數(shù)學(xué)史概論12

1、天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院http:/ 20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀-空前發(fā)展的應(yīng)用數(shù)學(xué)12.2.1 12.2.1 數(shù)學(xué)物理數(shù)學(xué)物理12.2.2 12.2.2 生物數(shù)學(xué)生物數(shù)學(xué)12.2.3 12.2.3 數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)12.3.1 12.3.1 數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)理統(tǒng)計(jì)12.3.2 12.3.2 運(yùn)籌學(xué)運(yùn)籌學(xué)12.3.3 12.3.3 控制論控制論12.4.1 12.4.1 電子計(jì)算機(jī)的誕生電子計(jì)算機(jī)的誕生12.4.2 12.4.2 計(jì)算機(jī)影響下的數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)影響下的數(shù)學(xué)12.4.3 12.4.3 計(jì)算機(jī)科學(xué)中的數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)中的數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)從它萌芽之日起，就表現(xiàn)出解決因人類實(shí)際需要而提出

2、數(shù)學(xué)從它萌芽之日起，就表現(xiàn)出解決因人類實(shí)際需要而提出的各種問題的功效。歷法、航海、商業(yè)的計(jì)算，橋梁、寺廟、宮的各種問題的功效。歷法、航海、商業(yè)的計(jì)算，橋梁、寺廟、宮殿的建造，武器與工事的設(shè)計(jì)等等，往往都需要借助于數(shù)學(xué)去獲殿的建造，武器與工事的設(shè)計(jì)等等，往往都需要借助于數(shù)學(xué)去獲取圓滿解決。在人類文明進(jìn)步的歷次重大產(chǎn)業(yè)革命和思想革命中，取圓滿解決。在人類文明進(jìn)步的歷次重大產(chǎn)業(yè)革命和思想革命中，數(shù)學(xué)作為科學(xué)的推動(dòng)力或直接的參與者，也起到了不可或缺的作數(shù)學(xué)作為科學(xué)的推動(dòng)力或直接的參與者，也起到了不可或缺的作用。尤其是進(jìn)入用。尤其是進(jìn)入20世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)更是以空前的廣度與深度向其世紀(jì)以后，數(shù)學(xué)更是以空前

3、的廣度與深度向其他科學(xué)技術(shù)和人類知識(shí)領(lǐng)域滲透，加上電子計(jì)算機(jī)的推助，應(yīng)用他科學(xué)技術(shù)和人類知識(shí)領(lǐng)域滲透，加上電子計(jì)算機(jī)的推助，應(yīng)用數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展已經(jīng)形成為當(dāng)代數(shù)學(xué)的一股強(qiáng)大潮流。數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展已經(jīng)形成為當(dāng)代數(shù)學(xué)的一股強(qiáng)大潮流。 隨著科學(xué)發(fā)展，學(xué)科之間的相互滲透已是一種普遍現(xiàn)象，而其中數(shù)學(xué)的滲透又特別明顯。這種滲透不能簡單地理解為把數(shù)學(xué)作為一種科學(xué)研究的工具和技術(shù)，而是新的研究領(lǐng)域和交叉學(xué)科建立的動(dòng)力。數(shù)學(xué)已成為其他學(xué)科理論的一個(gè)重要組成部分，這是數(shù)學(xué)應(yīng)用日益廣泛的體現(xiàn)。這種體現(xiàn)具體講就是數(shù)學(xué)化?，F(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的一個(gè)顯著特點(diǎn)是，自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)以及社會(huì)科學(xué)都普遍地處于數(shù)學(xué)化的過程之中，它們都在朝著

4、愈來愈精確的方向發(fā)展。電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用，為各門科學(xué)的數(shù)學(xué)化提供了可能性，因而加速了各門科學(xué)數(shù)學(xué)化的趨勢。 復(fù)雜系統(tǒng)復(fù)雜系統(tǒng)數(shù)學(xué)物理數(shù)學(xué)物理概率論概率論計(jì)算數(shù)學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)力學(xué)力學(xué)應(yīng)用分析應(yīng)用分析視覺理論與空間圖形視覺理論與空間圖形代數(shù)代數(shù)分析分析幾何幾何核心語言核心語言:數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用(一) 自然科學(xué)的數(shù)學(xué)化（2）物理學(xué) （1）天文學(xué) （3）生物學(xué) （4）醫(yī)學(xué) (二) 社會(huì)人文科學(xué)的數(shù)學(xué)化（2）社會(huì)學(xué) （1）經(jīng)濟(jì)學(xué) （3）語言學(xué)文學(xué) 數(shù)學(xué)在天文學(xué)中的應(yīng)用，歷史最為久遠(yuǎn)。早在河谷文明時(shí)期，早期人類積累的數(shù)學(xué)知識(shí)便為天文計(jì)算和歷法編制提供了有力的工具。在隨后的發(fā)展中，數(shù)學(xué)更是常常與天文學(xué)緊密地交

5、織在一起。黑暗的中世紀(jì), 正是由于借用了有效的數(shù)學(xué)方法，地處東方的中國才在天文歷法的編制上取得了輝煌的成績。 文藝復(fù)興時(shí)期，科學(xué)在走出黑暗之后，仍與宗教進(jìn)行著艱苦卓絕的斗爭。哥白尼“日心說”是向宗教和中世紀(jì)傳統(tǒng)思想的宣戰(zhàn)。但日心說長期受到教會(huì)勢力的的抵制，為此布魯諾被教會(huì)活活燒死在羅馬鮮花廣場，伽利略被宗教裁判所判罪而終身軟禁。只有等到牛頓用他的微積分理論加上嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推理，從動(dòng)力學(xué)定律、萬有引力定律出發(fā)推演出太陽系的運(yùn)動(dòng)之后，日心說才得以取得決定性的勝利。這是在思想革命中數(shù)學(xué)推動(dòng)人類文明進(jìn)步的一次偉大勝利。 19世紀(jì)初，英國的亞當(dāng)斯和法國的勒維烈，根據(jù)太陽系學(xué)說提供的數(shù)據(jù)，從數(shù)學(xué)上推算出一顆

6、未知行星的存在并預(yù)報(bào)了它在太空中的位置，德國天文學(xué)家加勒于1846年9月23日晚在亞當(dāng)斯、勒維烈所指出的位置只差一度之處找到了這顆新的行星-海王星。數(shù)學(xué)在這里又一次顯示了它巨大的威力. 12.2.1 天文學(xué)12.2.2 物理學(xué) 物理學(xué)依賴于數(shù)學(xué)而發(fā)展的歷史也相當(dāng)悠久。數(shù)學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的結(jié)合在18世紀(jì)達(dá)到了黃金時(shí)期。由于微積分的誕生，涉及運(yùn)動(dòng)與變化的計(jì)算變得相當(dāng)容易。作為一種十分有效的新工具，微積分推動(dòng)了以機(jī)械運(yùn)動(dòng)為主題的科學(xué)技術(shù)的高漲，成為18世紀(jì)第一次產(chǎn)生革命的重要理論先導(dǎo)。19世紀(jì)數(shù)學(xué)在物理學(xué)中的應(yīng)用重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到電學(xué)與電磁學(xué)。第二次產(chǎn)業(yè)革命雖然先后以電磁理論和無線通信技術(shù)為基礎(chǔ)，但不可否認(rèn)的是

7、，電磁理論的研究與數(shù)學(xué)分析的應(yīng)用有著密不可分的關(guān)系，微積分仍是其最為根本的理論依據(jù)，電報(bào)裝置的發(fā)明人，正是素有“數(shù)學(xué)之王”稱號(hào)的高斯。至于現(xiàn)代無線電通信技術(shù)，完全可以溯源于麥克斯韋從數(shù)學(xué)上對電磁波存在性的預(yù)見。麥克斯韋毫不諱言，倘若沒有格林、高斯等數(shù)學(xué)家提出的位勢理論，沒有偏微分方程這個(gè)數(shù)學(xué)工具，他是不可能建立電磁學(xué)說的。 在20世紀(jì)初狹義相對論和廣義相對論的創(chuàng)立過程中，數(shù)學(xué)都建有奇功。1907年，德國數(shù)學(xué)家閔可夫斯基（H. Minkowski，1864-1909）提出了“閔可夫斯基空間”，即將時(shí)間與空間融合在一起的四維時(shí)空。閔可夫斯基幾何為愛因斯坦狹義相對論提供了合適的數(shù)學(xué)模型。有了閔可夫斯

8、基時(shí)空模型后，愛因斯坦又進(jìn)一步研究引力場理論以建立廣義相對論。1912年夏，他已經(jīng)概括出新的引力理論的基本物理原理，但為了實(shí)現(xiàn)廣義相對論的目標(biāo)，還必須有理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，愛因斯坦為此花費(fèi)了三年時(shí)間，最后在數(shù)學(xué)家格羅斯曼（M.Grossmann）幫助下掌握了發(fā)展相對論引力學(xué)說所必須的數(shù)學(xué)工具-以黎曼幾何為基礎(chǔ)的絕對微分學(xué)，即愛因斯坦后來所稱的張量分析。在1915年11月25日發(fā)表的一篇論文中，愛因斯坦導(dǎo)出了廣義協(xié)變的引力場方程： guv 就是黎曼度規(guī)張量。愛因斯坦指出：“由于這組方程，廣義相對論作為一種邏輯結(jié)構(gòu)終于大功告成！” 根據(jù)愛因斯坦的理論，時(shí)空整體是不均勻的，只是在微小的區(qū)域內(nèi)可以近似地看

9、作均勻。在數(shù)學(xué)上，廣義相對論的時(shí)空可以解釋為一種黎曼空間，非均勻時(shí)空連續(xù)區(qū)域可借助于現(xiàn)成的黎曼度量： 來描述。這樣，廣義相對論的數(shù)學(xué)表述第一次揭示了非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義，成為歷史上數(shù)學(xué)應(yīng)用最偉大的例子之一。 1912年，愛因斯坦在概括出新的引力理論基本原理之后，為了實(shí)現(xiàn)廣義相對論的目標(biāo)，開始苦尋適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，為此花費(fèi)了3年時(shí)間。終于在以黎曼幾何為基礎(chǔ)的絕對微分學(xué)中找到了他所需的張量分析理論。據(jù)此，愛因斯坦導(dǎo)出了廣義協(xié)變的引力場方程，廣義相對論作為一種邏輯結(jié)構(gòu)終于大功告成。在數(shù)學(xué)上，廣義相對論的時(shí)空可以解釋為一種黎曼空間, 非均勻時(shí)空連續(xù)區(qū)可借助于現(xiàn)成的黎曼度量來描述。這樣,廣義相對論的數(shù)學(xué)表述

10、第一次揭示了非歐幾何在現(xiàn)實(shí)意義，成為歷史上數(shù)學(xué)應(yīng)用最偉大的例子之一。 20世紀(jì)數(shù)學(xué)物理的另一項(xiàng)經(jīng)典成就是量子力學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的確立。量子理論在初創(chuàng)的20多年時(shí)間里，一直缺乏統(tǒng)一結(jié)構(gòu)。1925年，由海森堡建立的矩陣力學(xué)和由薛定諤發(fā)展的波動(dòng)力學(xué)也彼此獨(dú)立。將這兩大理論融合為統(tǒng)一的體系，成為當(dāng)時(shí)科學(xué)界的當(dāng)務(wù)之急。而希爾伯特譜理論的推廣與應(yīng)用，完全奠定了量子力學(xué)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。 抽象的數(shù)學(xué)成果最終成為其他科學(xué)新理論的仿佛是定做的工具，在20世紀(jì)下半葉又演出了精彩的一幕，這就是大范圍微分幾何在統(tǒng)一場論中的應(yīng)用。數(shù)學(xué)家（外爾）在尋求電磁場與引力場的統(tǒng)一表述過程中，創(chuàng)立了自己的規(guī)范場理論，即“規(guī)范不變幾何”。隨

11、后，物理學(xué)家們提出的“楊-米爾斯理論”揭示了規(guī)范不變性可能是所有四種（電磁、引力、強(qiáng)、弱）相互作用的共性。而該理論所需要的工具物理規(guī)范勢實(shí)際上就是微分幾何中纖維叢上的聯(lián)絡(luò)，20世紀(jì)30、40年代以來已經(jīng)得到深入的研究。不僅如此，人們還發(fā)現(xiàn)規(guī)范場的楊-米爾斯方程是一組在數(shù)學(xué)上有重要意義的非線性偏微分方程。1975年以來，對楊-米爾斯方程的研究取得了許多重要成果，展示了統(tǒng)一場論的誘人前景。 Yang 和 Mills12.2.3 生物與醫(yī)學(xué) 與物理學(xué)相比，生物學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)相當(dāng)遲緩。將數(shù)學(xué)方法引進(jìn)生物學(xué)研究大約始于20世紀(jì)初，英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜首先將統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用于遺傳學(xué)與進(jìn)化論，并于1902年創(chuàng)辦了生物

12、統(tǒng)計(jì)學(xué)雜志，統(tǒng)計(jì)方法在生物學(xué)中的應(yīng)用變得日益廣泛。1926年，意大利數(shù)學(xué)家伏爾泰拉提出著名的伏爾泰拉方程：dycxydtdybxyaxdtdx 使微分方程成為建立各種生物模型的重要工具。用微分方程建立生物模型在20世紀(jì)50年代曾獲得轟動(dòng)性成果，這就是描述神經(jīng)脈沖傳導(dǎo)過程的數(shù)學(xué)模型霍奇金-哈斯利方程（1952）和描述視覺系統(tǒng)側(cè)抑制作用的哈特萊因-拉特里夫方程（1958），它們都是復(fù)雜的非線性方程組，引起了數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家的濃厚興趣。這兩項(xiàng)工作分別獲得1963年和1967年度諾貝爾醫(yī)學(xué)生理學(xué)獎(jiǎng)。K. Pearson (1857-1936) 20世紀(jì)50年代是數(shù)學(xué)與生物學(xué)結(jié)緣的良好時(shí)期。1953年，

13、美國生物化學(xué)家沃森沃森和英國物理學(xué)家克里克克里克共同發(fā)現(xiàn)了脫氧核糖核酸（即DNA）的雙螺旋結(jié)構(gòu)。雙螺旋模型的發(fā)現(xiàn)標(biāo)志著分子生物學(xué)的誕生，同時(shí)也拉開了抽象的拓?fù)鋵W(xué)與生物學(xué)結(jié)合的序幕。采用把DNA的紐結(jié)解開再把它們復(fù)制出來的辦法去了解DNA的結(jié)構(gòu)，這就使代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中的紐結(jié)理論有了用武之地。1969年以來，數(shù)學(xué)家與生物學(xué)家合作在計(jì)算雙螺旋“環(huán)繞數(shù)”方面取得了許多進(jìn)展，環(huán)繞數(shù)是刻畫兩條閉曲線相互纏繞情況的拓?fù)洳蛔兞俊?984年，關(guān)于紐結(jié)新的不變量，即瓊斯多項(xiàng)式的發(fā)現(xiàn)，使生物學(xué)家獲得了一種新工具來對DNA結(jié)構(gòu)中的紐結(jié)進(jìn)行分類。另外，1976年以來，數(shù)學(xué)家與生物學(xué)家合作在運(yùn)用統(tǒng)計(jì)與組合數(shù)學(xué)來了解DNA鏈中

