jìn)行測量, 其結(jié)果如下其結(jié)果如下:7 .102 .107 .105 .108 .106 .109 .102 .103 .103 .105 .104 .101 .106 .104 .10假定切割的長度服從正態(tài)分布假定切割的長度服從正態(tài)分布, 且標(biāo)準(zhǔn)差沒有變化且標(biāo)準(zhǔn)差沒有變化, 試試問該機(jī)工作是否正常問該機(jī)工作是

16、否正常?)05. 0( 解解 0.15, , ),( 2 NX因?yàn)橐驗(yàn)?5 .10:, 5 .10: 10 HH要檢驗(yàn)假設(shè)要檢驗(yàn)假設(shè),15 n,48.10 x,05. 0 15/15. 05 .1048.10/ 0 nx 則則,516. 0 010.4810.5 /0.15/15xn ,516. 0 查表得查表得0.0251.96,u00.025 0.5161.96, /xun 拒絕域的形式為拒絕域的形式為W= )1( 2/ ntt 拒絕域?yàn)榫芙^域?yàn)閃= 在實(shí)際中在實(shí)際中, 正態(tài)總體的方差常為未知正態(tài)總體的方差常為未知, 所以常用所以常用 t 檢驗(yàn)法來檢驗(yàn)關(guān)于正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)問題檢驗(yàn)法來檢驗(yàn)

17、關(guān)于正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)問題.上述利用上述利用 t 統(tǒng)計(jì)量得出的檢驗(yàn)法稱為統(tǒng)計(jì)量得出的檢驗(yàn)法稱為t 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)法.例例8-2 車輛廠生產(chǎn)的螺桿直徑車輛廠生產(chǎn)的螺桿直徑X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N( ( , 2),),現(xiàn)從中抽取現(xiàn)從中抽取5 5支支, ,測得直徑測得直徑( (單位單位: :毫米毫米) )為為: : 22.3, 21.5, 22.0, 21.8, 21.4 22.3, 21.5, 22.0, 21.8, 21.4如果方差如果方差 2 2未知，試問直徑均值未知，試問直徑均值 =21=21是否成立？是否成立？)05. 0( 解解 , , ),( 22均為未知均為未知依題意依題意 NX5,

18、n 21.8,x ,05. 0 20.135s 0/xtsn 4.87 查表得查表得/20.025(1)(4)tnt 2.776 4.87t t故接受故接受H0，即平均長度是為，即平均長度是為10.5單個(gè)總體單個(gè)總體 均值均值的檢驗(yàn)的檢驗(yàn))( ,. 22檢驗(yàn)檢驗(yàn)的檢驗(yàn)的檢驗(yàn)關(guān)于關(guān)于為未知為未知t 0 . /xun用來作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量),(2 N21., ()u 為為已已知知 關(guān)關(guān)于于 的的檢檢驗(yàn)驗(yàn)檢檢驗(yàn)驗(yàn)0 . /xtsn用來作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量二、單個(gè)總體二、單個(gè)總體 的方差情況的方差情況),(2 N , , ),( 22均為未知均為未知設(shè)總體設(shè)總體 NX , : , : 20212020 HH要求

19、檢驗(yàn)假設(shè)要求檢驗(yàn)假設(shè): . 0為已知常數(shù)為已知常數(shù)其中其中 , 0為真時(shí)為真時(shí)當(dāng)當(dāng)H 1,1 ,1 202或或過過分分小小于于不不應(yīng)應(yīng)過過分分大大于于附附近近擺擺動動在在比比值值 s12, , nxxxX為來自總體的樣本為來自總體的樣本 , 22的無偏估計(jì)的無偏估計(jì)是是由于由于 s根據(jù)根據(jù)第六章定理第六章定理6.26.2（P131）),1()1( ,22020 nsnHc c 為真時(shí)為真時(shí)當(dāng)當(dāng) , )1( 2022作為統(tǒng)計(jì)量作為統(tǒng)計(jì)量取取 c csn , 給定顯著水平為給定顯著水平為)1(22/1和和 n )1(22/ n c cc c查附表查附表4 4可得可得22221/2/2(1)(1)/

20、2PnPncccccccc 從而得拒絕域?yàn)閺亩镁芙^域?yàn)?220(1)0 ns )1(22/1 n c c )1( 202 sn或或. )1(22/ n c c例例 某廠生產(chǎn)的某種型號的電池某廠生產(chǎn)的某種型號的電池, 其壽命長期以來服從其壽命長期以來服從方差方差 =5000 (小時(shí)小時(shí)2) 的正態(tài)分布的正態(tài)分布, 現(xiàn)有一批這種電池現(xiàn)有一批這種電池, 從它生產(chǎn)情況來看從它生產(chǎn)情況來看, 壽命的波動性有所變化壽命的波動性有所變化. 現(xiàn)隨機(jī)的取現(xiàn)隨機(jī)的取26只電池只電池, 測出其壽命的樣本方差測出其壽命的樣本方差 =9200(小時(shí)小時(shí)2). 問根問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化有顯著的變化?解解 ,5000: