數(shù)學(xué)分析華師大-導(dǎo)數(shù)的概念ppt課件

1、 導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)的核心概念導(dǎo)數(shù)是微分學(xué)的核心概念, 是研究函數(shù)是研究函數(shù)1 導(dǎo)數(shù)的概念 一、導(dǎo)數(shù)的概念化率”, 就離不開導(dǎo)數(shù). 三、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 二、導(dǎo)函數(shù)態(tài)的有力工具. 無論何種學(xué)科, 只要涉及“變與自變量關(guān)系的產(chǎn)物, 又是深刻研究函數(shù)性一、導(dǎo)數(shù)的概念一般認(rèn)為一般認(rèn)為, 求變速運(yùn)動的瞬時速度，求已知曲線求變速運(yùn)動的瞬時速度，求已知曲線 別在研究瞬時速度和曲線的別在研究瞬時速度和曲線的牛頓牛頓 ( 16421727, 英國英國 ) 兩個關(guān)于導(dǎo)數(shù)的經(jīng)典例子兩個關(guān)于導(dǎo)數(shù)的經(jīng)典例子. .切線時發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的切線時發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的. . 下面是下面是微分學(xué)產(chǎn)生的三個源頭微分學(xué)產(chǎn)生的三個源頭. 牛頓和萊布尼茨就是

2、分牛頓和萊布尼茨就是分上一點(diǎn)處的切線，求函數(shù)的最大、最小值，這是上一點(diǎn)處的切線，求函數(shù)的最大、最小值，這是1. 瞬時速度瞬時速度 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動設(shè)一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動, 質(zhì)點(diǎn)的位置質(zhì)點(diǎn)的位置 s 是是 .00tttstsv 當(dāng)當(dāng) t 越來越接近越來越接近 t0 時，平均速度就越來越接近時，平均速度就越來越接近 t0時間時間 t 的函數(shù)的函數(shù), 即其運(yùn)動規(guī)律是即其運(yùn)動規(guī)律是 則在某則在某, )(tss vtttststt 000lim(1)時刻的瞬時速度時刻的瞬時速度. 嚴(yán)格地說嚴(yán)格地說, 當(dāng)極限當(dāng)極限時刻時刻 t0 及鄰近時刻及鄰近時刻 t 之間的平均速度是之間的平均速度是2. 切線的斜率切線

3、的斜率 如下圖如下圖, .)()(00_xxxfxfk 存在時存在時, 這個極限就是質(zhì)點(diǎn)在這個極限就是質(zhì)點(diǎn)在 t0 時刻的瞬時速度時刻的瞬時速度.其上一點(diǎn)其上一點(diǎn) P( x0, y0 ) P( x0, y0 ) 處的處的切線切線點(diǎn)擊上圖動畫演示點(diǎn)擊上圖動畫演示點(diǎn)點(diǎn) Q , 作曲線的割線作曲線的割線 PQ ，這，這PT. 為此我們在為此我們在 P 的鄰近取一的鄰近取一需要尋找曲線需要尋找曲線 y = f (x) 在在 條割線的斜率為條割線的斜率為QT 0 xxOxyP ( )yf x 答答: : 它就是曲線在點(diǎn)它就是曲線在點(diǎn) P P 的切線的切線 PT PT 的斜率的斜率. .的極限若存在，則這

4、個極限的極限若存在，則這個極限會是什么呢？會是什么呢？設(shè)想一下設(shè)想一下, ,當(dāng)動點(diǎn)當(dāng)動點(diǎn) Q Q 沿此曲線無限接近點(diǎn)沿此曲線無限接近點(diǎn) P P 時，時，k00)()(lim0 xxxfxfkxx (2)上面兩個問題雖然出發(fā)點(diǎn)相異，但都可歸結(jié)為同上面兩個問題雖然出發(fā)點(diǎn)相異，但都可歸結(jié)為同x0 處關(guān)于處關(guān)于 x 的瞬時變化率的瞬時變化率(或簡稱變化率或簡稱變化率).均變化率，增量比的極限均變化率，增量比的極限 (如果存在如果存在) 稱為稱為 f 在點(diǎn)在點(diǎn)的極限的極限. 這個增量比稱為函數(shù)這個增量比稱為函數(shù) f 關(guān)于自變量的平關(guān)于自變量的平 D y f x D y f x f x0 f x0 與自變