14、堿基的排序方面也取得了令人鼓舞的成績。 在現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)科學(xué)中，能否接受數(shù)學(xué)方法或與數(shù)學(xué)相近的物理學(xué)方法，已越來越成為該學(xué)科成功與否的重要標(biāo)準(zhǔn)。20世紀(jì)60年代，數(shù)學(xué)方法在醫(yī)學(xué)診斷技術(shù)中的應(yīng)用提供了這方面的又一個(gè)重要例證，這就是CT掃描儀的發(fā)明。1963-1964年間，美籍南非理論物理學(xué)家科馬克在積分幾何中拉東變換的基礎(chǔ)之上發(fā)表了計(jì)算人體不同組織對X射線吸收量的數(shù)學(xué)公式，解決了計(jì)算機(jī)斷層掃描的理論問題。科馬克的工作促使英國工程師亨斯菲爾德發(fā)明了一臺(tái)計(jì)算機(jī)X射線斷層掃描儀即CT掃描儀。科馬克和亨斯菲爾德共同榮獲了1979年諾貝爾醫(yī)學(xué)生理學(xué)獎(jiǎng)。 此外，概率與統(tǒng)計(jì)應(yīng)用于人口理論和種群理論；布爾代數(shù)應(yīng)用于神

15、經(jīng)網(wǎng)絡(luò)描述；傅里葉分析應(yīng)用于生物高分子結(jié)構(gòu)分析，等等，這一切構(gòu)成了“生物數(shù)學(xué)”的豐富內(nèi)容。12.2.4 數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué) 20世紀(jì)40年代以來，經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的數(shù)學(xué)化，導(dǎo)致了數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的誕生。1944年，馮諾依曼與摩根斯頓提出競爭的數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)問題，成為現(xiàn)代數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的開端。 進(jìn)入50年代以后，數(shù)學(xué)方法在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的地位愈顯突出。1951年美籍荷蘭經(jīng)濟(jì)學(xué)家?guī)炱章估锰K聯(lián)數(shù)學(xué)家康托洛維奇創(chuàng)立的線性規(guī)劃理論，以“活動(dòng)分析”替代經(jīng)典經(jīng)濟(jì)學(xué)中的生產(chǎn)函數(shù)，為資源配置效率與價(jià)格體系對應(yīng)關(guān)系的研究提供了有效方法。他們因此同獲1975年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。 1959年美籍法國數(shù)學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家德布洛發(fā)表價(jià)格理論，對

16、一般經(jīng)濟(jì)均衡理論給出了嚴(yán)格的公理化表述，使公理化方法成為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的基本方法。 一般經(jīng)濟(jì)均衡價(jià)格的存在問題是經(jīng)濟(jì)學(xué)界長期關(guān)注但懸而未決的問題。早在1874年，法國經(jīng)濟(jì)學(xué)家沃拉斯就已將這個(gè)問題歸結(jié)為由供給等于需求所決定的方程組的求解，但這樣導(dǎo)出的一般是一組復(fù)雜的非線性方程，因而難以求解。直到1954年，德布洛和另一位美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿羅才第一次利用凸集理論、不動(dòng)點(diǎn)定理等給出了一般經(jīng)濟(jì)均衡的嚴(yán)格表述和存在性證明。阿羅和德布洛先后獲得1972年和1983年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。 20世紀(jì)70年代以后，隨機(jī)分析進(jìn)入經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，特別是1973年布萊克和斯科爾斯將期權(quán)定價(jià)問題歸結(jié)為一個(gè)隨機(jī)微分方程的解，從而導(dǎo)

17、出了相當(dāng)符合實(shí)際的著名的期權(quán)定價(jià)公式，即布萊克-斯科爾斯公式。布萊克-斯科爾斯理論被認(rèn)為是金融數(shù)學(xué)方面的一項(xiàng)突破，它后又被默頓進(jìn)一步完善，不僅在金融活動(dòng)中行之有效，產(chǎn)生巨大利益，而且在數(shù)學(xué)上對隨機(jī)分析、隨機(jī)控制、偏微分方程、非線性分析、數(shù)值分析和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域的發(fā)展也帶來極大的推動(dòng)。默頓和斯科爾斯榮獲1997年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。 事實(shí)上，除了天文、物理、生物、經(jīng)濟(jì)，數(shù)學(xué)在進(jìn)入20世紀(jì)后，其應(yīng)用已完全突破了傳統(tǒng)的范圍而向人類幾乎所有的知識(shí)領(lǐng)域滲透。而且，純粹數(shù)學(xué)幾乎所有的分支都獲得了應(yīng)用，其中包括那些最為抽象的分支，就連“清白”和“無用”的數(shù)論也在密碼技術(shù)、衛(wèi)星信號(hào)傳輸、計(jì)算機(jī)科學(xué)的量子場論等許

