定積分在幾何中的應(yīng)用

1、第七章第七章 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用我們已經(jīng)利用定積分解決一些應(yīng)用問(wèn)題的計(jì)算我們已經(jīng)利用定積分解決一些應(yīng)用問(wèn)題的計(jì)算, 如：如：變力沿直線所做的功變力沿直線所做的功 badxxFW)(已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程 badttvs)( badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 dA面積元素面積元素ab xyo)(xfy xdxx 用用A 表表示示小小區(qū)區(qū)間間,xxx 上上曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積，則則dxxfdAA)( ，7.1 定積分的元素法定積分的元素法用定積分來(lái)計(jì)算的量用定積分來(lái)計(jì)算的量U具有以下特點(diǎn)：具有以下特點(diǎn)：1量量U與函數(shù)與函

2、數(shù) f(x)及及x的變化區(qū)間的變化區(qū)間 a, b有關(guān)。有關(guān)。 若若 f(x)常數(shù)，則常數(shù)，則 U= f(x)(ba)。1量量U對(duì)區(qū)間具有可加性。即：把對(duì)區(qū)間具有可加性。即：把a(bǔ)，b分成若干分成若干 部分區(qū)間，部分區(qū)間， 則則 U相應(yīng)地被分成了許多部分量之和。相應(yīng)地被分成了許多部分量之和。1在區(qū)間在區(qū)間 a, b的任一個(gè)子區(qū)間的任一個(gè)子區(qū)間x, x+x 上，上， 部分量部分量Uf (x)x。設(shè)設(shè)U U是可用定積分表達(dá)的量，則計(jì)算量是可用定積分表達(dá)的量，則計(jì)算量U U的步驟為：的步驟為：定積分的元素法定積分的元素法 選擇函數(shù)選擇函數(shù) f(x)，并確定自變量，并確定自變量 x 的變化區(qū)間的變化區(qū)間a

3、, b; 在在a, b內(nèi)考慮典型小區(qū)間內(nèi)考慮典型小區(qū)間x, x+dx，求出相應(yīng)于這，求出相應(yīng)于這個(gè)小區(qū)間的部分量個(gè)小區(qū)間的部分量U的近似值的近似值 f(x)dx。稱。稱f(x)dx為量為量U的元素，記為的元素，記為dU= f(x)dx。 計(jì)算計(jì)算 U= badxxf)(應(yīng)用方向：應(yīng)用方向： 平面圖形的面積、體積及平面曲線的弧長(zhǎng)；平面圖形的面積、體積及平面曲線的弧長(zhǎng)；功、水壓力、功、水壓力、 引力和平均值等引力和平均值等7.2 7.2 定積分的幾何應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積0 直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形0 極坐標(biāo)系情形極坐標(biāo)系情形xyo)(xfy abxyo)(1

4、xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfxfA)()(12xxxx .d)()(d,d)(d:12xxfxfAxxfA 面面積積元元素素xx 一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1、直角坐標(biāo)系情形、直角坐標(biāo)系情形例例 1 1 計(jì)算由兩條拋物線計(jì)算由兩條拋物線xy 2和和2xy 所圍成的所圍成的圖形的面積圖形的面積.2xy 2yx 例例 2 2 計(jì)算由曲線計(jì)算由曲線xxy63 和和2xy 所圍成所圍成的圖形的面積的圖形的面積.2xy xxy63 例例 3 3 計(jì)計(jì)算算由由曲曲線線xy22 和和直直線線4 xy所所圍圍成成

5、的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxyxy22 4 xy dxxxdA)2(21 dxxxdA)4(22 .1882220121 dAdAAAA選選 為積分變量為積分變量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAA如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程 )()(tytx 曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)曲曲線線起起點(diǎn)點(diǎn)與與終終點(diǎn)點(diǎn)的的參參數(shù)數(shù)值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，)(ty 連連續(xù)續(xù).例例 4 4

6、 求求橢橢圓圓12222 byax的的面面積積. 設(shè)由曲線設(shè)由曲線)( r及射線及射線 、 圍成一曲邊扇圍成一曲邊扇形，求其面積這里，形，求其面積這里，)( 在在, 上連續(xù)，且上連續(xù)，且0)( xo d d 面積元素面積元素 ddA2)(21 曲邊扇形的面積曲邊扇形的面積.)(212 dA )( r2、極坐標(biāo)系情形、極坐標(biāo)系情形例例 5 5 求求雙雙紐紐線線 2cos22a 所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積.xy 2cos22a 1A例例 6 6 求求心心形形線線)cos1( ar所所圍圍平平面面圖圖形形的的面面積積)0( a. d例例7 求求r = a sin3 所圍的面積。所圍的面積。

7、求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.（注意恰當(dāng)?shù)模ㄗ⒁馇‘?dāng)?shù)倪x擇積分變量選擇積分變量有助于簡(jiǎn)化有助于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算）積分運(yùn)算）小結(jié)小結(jié)2 2、曲線、曲線 sin2 r與與 2cos2 r所圍圖形公共部分所圍圖形公共部分 的面積的面積 S（ ） ；） ；（A A）23112 ； （B B）41324 ；（C C）21312 ； （D D）2316 . .1 1、 曲曲線線xyln 與與直直線線ex1 ，ex 及及0 y所所圍圍成成 的的區(qū)區(qū)域域的的面面積積 S（ ） ；（A A）)11(2e ； （B B）ee1 ；

