初中數(shù)學幾何變換之平移

1、幾何變換之平移,/平移的性質：1 .經(jīng)過平移，對應點的連線平行且相等，對應邊平行或在一條邊上且相等，對應角度相等.2 .平移前后，所對應的圖形全等.模塊平行多邊形和平移的構造1 .平行四邊形與平移變換由于在平移變換下，與平移方向不平行的線段變?yōu)榕c原線段平行且相等的線段，因此，對于已知條件中有平行四邊形的平面幾何問題，我們就可以考慮用平移變換處理.平移沿平行四邊形的某條邊進行.2 .平行六邊形和平移變換因為在平移變換下，平面上任意一點與其像點的連線總是平行于平移方向的，所以對于條件中有平行線（或平行線段）的平面幾何問題當然也可以考慮用平移變換處理，平移方向平行于平行線（或平行線段），平移距離則要

2、視具體情況（特別是所要證明的結論）而定.這種平移方式經(jīng)常用來對分散圖形進行集中.例1AB和BC.如圖所示，P為平行四邊形ABCD內(nèi)一點，求證：以AP、BP、CP、DP為邊可以構成一個四邊形，并且所構成的四邊形的對角線的長度恰好分別等于如圖所示，將4PAB平移至4QDC的位置，易證DQAP,CQBP,則四邊形DPCQ恰好是一個以AP、BP、CP、DP為邊的四邊形，并且它的對角線恰好等于平行四邊形ABCD的兩條鄰邊.例2如圖2-1,四邊形EFGH中，若12,則3必然等于4.請運用結論證明下述問題：如圖2-2,在平行四邊形ABCD中取一點P,使得56,求證：78.【分析】此題為信息題，難點在于如何理

3、解已知條件，經(jīng)觀察我們發(fā)現(xiàn)，若1和2,位置為時，可得出3和4相等（本質為四點共圓），圖（2）中，5與6關系并不像條件所示，因此，需要改變角位置，而這點可以通過構造平行四邊形來解決.而構造平行四邊形，恰可以達到改變角位置作用，為使5與6成又形，我們可有如下四種方法.分別過點B、P作BKIIAP,PKIIAB,交于點K,連接CK.BK/AP,PK/AB,BKAP,PKAB,5BKP,7BPK.ABCD,ABIICD,.PKIICD,，四邊形PKCD為平行四邊形，PDPKCDCK,ADBCADPABCK,8BCK6,BPKBCK,78【教師備課提示】老師們可以讓學生自由發(fā)揮，體味構造平行四邊形帶來的

4、快樂.如圖，以ABC的邊AB、AC、方形ACGF、正方形BCMN.以DGCMNABDE、正BC為一邊，分別向三角形的外側作正方形EF、DN、GM為邊能否構成三角形？為什么?E遑解析過點E作PEIIDN,過點N作PN/DE,PE與PN交于點P,連結PM、PF.PEIIDN,DEIIPN,DEPN,PEDNABIIDE,PNIIDE,ABIIPN,BCIIMN, ABCPNM,ABDEPN,BCNM,.ABCQPNM ACPMFG,ACBPMN,，AC/FG/PM,，四邊形FGMP是平行四邊形， MGPF.PEF就是以EF、DN、GM的長為邊的三角形.【教師備課提示】這道題還可以給學生拓展4PEF

5、的面積為4ABC的3倍.例4如圖所示，一個六邊形的六個內(nèi)角都是120,連續(xù)四邊的長依次是1、3、3、2,則該六邊形的周長是多少？（方法1）:如圖所示，由于六邊形的內(nèi)角都是120,易知CDIIAF,ABIIED,BCIIFE.把BC、DE、FA分別平移至AC1、CE1、EA1,可得等邊A，1E1,其邊長CiElCEiCCiDEBA1.在此基礎上可求得EF、AF的長，進而求得六邊形的周長：EFAAAC1C1ABC1312,AFAE四日E1E1CD134,故六邊形的周長是13322415.（方法2）：如圖所示，將六邊形補全為等邊4PQR.易得PQR的邊長為1337,貝UEF7322,FA7124,故

6、六邊形的周長是13322415.在六邊形ABCDEF中，ABIIDE,BC/EF,CD/AF,對邊之差BCEFEDABAFCD0.求證：六邊形ABCDEF的各內(nèi)角均相等.得到PQR.平移線段DE到CR,平移線段BC到AQ,平移線段FA到EP,如圖所示,易知PQAQAPBCEF,RQRCQCEDAB,PRPEREAFCD.由于BCEFEDABAFPQRQPR,即4PQR是等邊三角形,PQRQRPRPQ60.故DEFDERREFQRPRPQ6060120CDECRE180QRP18060120.同理，DCBCBABAFAFE120,六邊形ABCDEF的各內(nèi)角均相等.例6如圖所示，在六邊形ABCDE