18、多部門發(fā)揮重要的有時(shí)是關(guān)鍵的作用。此外，現(xiàn)代數(shù)學(xué)對生產(chǎn)技術(shù)的應(yīng)用變得越來越直接，數(shù)學(xué)提供的工具直接影響和推動(dòng)技術(shù)進(jìn)步的頻率正在加大，并在許多情況下產(chǎn)生巨大的經(jīng)濟(jì)效益。例如以計(jì)算流體力學(xué)為基礎(chǔ)的數(shù)值模擬已成為飛行器設(shè)計(jì)的有效工具，類似的數(shù)值模擬方法正在被應(yīng)用于許多技術(shù)部門以替代耗資巨大的試驗(yàn)，以調(diào)和分析為基礎(chǔ)的小波分析直接應(yīng)用于通信、石油勘探與圖象處理等廣泛的技術(shù)領(lǐng)域等等，這樣的例子不勝枚舉。12.3.1 數(shù)理統(tǒng)計(jì) 數(shù)學(xué)向另一門科學(xué)滲透到一定階段，就會(huì)形成一些交叉分支，如數(shù)學(xué)物理、數(shù)理化學(xué)、生物數(shù)學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)、數(shù)理氣象學(xué)、數(shù)理語言學(xué)、數(shù)理心理學(xué)、數(shù)學(xué)考古學(xué)。等等。它們的數(shù)目還在增加

19、。但一般說來，它們在數(shù)學(xué)方法上很難獨(dú)立。20世紀(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)獨(dú)特景觀，是產(chǎn)生了一批具有自己的數(shù)學(xué)方法、相對獨(dú)立的應(yīng)用學(xué)科。 簡單的統(tǒng)計(jì)古來就有。但以概率論為基礎(chǔ)、以統(tǒng)計(jì)推斷為主要內(nèi)容的現(xiàn)代意義簡單的統(tǒng)計(jì)古來就有。但以概率論為基礎(chǔ)、以統(tǒng)計(jì)推斷為主要內(nèi)容的現(xiàn)代意義的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，則到的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，則到2020世紀(jì)才告成熟。世紀(jì)才告成熟。英國生物學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家英國生物學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜皮爾遜在現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)的建立上起了重要作用。在現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)的建立上起了重要作用。19011901年，皮爾遜通過發(fā)展相關(guān)與回歸理論，成功地創(chuàng)立了生物統(tǒng)計(jì)學(xué)。年，皮爾遜通過發(fā)展相關(guān)與回歸理論，成功地創(chuàng)立了生物統(tǒng)計(jì)學(xué)。1

20、9081908年，皮爾年，皮爾遜的學(xué)生戈塞特以遜的學(xué)生戈塞特以“學(xué)生分布學(xué)生分布”開創(chuàng)了小樣本統(tǒng)計(jì)理論，使統(tǒng)計(jì)學(xué)研究對象從群開創(chuàng)了小樣本統(tǒng)計(jì)理論，使統(tǒng)計(jì)學(xué)研究對象從群體現(xiàn)象轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)現(xiàn)象。體現(xiàn)象轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)現(xiàn)象。現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)作為一門獨(dú)立學(xué)科的奠基人是英國數(shù)學(xué)家現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)作為一門獨(dú)立學(xué)科的奠基人是英國數(shù)學(xué)家費(fèi)希爾費(fèi)希爾。2020世紀(jì)世紀(jì)2020、3030年代，年代，他因提出許多重要的統(tǒng)計(jì)方法，而開辟了一系列統(tǒng)計(jì)學(xué)的分支領(lǐng)域。如系統(tǒng)的他因提出許多重要的統(tǒng)計(jì)方法，而開辟了一系列統(tǒng)計(jì)學(xué)的分支領(lǐng)域。如系統(tǒng)的相關(guān)分析與回歸分析、方差分析、試驗(yàn)設(shè)計(jì)。費(fèi)希爾因?yàn)橐M(jìn)顯著性檢驗(yàn)概念而相關(guān)分析與回歸分析、方差

21、分析、試驗(yàn)設(shè)計(jì)。費(fèi)希爾因?yàn)橐M(jìn)顯著性檢驗(yàn)概念而成為另一門重要統(tǒng)計(jì)分支假設(shè)檢驗(yàn)的先驅(qū)之一。費(fèi)希爾實(shí)際上還開辟了多元統(tǒng)計(jì)成為另一門重要統(tǒng)計(jì)分支假設(shè)檢驗(yàn)的先驅(qū)之一。費(fèi)希爾實(shí)際上還開辟了多元統(tǒng)計(jì)分析的方向，他關(guān)于多元正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)分析，就是一種狹義的多元分析。分析的方向，他關(guān)于多元正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)分析，就是一種狹義的多元分析。19281928年維夏特導(dǎo)出了年維夏特導(dǎo)出了“維夏特分布維夏特分布”，將這一方向發(fā)展為統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)獨(dú)立分支。，將這一方向發(fā)展為統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)獨(dú)立分支。多元統(tǒng)計(jì)分析的奠基人還有中國數(shù)學(xué)家許寶騄和美國數(shù)學(xué)家霍太林等。多元統(tǒng)計(jì)分析的奠基人還有中國數(shù)學(xué)家許寶騄和美國數(shù)學(xué)家霍太林等。 19