5、量增量與自變量增量 D x x D x x xo xo 之比之比一類型的數(shù)學(xué)問題：一類型的數(shù)學(xué)問題： 求函數(shù)求函數(shù) f 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 處的增量處的增量定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y =f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 的某鄰域內(nèi)有定的某鄰域內(nèi)有定義，如果極限義，如果極限000( )()lim(3)xxf xf xxx 存在存在, , 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f f 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 x0 可導(dǎo)可導(dǎo), , 該極限稱為該極限稱為 f f 在在如果令如果令 Dx = x x0, Dy = f (x0 +Dx) f Dx = x x0, Dy = f (x0 +Dx) f (x0), (x0), 導(dǎo)數(shù)就導(dǎo)數(shù)就000

6、00()()()limlim.(4)xxf xxf xyfxxxD DD DD DD DD DD D x0 的導(dǎo)數(shù)，記作的導(dǎo)數(shù)，記作. )(0 xf 可以寫成可以寫成二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義定義定義1 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xfy 在點(diǎn)0 x0limxx00)()(xxxfxfxyxDDD0lim)()(0 xfxfyD0 xxxD存在,)(xf并稱此極限為)(xfy 記作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即0 xxy)(0 xf xyxDDD0limxxfxxfxDDD)()(lim000hxfhxfh)()(lim000則稱函數(shù)假設(shè)的某鄰域內(nèi)有定義 ,

7、 在點(diǎn)0 x處可導(dǎo), 在點(diǎn)0 x的導(dǎo)數(shù). 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 2)(2lim4)2(lim)2()2(lim)2( .2)(202002DDDDDDDDDDxxxxxxfxffxxxfxxx的導(dǎo)數(shù)在求這說明導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量這說明導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量 D y D y 與自變量增量與自變量增量 D xD x之比之比的極限的極限, ,即就是即就是 f (x) f (x) 關(guān)于關(guān)于 x x 在在 x0 x0 處的處的變化變化)(0 xf 點(diǎn)點(diǎn) x0 不可導(dǎo)不可導(dǎo).率率. . 假如假如 (3) (3) 或或 (4) (4) 式的極限不存在式的極限不存在, , 則稱則稱 在在( )f x在點(diǎn)0 x

8、的某個右 鄰域內(nèi)五、五、 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù))(xfy 若極限xxfxxfxyxxDDDDDD)()(limlim0000則稱此極限值為)(xf在 處的右 導(dǎo)數(shù),0 x記作)(0 xf即)(0 xfxxfxxfxDDD)()(lim000(左)(左)0(D x)0(D x)(0 xf0 xxyoxy 定義定義2 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)有定義,存在,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 定理定理2. 函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)0 x)(xfy ,)()(00存在與xfxf且)(0 xf. )(0 xf)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf簡寫為可導(dǎo)的充分必要條件是機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例3 證明函數(shù)

9、證明函數(shù) f (x) = | x | 在在 x = 0 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo).證證 因為因為1,0,( )(0)01,0,xf xfxx 時它的極限不存在時它的極限不存在, , 所以所以 f (x) f (x) 在在 x x = 0= 0當(dāng)當(dāng)0 x處不可導(dǎo)處不可導(dǎo). .例例4 證明函數(shù)證明函數(shù)1sin,0( )0,0 xxxf xx 在在 x = 0 x = 0 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo). .( )(0)1sin0f xfxx 不存在極限不存在極限, ,所以所以 f f 在在 x = 0 x = 0 處不可導(dǎo)處不可導(dǎo). .證證 因為當(dāng)因為當(dāng) 時時,0 x.)(lim,00不存在xDRxxx.0)(. 0)

10、(lim0)0()(lim)( .0),(002處不可導(dǎo)在但可導(dǎo)處是否可導(dǎo)判別xxxDyxxDxfxfxfxxDxyxx QxQxxD,0,1)(處可導(dǎo)在點(diǎn)xxf)(四、四、 函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理定理1.處連續(xù)在點(diǎn)xxf)(證證: 設(shè))(xfy 在點(diǎn) x 處可導(dǎo),)(lim0 xfxyxDDD存在 , 因此必有,)(DDxfxy其中0lim0Dx故xxxfyDDD)(0Dx0所以函數(shù))(xfy 在點(diǎn) x 連續(xù) .注意注意: 函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn) x 連續(xù)未必可導(dǎo)連續(xù)未必可導(dǎo).反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 處連續(xù) , 但不可導(dǎo).即機(jī)動 目錄 上頁 下