8、（C C）ee1 ； （D D）11 e . .思考思考AD 設(shè)曲線設(shè)曲線)(xfy 過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn))3 , 2(，且，且)(xf為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任為單調(diào)函數(shù)，并具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，今在曲線上任取一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線取一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的平行線，其中一條平行線與與x軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積是另一條平圍成的面積是另一條平行線與行線與y軸和曲線軸和曲線)(xfy 圍成的面積的兩圍成的面積的兩倍，求曲線方程倍，求曲線方程.3、 解答解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(0

9、0 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydxxfx 兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo)xyxyxf 22)(3yyx 2積分得積分得,2cxy 因因?yàn)闉榍€線)(xfy 過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn))3 ,2(29 c,292xy 因因?yàn)闉?(xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)所以所求曲線為所以所求曲線為.223xy 202110102120.)2)(1();)2)(1()2)(1();)2)(1()2)(1();)2)(1()2)(1(dxxxxDdxxxxdxxxxCdxxxxdxxxxBdxxxxAxxxxy為為：軸軸所所圍圍圖圖形形的的面面積積可可表表與與例例：曲曲線線. 2, 1,0 xxx解解：交交點(diǎn)點(diǎn)dx

10、xxxdxxxxA 2110)2)(1()2)(1( A 2110)2)(1()2)(1(dxxxxdxxxx二、二、 體積體積0 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積0 已知平行截面面積的立體體積已知平行截面面積的立體體積 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)就是由一個(gè)平面圖形饒這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)1、旋轉(zhuǎn)體的體積、旋轉(zhuǎn)體的體積一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體

11、體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上任取小區(qū)上任取小區(qū)間間,dxxx ，取取以以dx為為底底的的窄窄邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)而而成成的的薄薄片片的的體體積積為為體體積積元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy y例例 1 1 連連接接坐坐標(biāo)標(biāo)原原點(diǎn)點(diǎn)O及及點(diǎn)點(diǎn)),(rhP的的直直線線、直直線線hx 及及x軸軸圍圍成成一一個(gè)個(gè)直直角角三三角角形形將將它它繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成一一個(gè)個(gè)底底半半徑徑為為r、高高為為h的的圓圓錐錐體體，計(jì)計(jì)算算圓圓錐錐體體的的體體積積rhPxoa aoy

12、x例例 2 2 求星形線求星形線323232ayx )0( a繞繞x軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積.由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)()(21xfyxfy 、直直線線ax 、bx 所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？ xyo)(1xfy )(2xfy ab 類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線類似地，如果旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線)(yx 、直線、直線cy 、dy 及及y軸所圍軸所圍成的曲邊梯形繞成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，體積為體積為xyo)(yx cddyy2)( dcV例例 3 3 求求擺擺線線)si

13、n(ttax ，)cos1(tay 的的一一拱拱與與0 y所所圍圍成成的的圖圖形形分分別別繞繞 x 軸軸、y 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積.a 2a )(xy補(bǔ)充補(bǔ)充 如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為dxxfxVbay| )(|2 利用這個(gè)公式，可知上例中利用這個(gè)公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a 例例

14、4 4 求求由由曲曲線線24xy 及及0 y所所圍圍成成的的圖圖形形繞繞直直線線3 x旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)構(gòu)構(gòu)成成旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積.解解取取積積分分變變量量為為y,4 , 0 y體積元素為體積元素為dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQMxoab2、平行截面面積為已知的立體的體積、平行截面面積為已知的立體的體積xdxx 如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立如果一個(gè)立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這體上垂直于一定軸的各個(gè)截面面積，那么，這個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算個(gè)立體的體積也可用定積分來(lái)計(jì)算.

15、)(xA表表示示過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)x且且垂垂直直于于x軸軸的的截截面面面面積積，)(xA為為x的已知連續(xù)函數(shù)的已知連續(xù)函數(shù),)(dxxAdV .)( badxxAV立體體積立體體積例例 5 5 一一平平面面經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)半半徑徑為為R的的圓圓柱柱體體的的底底圓圓中中心心，并并與與底底面面交交成成角角 ，計(jì)計(jì)算算這這平平面面截截圓圓柱柱體體所所得得立立體體的的體體積積.RR xyo解解 取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為222Ryx 垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為直直角角三三角角形形x截面面積截面面積,tan)(21)(22 xRxA 立體體積立體體積dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 例例 6 6 求求以以半半徑徑為為R的的圓圓為為底底、平平行行且且等等于于底底圓圓半半徑徑的的線線段段為為頂頂、高高為為h的的正正劈劈錐錐體體的的體體積積.解解取坐標(biāo)系如圖取坐標(biāo)系如圖底圓方程為底圓方程為,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x軸軸的的截截面面為為等等腰腰三三角角形形截面面積截面面積22)(xRhyhxA 立體體積立體體積dxxRhVRR 22.212hR 思考題思考題