第二講-3橢圓參數(shù)方程

1、橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程例例1 1、如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以a a，b b（a ab b0 0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B B是大圓半徑是大圓半徑OAOA與小圓的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與小圓的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A A作作ANoxANox，垂足為，垂足為N N，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B B作作BMANBMAN，垂足為，垂足為M M，求當(dāng)，求當(dāng)半徑半徑OAOA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M M的軌跡參數(shù)方程的軌跡參數(shù)方程. . OAMxyNB分析：分析：點(diǎn)點(diǎn)M M的橫坐標(biāo)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)與點(diǎn)A A的橫坐標(biāo)相同的橫坐標(biāo)相同, ,點(diǎn)點(diǎn)M M的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)B B的縱坐標(biāo)相同的縱坐

2、標(biāo)相同. . 而而A A、B B的坐標(biāo)可以通過(guò)的坐標(biāo)可以通過(guò)引進(jìn)參數(shù)建立聯(lián)系引進(jìn)參數(shù)建立聯(lián)系. . 設(shè)設(shè)XOA=XOA=例例1 1、如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以如下圖，以原點(diǎn)為圓心，分別以a a，b b（a ab b0 0）為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)為半徑作兩個(gè)圓，點(diǎn)B B是大圓半徑是大圓半徑OAOA與小圓的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)與小圓的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A A作作ANoxANox，垂足為，垂足為N N，過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B B作作BMANBMAN，垂足為，垂足為M M，求當(dāng)，求當(dāng)半徑半徑OAOA繞點(diǎn)繞點(diǎn)O O旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn)M M的軌跡參數(shù)方程的軌跡參數(shù)方程. . OAMxyNB解：解： 設(shè)設(shè)XOA=, M(xXOA=, M(

3、x, y), , y), 則則A: (acos, a sin),B: (bcos, bsin),由已知由已知: :即為即為點(diǎn)點(diǎn)M M的軌跡的軌跡參數(shù)方程參數(shù)方程. . sinbycosax)( 為參數(shù)為參數(shù) 消去參數(shù)得消去參數(shù)得: :,bya12222x即為即為點(diǎn)點(diǎn)M M的軌跡的軌跡普通普通方程方程. .參數(shù)方程參數(shù)方程普通方程普通方程 sincosbyax sincosaybx12222 byax12222 bxay1 1 . .參數(shù)方程參數(shù)方程 是橢圓的參是橢圓的參 數(shù)方程數(shù)方程. .cosxasinyb2 2 . .在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)在橢圓的參數(shù)方程中，常數(shù)a a、b b分別是橢圓

4、的長(zhǎng)半分別是橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng). . abab另外另外, , 稱(chēng)為稱(chēng)為離心角離心角, ,規(guī)定參數(shù)的取值范圍是規(guī)定參數(shù)的取值范圍是0,2 )cos ,sin .xaXyb焦點(diǎn)在 軸cos ,sin .xbYya焦點(diǎn)在 軸【練習(xí)【練習(xí)1 1】把下列普通方程化為參數(shù)方程把下列普通方程化為參數(shù)方程. . 22149xy2211 6yx(1)(1)(2)(2)3 c o s5 s inxy8 c o s1 0 s inxy(3)(3)(4)(4)把下列參數(shù)方程化為普通方程把下列參數(shù)方程化為普通方程2 c o s(1)3 s inxyco s(2 )4 sinxy2264100(4)1

5、yx22925(3)1yx練習(xí)練習(xí)2：已知橢圓的參數(shù)方程為已知橢圓的參數(shù)方程為 ( 是是參數(shù)參數(shù)) ，則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（，則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為（ ），短軸長(zhǎng)為），短軸長(zhǎng)為（ ），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（），焦點(diǎn)坐標(biāo)是（ ），離心率是），離心率是（ ）。）。2cos sinxy4232( , 0)3例2、如圖，在橢圓x2+8y2=8上求一點(diǎn)P，使P到直線(xiàn) l：x-y+4=0的距離最小.xyOP分析分析1 1：),y,y(288P設(shè)設(shè)2882|4yy|d則則分析分析2 2：),sin,cos(P 22設(shè)設(shè)222|4sincos| d則則分析分析3：平移直線(xiàn)平移直線(xiàn) l 至首次與橢圓相切，切點(diǎn)即為所求至首次與橢

