定積分應(yīng)用(平面圖形面積)課件

1、定積分應(yīng)用(平面圖形面積)定積分應(yīng)用(平面圖形面積)回顧回顧 曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題 badxxfA)(一、問題的提出一、問題的提出曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。ab xyo)(xfy 定積分應(yīng)用(平面圖形面積)ab xyo)(xfy iinixfA )(lim10 badxxf)(1ix ix求曲邊梯形的面積 (1)分割: ax0 x1 x2 xn1 xn b, xixixi1; (2)近似求和: (3)取極限: niiixfA10)(lim 定積分應(yīng)用(平面圖形面積)二

2、、平面圖形的面積 由曲線yf上(x)、yf下(x)及直線xa、 xb所圍成的圖形的面積如何求？ 所求圖形的面積為：討論：討論： dxxfxfSba)()(下上。 y=f上(x)y=f下(x)Ox yabx x+dx定積分應(yīng)用(平面圖形面積)xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積|( )|baAf xdx曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積21|( )( )|baAfxf xdx一、直角坐標(biāo)系情形一、直角坐標(biāo)系情形xxxx x 定積分應(yīng)用(平面圖形面積)例例 1 1 計(jì)算由兩條拋物線計(jì)算由兩條拋物線xy 2和和2xy 所圍成的所圍成的圖形的面積圖形的面積

3、.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn))1 , 1()0 , 0(選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 定積分應(yīng)用(平面圖形面積)例例 2 2 計(jì)計(jì)算算由由曲曲線線xxy63 和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy選選 為積分變量為積分變量x3, 2 x,0, 2)1( x326xxx,3 , 0)2( x23(6 )xxx2xy xxy63 定積分應(yīng)用(平面圖形面積)于是所求面積于是所求面積dxxxxA)6(2023 dxx

4、xx)6(3230 .12253 說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式說明：注意各積分區(qū)間上被積函數(shù)的形式定積分應(yīng)用(平面圖形面積)ab S 4S1 4dxxaaba2204442aabdxxaaba2204442aabab。 xyO y22xaab S1 則橢圓的面積為 解：解：設(shè)橢圓在第一象限的面積為S1。 S 4S1 4dxxaaba0220 由曲線yf上(x)、yf下(x)及直線xa、xb所圍成的圖形的面積為 dxxfxfSba)()(下上。 例 1 求橢圓12222byax所圍成的圖形面積。 例例3定積分應(yīng)用(平面圖形面積)解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2(

5、422xyxyxy22 4 xy選選 為積分變量為積分變量x0,8x(1)0, 2,x2(2 )2 2xxx (2)2,8,x2(4)xx28022 2( 24)18Axdxxxdx定積分應(yīng)用(平面圖形面積)討論：討論： 由曲線xj左(y)、xj右(y)及直線yc、yd所圍成的圖形的面積 S 如何求？Ox ycdxj左(y)xj右(y)答案：答案： dyyySdc)()(左右jj。 所求圖形的面積為： ydy y21|( )( )|dcSyydyjj定積分應(yīng)用(平面圖形面積)abxyOS1 則橢圓的面積為 解：解：設(shè)橢圓在第一象限的面積為S1。例 1 求橢圓12222byax所圍成的圖形面積。

6、 例例3選選 為積分變量為積分變量y0, yb2210440baSSbydyb2204baby dyb24.4ababb定積分應(yīng)用(平面圖形面積)解解兩曲線的交點(diǎn)兩曲線的交點(diǎn)).4 , 8(),2, 2( 422xyxy選選 為積分變量為積分變量y4, 2 y2424182yAydyxy22 4 xy定積分應(yīng)用(平面圖形面積)求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式求在直角坐標(biāo)系下、參數(shù)方程形式下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積下、極坐標(biāo)系下平面圖形的面積.（注意恰當(dāng)?shù)模ㄗ⒁馇‘?dāng)?shù)倪x擇積分變量選擇積分變量有助于簡(jiǎn)化有助于簡(jiǎn)化積分運(yùn)算）積分運(yùn)算）三、小結(jié)三、小結(jié)定積分應(yīng)用(平面圖形面積)思考題思考題 設(shè)設(shè)曲曲線