11、頁 返回 完畢 定理定理5.1 如果函數(shù)如果函數(shù) f 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 可導(dǎo)可導(dǎo), 那么那么 f 在點(diǎn)在點(diǎn) x0連續(xù)連續(xù). . 值得注意的是函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)僅是函數(shù)在該點(diǎn)可值得注意的是函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)僅是函數(shù)在該點(diǎn)可其中其中 D(x) D(x) 是熟知的狄利克雷函數(shù)是熟知的狄利克雷函數(shù). .例例5 證明函數(shù)證明函數(shù) 僅在僅在 x = 0 處可導(dǎo)處可導(dǎo), 2( )( )f xx D x 處連續(xù)，卻不可導(dǎo)處連續(xù)，卻不可導(dǎo). 導(dǎo)的必要條件導(dǎo)的必要條件. 如例如例3、例、例4 中的函數(shù)均在中的函數(shù)均在 x = 0不連續(xù)不連續(xù), 由定理由定理 5.1, f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 不可導(dǎo)不可導(dǎo).0)(lim0

12、)0()(lim)0(00 xxDxfxffxx由于導(dǎo)數(shù)是一種極限由于導(dǎo)數(shù)是一種極限, 因此如同左、右極限那樣因此如同左、右極限那樣, 所以有所以有當(dāng)當(dāng) x0 = 0 x0 = 0 時時, , 因因為為，1)( xD證證 當(dāng)時當(dāng)時,用歸結(jié)原理容易證明用歸結(jié)原理容易證明 f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn) x0 00 x可以定義左、右導(dǎo)數(shù)可以定義左、右導(dǎo)數(shù) ( 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù) ).二、導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù) f 在區(qū)間在區(qū)間 I 上的每一點(diǎn)都可導(dǎo)上的每一點(diǎn)都可導(dǎo) (對于區(qū)間對于區(qū)間0()( )( )lim,.xf xxf xfxxIxD DD DD D (7).dd)(xyxf或或 即即導(dǎo)函數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù)導(dǎo)函

13、數(shù)，簡稱導(dǎo)數(shù), 記作記作定義了一個在區(qū)間定義了一個在區(qū)間 I 上的函數(shù)，稱為上的函數(shù)，稱為 f 在在 I 上的上的則稱則稱 f 為區(qū)間為區(qū)間 I 上的可導(dǎo)函數(shù)上的可導(dǎo)函數(shù). 此時此時, 對對 I 上的任上的任端點(diǎn)考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù)端點(diǎn)考慮相應(yīng)的單側(cè)導(dǎo)數(shù), 如左端點(diǎn)考慮右導(dǎo)數(shù)如左端點(diǎn)考慮右導(dǎo)數(shù)) ,僅為一個記號，學(xué)了微分之后就會知僅為一個記號，學(xué)了微分之后就會知注注 這里這里xydd意一點(diǎn)意一點(diǎn) x 都有都有 f 的一個導(dǎo)數(shù)的一個導(dǎo)數(shù) 與之對應(yīng)與之對應(yīng), 這就這就()0fx .dd,d)(d000 xxxxxxxyyxxf 三、三、 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義xyo)(xfy CT0 xM曲線

14、)(xfy 在點(diǎn)),(00yx的切線斜率為)(tan0 xf 假設(shè),0)(0 xf曲線過上升;假設(shè),0)(0 xf曲線過下降;xyo0 x),(00yx假設(shè),0)(0 xf切線與 x 軸平行,稱為駐點(diǎn);),(00yx),(00yx0 x假設(shè),)(0 xf切線與 x 軸垂直 .曲線在點(diǎn)處的),(00yx切線方程切線方程:)(000 xxxfyy法線方程法線方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0時 xf機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例1. 求函數(shù)求函數(shù)Cxf)(C 為常數(shù)) 的導(dǎo)數(shù). 解解:yxCCxDD0lim0即0)(C例例2. 求函數(shù)求函數(shù))N()(

15、nxxfn.處的導(dǎo)數(shù)在ax 解解:axafxf)()(ax lim)(af axaxnnaxlim(limax1nx2nxa32nxa)1na1nanxxfxxfDD)()(0limDx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 說明：說明：對一般冪函數(shù)xy ( 為常數(shù)) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x（以后將證明）機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 hxhxhsin)sin(lim0例例3. 求函數(shù)求函數(shù)xxfsin)(的導(dǎo)數(shù). 解解:,xhD令那么)(xf hxfhxf)()(0limh0limh)2cos(2hx 2sinh)2cos(lim0hxh22sinhhxcos即xxcos)(sin類似可證得xxsin)(cosh機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xay 因而因而axaaaaxxxxln1elimln)(ln0D