6、圓相切，切點(diǎn)即為所求.小結(jié)：小結(jié)：借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一借助橢圓的參數(shù)方程，可以將橢圓上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識(shí)加以解決。點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示，利用三角知識(shí)加以解決。最大值和最小值嗎？的的前提下，求出滿(mǎn)足進(jìn)行類(lèi)比，你能在實(shí)數(shù)與簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題思考：yxzyxyx211625,2289,89 1 , 1)cos()cos(89sin8cos5)sin4 ,cos5(00zzM是橢圓上的一點(diǎn)，則設(shè)例例3、已知橢圓已知橢圓 有一內(nèi)接矩形有一內(nèi)接矩形ABCD，求矩形求矩形ABCD的最大面積。的最大面積。22110064xy:10cos ,8sinA解 設(shè)20c

7、os,16sin2016sincos160sin 2ADABS,ABCD160所以 矩形最大面積為yXOA2A1B1B2F1F2ABCDYX練習(xí)練習(xí)3:已知已知A,B兩點(diǎn)是橢圓兩點(diǎn)是橢圓 與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn)與坐標(biāo)軸正半軸的兩個(gè)交點(diǎn),在第一象限的橢在第一象限的橢圓弧上求一點(diǎn)圓弧上求一點(diǎn)P,使四邊形使四邊形OAPB的面積最大的面積最大.22941yx:,ABCABP解 橢圓參數(shù)方程 設(shè)點(diǎn)P(3cos,2sin) S面積一定 需求 S最大即可264132212360|cossin6 |2 sin()23,yxPABxyddP3322即求點(diǎn)到線(xiàn)的距離最大值線(xiàn)AB的方程為66所以當(dāng)=時(shí)有最大值 面

8、積最大4這時(shí)點(diǎn) 的坐標(biāo)為(, 2)練習(xí)練習(xí)41、動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在曲線(xiàn)在曲線(xiàn) 上變化上變化 ，求，求2x+3y的最的最大值和最小值大值和最小值14922yx.,2626最小值最小值最大值最大值2、取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接取一切實(shí)數(shù)時(shí)，連接A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)兩點(diǎn)的線(xiàn)段的中點(diǎn)軌跡是兩點(diǎn)的線(xiàn)段的中點(diǎn)軌跡是 . A. 圓圓 B. 橢圓橢圓 C. 直線(xiàn)直線(xiàn) D. 線(xiàn)段線(xiàn)段B設(shè)中點(diǎn)設(shè)中點(diǎn)M (x, y)x=2sin-2cosy=3cos+3sin29422yx)2, 0(),3 , 1 ()0 , 3(),3 , 2()sin2 ,cos3(1、點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)確定的曲

9、線(xiàn)必過(guò)所變化時(shí)，動(dòng)點(diǎn)、當(dāng)參數(shù)DCBAP( )B?_)( , 0cos3sin2cos42222方程為通，那么圓心的軌跡的普為參數(shù)、已知圓的方程為yxyx14)(sincos21)sin()cos2(0cos3sin2cos42222222yxyxyxyxyx化為普通方程是為參數(shù)所以圓心的參數(shù)方程為可以化為解：方程。點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)軌跡方程上各為參數(shù)和橢圓、求定點(diǎn))(sincos)0 ,2(2byaxa144)()(2sin2cos2),(2222byaaxbyaaxyxM得上述的方程消去參數(shù)，為參數(shù)則點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)為解：設(shè)定點(diǎn)與橢圓上的的坐標(biāo)為點(diǎn)，則的傾斜角為為原點(diǎn)在第一象限，上一點(diǎn)，且為參數(shù)是橢圓、POOPyxP3)()(sin32