22、46年，瑞典數(shù)學(xué)家克拉姆用測度論系統(tǒng)總結(jié)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展，標(biāo)志著現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的成熟。 二戰(zhàn)期間，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)研究中一些重要的新動(dòng)向，在很大程度上決定了這門學(xué)科在戰(zhàn)后的發(fā)展方向。其中最有影響的是美籍羅馬尼尼數(shù)學(xué)家沃爾德提出的序貫分析和統(tǒng)率決策理論。序貫分析的要旨是在統(tǒng)計(jì)推斷中以“序貫抽樣方案”來代替?zhèn)鹘y(tǒng)的固定抽樣方案, 這樣就可以使整個(gè)推斷程序在達(dá)到一定精度時(shí)自動(dòng)停止,因此有很大的優(yōu)越性。沃爾德原為解決軍方提出的實(shí)際問題而提出這一統(tǒng)計(jì)方法。1947年，他發(fā)表專著序貫分析，使之在戰(zhàn)后發(fā)展為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一個(gè)重要分支。統(tǒng)計(jì)決策理論也因首次將決策觀念納入統(tǒng)計(jì)方法而引起了戰(zhàn)后數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想的革新。他用博奕的觀

23、點(diǎn)看待數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題，定義了統(tǒng)計(jì)推斷程序的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，用以判別推斷程序的好壞。這是對傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法的突破與創(chuàng)新。 12.3.2 運(yùn)籌學(xué) 運(yùn)籌學(xué)原意為“作戰(zhàn)研究”（Operational Research），最早因二戰(zhàn)中負(fù)責(zé)英國海岸雷達(dá)系統(tǒng)的羅（A. P. Rowe）的倡議而發(fā)起?！斑\(yùn)籌”之說在中國確定于1964年，語出漢書：“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外?！?運(yùn)籌研究在1940年英國對付德軍空襲的戰(zhàn)斗中建有奇功，在如搜尋潛艇、深水炸彈投放方案、兵力分配等方面也都發(fā)揮了功效。二戰(zhàn)結(jié)束后，運(yùn)籌學(xué)被引入民用部門，研究內(nèi)容不斷擴(kuò)充，形成了一門新興的應(yīng)用學(xué)科。目前，它已包括有數(shù)學(xué)規(guī)劃論、博奕論、排隊(duì)論、決策分析

24、、圖論、可靠性數(shù)學(xué)理論、庫存論、搜索論等許多分支，統(tǒng)籌與優(yōu)選也可列入運(yùn)籌學(xué)的范疇，運(yùn)籌學(xué)就是運(yùn)用這些數(shù)學(xué)方法來解決生產(chǎn)、國防、商業(yè)和其他領(lǐng)域中的安排、籌劃、控制、管理等有關(guān)的問題。 數(shù)學(xué)規(guī)劃是運(yùn)籌學(xué)中一個(gè)基本而又龐大的領(lǐng)域，其中線性規(guī)劃論則是發(fā)展最早和比較成熟的分支。 有一類實(shí)際問題需要將某些對象最大化（如利潤、安全等）或最小化（如支出、風(fēng)險(xiǎn)等），數(shù)學(xué)規(guī)劃就是為這類實(shí)際問題提供數(shù)學(xué)模型的一種方法，具體地說，數(shù)學(xué)規(guī)劃尋求函數(shù) 在規(guī)定 必須滿足一定條件時(shí)的極?。ɑ驑O大）值。 稱為“目標(biāo)函數(shù)”，必須滿足的條件稱為“約束條件”。如果目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的，就叫線性規(guī)劃，即 約束條件為),(21n

25、xxxf),(21nxxx),(21nxxxfniiixaxf1)(minniijiijmimjxcxb1);, 2 , 1; 0( 線性規(guī)劃問題在孕育整個(gè)運(yùn)籌學(xué)的數(shù)學(xué)理論方面扮演了重要角色，并且至今仍是這門學(xué)科的中心課題。線性規(guī)劃的先驅(qū)者是蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家康托洛維奇，他于1939年發(fā)表生產(chǎn)組織與計(jì)劃中的數(shù)學(xué)方法，是為最早的線性規(guī)劃著作。1947年，美國的丹齊克又獨(dú)立地發(fā)展了線性規(guī)劃理論，線性規(guī)劃這一名稱就是他首先使用的。特別是，丹齊克設(shè)計(jì)了單純形算法作為處理線性規(guī)劃問題的工具。單純形法在實(shí)用上非常有效，因而使線性規(guī)劃論有了發(fā)展的基礎(chǔ)。 通過探討目標(biāo)函數(shù)和約束條件的不同情況，數(shù)學(xué)家們得到了線性規(guī)劃論