7、線)(xfy 過過原原點(diǎn)點(diǎn)及及點(diǎn)點(diǎn))3 , 2(，且且)(xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)，并并具具有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，今今在在曲曲線線上上任任取取一一點(diǎn)點(diǎn)作作兩兩坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的平平行行線線，其其中中一一條條平平行行線線與與x軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積是是另另一一條條平平行行線線與與y軸軸和和曲曲線線)(xfy 圍圍成成的的面面積積的的兩兩倍倍，求求曲曲線線方方程程.定積分應(yīng)用(平面圖形面積)思考題解答思考題解答1S2Sxyo)(xfy ),(yx122SS xdxxfS02)( xdxxfxySxyS021)()( 2)(00 xxdxxfxydxxf,2)(30 xydx

8、xfx 兩邊同時(shí)對(duì)兩邊同時(shí)對(duì) 求導(dǎo)求導(dǎo)x定積分應(yīng)用(平面圖形面積)yxyxf 22)(3yyx 2積分得積分得,2cxy 因因?yàn)闉榍€線)(xfy 過過點(diǎn)點(diǎn))3 ,2(29 c,292xy 因因?yàn)闉?(xf為為單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)所以所求曲線為所以所求曲線為.223xy 定積分應(yīng)用(平面圖形面積)一、一、 填空題：填空題：1 1、 由曲線由曲線eyeyx ,及及y軸所圍成平面區(qū)域的面積軸所圍成平面區(qū)域的面積是是_ . .2 2、 由曲線由曲線23xy 及直線及直線xy2 所圍成平面區(qū)域的所圍成平面區(qū)域的面積是面積是_ ._ .3 3、 由曲線由曲線 1,1,1,12 xxyxxy所圍成所圍成平面

9、區(qū)域的面積是平面區(qū)域的面積是_ ._ .4 4、 計(jì)算計(jì)算xy22 與與4 xy所圍的區(qū)域面積時(shí)，選用所圍的區(qū)域面積時(shí)，選用_作變量較為簡(jiǎn)捷作變量較為簡(jiǎn)捷 . .5 5、 由曲線由曲線xxeyey ,與直線與直線1 x所圍成平面區(qū)所圍成平面區(qū)域的面積是域的面積是_ _ . .練練 習(xí)習(xí) 題題定積分應(yīng)用(平面圖形面積)6 6 曲曲線線2xy 與與它它兩兩條條相相互互垂垂直直的的切切線線所所圍圍成成平平面面圖圖 形形的的面面積積S，其其中中一一條條切切線線與與曲曲線線相相切切于于點(diǎn)點(diǎn) ),(2aaA，0 a，則則當(dāng)當(dāng) a_ _ _時(shí)時(shí)，面面積積S最最小小 . .二、二、 求由下列各曲線所圍成的圖形

10、的面積：求由下列各曲線所圍成的圖形的面積：1 1、xy1 與直線與直線xy 及及2 x；2 2、 y2x與直線與直線xy 及及xy2 ；3 3、 )cos2(2 ar；4 4、擺線、擺線)cos1(,)sin(tayttax )20( t及及x軸；軸；5 5、 cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡爾葉形線、笛卡爾葉形線axyyx333 . .定積分應(yīng)用(平面圖形面積)三、三、 求拋物線求拋物線342 xxy及其在點(diǎn)及其在點(diǎn))3,0( 和和)0,3(處的切線所圍成的圖形的面積處的切線所圍成的圖形的面積 . .四、四、 求位于曲線求位于曲線xey 下方，該曲線過原點(diǎn)的切線的下方，該曲線過原點(diǎn)的切線的左方以左方以軸軸及及 x上方之間的圖形的面積上方之間的圖形的面積 . .五、五、 求由拋物線求由拋物線axy42 與過焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形與過焦點(diǎn)的弦所圍成的圖形面積的最小值面積的最小值 . .定積分應(yīng)用(平面圖形面積