7、F中，AB/ED,AFIICD,BCIIFE,ABED,AFCD,BCFE,又知對角線FDBD,FD24厘米，BD18厘米.請你回答：六邊形ABCDEF的面積是多少平方厘米？BBGACCFFFEDAABDBCBDEFD均為平行四邊形TFEDDDBAFAAEDFBDFBCDFAACE的面積與4BDF的面積相記六邊形ABCDEF的面積為如圖，將平移至B在DDB、D設凸六邊形ABCDEF的三組對邊分別平行.求證F分別沿CD、EFS,ABDF1將4DEF平移到BAG的位置；將BCD平移到4GAF的位置，則長方形BDFG的面積等于六邊形ABCDEF的面積.易知長方形BDFG的面積等于2418432(平方

8、厘米)，六邊形ABCDEF的面積是432平方厘米.ABDEEFBC的面積為T.因四邊形FABF、BCDB1F，則F在BBD在FF上SAbdf-(ST)2E2(ST)FCBCB同樣，如果我們作另外三個平移變換將六邊形用類似的方式剖分為三個平行四邊形與一個三角形ACE,則有AC|ABDE|,CE|CDFA|,EA|EFBC|.1因而ACE的面積也為T,于是也有saace-(ST),故SaBDFSAACE-2如果兩條相等線段既不平行也不共線，則其中一條線段不可能是另一條線段在某個平移變換下的像.但我們可以通過平移變換移動其中的一條線段，使兩條線段有一個公共端點，然后通過等腰三角形的性質再加上其他相關

9、條件使問題得到解決.如圖所示，兩條長度為1的線段AB和CD相交于O點，且AOC60,求證:考慮將AC、BD和AB集中到同一個三角形中，以便運用三角形的不等關系.作CBIIAB且CB=AB,則四邊形ABBC是平行四邊形，從而ACBB.在4BBD中可得BBBDBD,（當AC/BD時，BBBDBD）,即ACBDBD.由于CDABCB1,BCDAOC60,所以BCD是等邊三角形，故BD1,所以ACBD1.如圖，4ABC中，ABAC,D、E是AB、AC上的點且ADCE.求證：2DEBC一1方法一：通過構造平行四邊形把detbc平移成共頂點的線段（如下圖，作中位線利用斜邊大于直角邊）方法二：通過構造平行四

10、邊形平移DE,使得DE和BC共頂點.下面寫出方法二的解析：(如下圖2)過點B作BF/DE,且BFDE,連接EF、FC./DAE/CEF,AEBDEF又ADECAADEECF,DECF，BFCFBC即2DEBC,當且僅當DE為ABC的中位線時，取到等號.另外，此題還可以如圖1,3,4那樣平移，每次均產(chǎn)生一個平行四邊形、一對全等三角形，和一個新的等腰三角形.AAAA圖1F圖2玄例10酚已知：4ABC.AC上的點，若ADAE,請你寫出此圖中的另(1)如果ABAC,D、E是AB、組相等的線段；(2)如果ABAC,D、E是數(shù)量關系，并證明你的結論.AB、AC上的點，若BDCE,請你確定DE與BC的C(1

11、)DBEC；(2)結論：BCDE.過E點作EFIIAB,截取EF結NF.DBEF,又DBEN平分CEF,FENDBCEF的平分線EN交BC于N,連EC,EFECCEN.,EN為公共邊，ENF叁匕BDEF是平行四邊形.DE在4ENF和4ENC中，EFEC,FENCENNFNC.DBIIEF,DBEF,.四邊形在4BFN中，BNFNBF,即BNCNDE,所以BCDE.復習鞏固模塊一平行多邊形和平移的構造已知：矩形ABCD內(nèi)有定點M,試證:2_2AMCM透解析過點B、點M分另I作AM、AB的平行線，交于點E,連接CE,ME,BC交ME于點F.AB/EM,AM/BEAMBE,ABEM.ABCD,ABI

12、ICDEM/CD,EMCDECDM為平行四邊形，CEDMEMBC.2222222 BMBFFM,CEEFCF,_22_2222CMCFFM,BEBFEF.2_2_2_23 AMCMBMDM.C向直線AK引垂線，兩垂線相交于PFEBMcBADACD如圖所示，設ABCD是矩形，K為矩形所在平面上的一點，連接KA與KD均與BC相交.由點B向直線DK引垂線，由點MKAD.解析如圖，過點K作KP/AB,且KPAB.連接PB,PC,KM.PKIIBA,PKBA，四邊形PKAB為平行四邊形BP/KA又CFAK.CFPB又在矩形ABCD中，ABIICD,ABCDPK/CD,PKCD.四邊形PKDC為平行四邊形PC/KD又BEKD,BEPCM為PBC的重心4 PMBC又ABBC,AB/PK,PKABP,K,M三點共線且KMBC又AD/BC,KMAD.模塊二共端點的平移構造解析LiL2如圖A、B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN。橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋與河垂直.）A(1)(2)(3)(4)設河寬為d,作ACLi且ACd;連接CB交L2于N點；作M