一元復合函數(shù)

1、第四節(jié)一元復合函數(shù))(),(xuufy求導法則xuuyxydddddd本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容:一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則二、多元復合函數(shù)的全微分二、多元復合函數(shù)的全微分xxufuufyd)()(d)(d微分法則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 多元復合函數(shù)的求導法則 第八章 )(),(ttfz一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則一、多元復合函數(shù)求導的鏈式法則定理定理. 若函數(shù),)(, )(可導在點ttvtu),(vufz 處偏導連續(xù), ),(vu在點在點 t 可導, tvvztuuztzddddddz則復合函數(shù)證證: 設 t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)

2、(o則相應中間變量且有鏈式法則vutt機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 有增量u ,v ,0t令,0,0vu則有to)( 全導數(shù)公式全導數(shù)公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 時,根式前加“”號)tvtvtutudd,dd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 tvvztuuztzdddddd若定理中 說明說明: ),(),(vuvuf在點例如例如:),(vufztvtu ,易知:,0)0 , 0()0 , 0(ufuz但復合函數(shù)),(ttfz 21ddtztvvztuuzdddd010100)0 , 0()0 , 0(vfvz偏導

3、數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)減弱為偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在, 2t0,22222vuvuvu,0022vu機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 則定理結論不一定成立.推廣推廣:1) 中間變量多于兩個的情形. 例如, ),(wvufz 設下面所涉及的函數(shù)都可微 .tzdd321fff2) 中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )(, )(, )(twtvtu又如,),(, ),(yxvvxfz當它們都具有可微條件

4、時, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 這里xzxfxz表示固定 y 對 x 求導,xf表示固定 v 對 x 求導xfxvvfyvvf與不同,v機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例1. 設設,sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx242

5、2sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例例3. 設 ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全導數(shù),teu ,costv 解解:tusintcos機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 為簡便起見 , 引入記號,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例4. 設 f 具有二階連續(xù)偏導數(shù), ),(zyxzyxfw求.,2zx

6、wxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (當 在二、三象限時, )xyarctan例例5. 設二階偏導數(shù)連續(xù),求下列表達式在),(yxfu 222222)2(,)()() 1 (yuxuyuxu解解: 已知sin,cosryrxuryxyx極坐標系下的形式xrruxu(1), 則xyyxrarctan,22rxru,rxxr x2xy2)(1xy22yxy機動 目錄

7、 上頁 下頁 返回 結束 xu2ryururusincosyuyrru2221)(1,yxxyryyrxyxrurucossinyu22222)(1)()()(urruyuxu題目 目錄 上頁 下頁 返回 結束 ryru2rxuuryxyx 已知rsin) (rurusincos)(xux 22)2(xururuxusincosuryxyx) (rxu) (xururusincos222cosru2cossinrucosrsinxurrucossin22222sinru2rru2sin2cos) (r注意利用注意利用已有公式已有公式機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 22yu2222yuxu2

8、1r22xu22222222sincossin2cosrurrururruru22sincossin2rruru22coscossin2同理可得22ru2221urrur 122)(ururrr22222222coscossin2sinrurruru題目 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二、多元復合函數(shù)的全微分二、多元復合函數(shù)的全微分設函數(shù)),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可見無論 u , v 是自變量還是中間變量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復合函數(shù)) (fz ),(, ),(

9、yxyxudvzvd都可微, 其全微分表達 形式都一樣, 這性質叫做全微分形式不變性全微分形式不變性.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 6. 利用全微分形式不變性再解例1. 解解:) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 內(nèi)容小結內(nèi)容小結1. 復合函數(shù)求導的鏈式法則“分段用乘, 分叉用加, 單路全導, 叉路偏導”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不變性, ),(vufz 對不論 u , v 是自變量還是因變量,vvufuvufzvud),(d),(d機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 練練 習習P31 8(2)題; P73 題11機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 P31 題8(2)：求一