26、沿不同方向的推廣。1951年庫恩和塔克爾對一般非線性規(guī)劃問題得到了局部極值點(diǎn)的“庫恩-塔克爾條件”，他們的論文非線性規(guī)劃，可以看作是這一分支學(xué)科的發(fā)端。 繼線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃之后建立的另一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃論同時(shí)也是運(yùn)籌學(xué)的基本分支是動(dòng)態(tài)規(guī)劃,其奠基人是貝爾曼。貝爾曼1957年發(fā)表的專著動(dòng)態(tài)規(guī)劃，標(biāo)志著該學(xué)科的建立。12.3.3 控制論 控制論也是在二戰(zhàn)期間新興的應(yīng)用學(xué)科。其創(chuàng)始人維納因接受軍方的與火力控制有關(guān)的“預(yù)報(bào)問題”而開始了這方面的研究。與此同時(shí)，維納關(guān)注的還有“濾波問題”。（高射炮打飛機(jī)， 濾波問題） 在維納之前，預(yù)報(bào)問題與濾波問題一直被視作不同問題進(jìn)行討論。維納的獨(dú)到之處在于發(fā)現(xiàn)了它們與

27、其他類似問題的共性，并借用統(tǒng)計(jì)學(xué)的時(shí)間序列概念對它們做出了統(tǒng)一處理。維納將它們的求解問題歸結(jié)為特定數(shù)學(xué)算符的最優(yōu)設(shè)計(jì)，以及實(shí)現(xiàn)這些算符的物理裝置的最優(yōu)設(shè)計(jì)。這種設(shè)計(jì)過程，依賴于數(shù)學(xué)中變分法的極小化技術(shù)，同時(shí)取決于所處理信息時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)學(xué)。維納廣泛地利用了調(diào)和分析與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中成熟的工具，建立起一整套最優(yōu)設(shè)計(jì)的方法，逐步形成了系統(tǒng)的控制理論。1948年，維納終于出版了他的名著控制論，宣告了這門學(xué)科的誕生。 維納的控制論通常被稱為“經(jīng)典控制論”。20世紀(jì)50年代以后，它獲得推廣發(fā)展，形成了研究系統(tǒng)調(diào)節(jié)與控制的一般規(guī)律的現(xiàn)代控制論。1958年，龐特里亞金提出極大值原理，是為確定系統(tǒng)最優(yōu)控制

28、的一種強(qiáng)有力的方法；1960年，卡爾曼引進(jìn)狀態(tài)空間法和“卡爾曼濾波”概念，使人們能更有效地控制隨機(jī)噪聲，擴(kuò)大了控制論的研究范圍。龐特里亞金極大值原理、卡爾曼濾波以及前面已提到的貝爾曼動(dòng)態(tài)規(guī)劃最優(yōu)化原理，構(gòu)成了現(xiàn)代控制論的三大基石。 在20世紀(jì)形成的與數(shù)學(xué)密切相關(guān)的應(yīng)用學(xué)科中，還應(yīng)該提到信息論。信息論的創(chuàng)始人是美國人香農(nóng)，他1948年發(fā)表“通信的數(shù)學(xué)理論”等論文，以概率論為基礎(chǔ)研究信息量與通信編碼。信息論后來則發(fā)展成更一般的關(guān)于信息加工、存儲(chǔ)與分析的理論。 20世紀(jì)中葉高速電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來了深刻影響，這是20世紀(jì)數(shù)學(xué)區(qū)別于以往任何時(shí)代的一大特點(diǎn)。12.4.1 電子計(jì)算機(jī)的誕生

29、 用機(jī)器代替人工計(jì)算，是人類的長期追求。從算盤的發(fā)明到電子計(jì)算機(jī)的創(chuàng)新，從事抽象思維的數(shù)學(xué)家們在每一個(gè)關(guān)鍵時(shí)刻都發(fā)揮著決定性作用。 古代的計(jì)算器械有算盤。羅馬人使用一種帶槽的金屬算盤，槽中放有石子，上下移動(dòng)進(jìn)行計(jì)算。由于未用十進(jìn)制，也缺乏位置概念，羅馬算盤因運(yùn)算笨拙而未能流行。十進(jìn)位值制的珠算盤最早出現(xiàn)在中國，明代著作魁本對相四言雜字（1371）中載有十檔算盤圖，實(shí)際發(fā)明年代應(yīng)在此之前。明代珠算已相當(dāng)普及，程大位的算法統(tǒng)宗（1592），詳述了珠算的制度和方法， 標(biāo)志了珠算的成熟。算法統(tǒng)宗遠(yuǎn)傳日本，珠算在日本也很流行，不過算盤形式略有改變，稱為“十露盤”.（清明上河圖中的算盤，明朝的象牙算盤，算

30、盤圖） 第一臺(tái)能做加減速運(yùn)算的機(jī)械式計(jì)算機(jī)是由帕斯卡在1642年發(fā)明的。萊布尼茲也敏銳地預(yù)見到了計(jì)算機(jī)的重要性，并于1674年在他人幫助下制成了一臺(tái)能進(jìn)行加減乘除運(yùn)算的“算術(shù)計(jì)算機(jī)”。 為普通的四則運(yùn)算機(jī)增加程序控制功能，是向現(xiàn)代計(jì)算機(jī)過渡的關(guān)鍵。英國數(shù)學(xué)家巴貝奇在這方面邁出了第一步。1822年他首先制成“差分機(jī)”，大約在1834年，又設(shè)計(jì)了“分析機(jī)”。（艾達(dá)拜倫）由于時(shí)代的限制，巴貝奇分析機(jī)的純機(jī)械設(shè)計(jì)方案在技術(shù)實(shí)施上遇到了巨大的障礙。巴貝奇通用程度控制數(shù)字計(jì)算機(jī)的天才設(shè)想，過了差不多100年才得以實(shí)現(xiàn)。 電子管的出現(xiàn)為計(jì)算機(jī)的革命性發(fā)展提供了可能。1945年，世紀(jì)上第一臺(tái)通用程序控制電子計(jì)

31、算機(jī)問世。同年，在馮諾依曼的參與和主持下，又誕生了一份全新的通用電子計(jì)算機(jī)方案，其中一項(xiàng)重大的革新就是所謂存儲(chǔ)程序的概念。這使得運(yùn)算全部實(shí)現(xiàn)了真天的自動(dòng)化。該方案史稱“101頁報(bào)告”，開辟了計(jì)算機(jī)發(fā)展史上的新時(shí)代，使現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)走上了康莊大道。 除了馮諾依曼，提出現(xiàn)代計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)思想的數(shù)學(xué)家還有圖靈。圖靈提出的理想計(jì)算機(jī)理論，即“圖靈機(jī)”和“通用圖靈機(jī)”理論，不僅給出了可計(jì)算性概念的嚴(yán)格定義，而且從理論上證明了制造通用數(shù)字計(jì)算機(jī)的可能性。 從馮諾依曼和圖靈的時(shí)代起，電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展可謂日新月異，不過，它們大多以馮諾依曼的設(shè)計(jì)思想為基礎(chǔ)，稱為“馮諾依曼機(jī)”。20世紀(jì)80年代以后，人們又開始探索設(shè)

32、計(jì)新型計(jì)算機(jī)，包括所謂第五代計(jì)算機(jī)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算機(jī)，光學(xué)計(jì)算機(jī)，生物計(jì)算機(jī)，還有大規(guī)模并行計(jì)算機(jī)等等。毫無疑問，計(jì)算機(jī)的進(jìn)一步發(fā)展，仍將借助于數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)家。12.4.2 計(jì)算機(jī)影響下的數(shù)學(xué)電子計(jì)算機(jī)是數(shù)學(xué)與工程技術(shù)結(jié)合的產(chǎn)物，是抽象數(shù)學(xué)成果應(yīng)用的光輝例證。反過來，計(jì)算機(jī)正日益成為數(shù)學(xué)研究本身的嶄新手段，通過科學(xué)計(jì)算、數(shù)值模擬、圖象顯示等日益改變著數(shù)學(xué)研究的面貌。另一方面，計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)、改進(jìn)與使用提出的大量問題，又為數(shù)學(xué)中許多分支的理論發(fā)展注入了新的活力。計(jì)算機(jī)極大地?cái)U(kuò)展了數(shù)學(xué)的應(yīng)用范圍與能力，在推動(dòng)科學(xué)技術(shù)進(jìn)展方面發(fā)揮著越來越重要的作用。今天，不論是在軍事、經(jīng)濟(jì)、文化的各個(gè)層面上，數(shù)學(xué)都因計(jì)算

33、機(jī)的存在而顯得威力無窮。數(shù)值天氣預(yù)報(bào)是利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行成功科學(xué)計(jì)算的早期例子。1950年，馮諾依曼領(lǐng)導(dǎo)的天氣預(yù)報(bào)小組借助第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)完成了數(shù)值天氣預(yù)報(bào)史上的首次成功計(jì)算。隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，純粹數(shù)學(xué)正在獲得豐厚的回報(bào)。計(jì)算機(jī)已進(jìn)入越來越多的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，并且常常帶來意想不到的成果。數(shù)學(xué)家只用紙和筆的時(shí)代將成為過去。1976年9月，美國數(shù)學(xué)會(huì)通報(bào)宣布：伊利諾大學(xué)的哈肯和阿佩爾借助于電子計(jì)算機(jī)證明了地圖四色定理。這是用計(jì)算機(jī)解決重大數(shù)學(xué)問題的第一個(gè)鼓舞人心的范例。四色定理已有100多年的歷史，在19世紀(jì)雖經(jīng)德摩根、凱萊等大數(shù)學(xué)家的探討仍懸而未決。20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家們將四色定理的證明歸結(jié)為尋找一組特殊圖

34、形“不可避免可約圖”的集合，但后來發(fā)現(xiàn)他們面臨的是數(shù)以萬計(jì)的圖形，從而認(rèn)識(shí)到了計(jì)算龐大的圖形集合的能力可能是問題解決的關(guān)鍵。德國數(shù)學(xué)家希許最先提倡利用計(jì)算機(jī)來攻克四色問題，他設(shè)計(jì)的算法被哈肯和阿佩爾等人改進(jìn)后，終于在電子計(jì)算機(jī)上成功實(shí)施。最后的計(jì)算花費(fèi)了1200多個(gè)計(jì)算機(jī)小時(shí)。 在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行人工不可能完成的巨量計(jì)算，不僅使數(shù)學(xué)家們得以證明一些已知的困難定理,而且還幫助他們猜測新的事實(shí)、發(fā)現(xiàn)新的定理。通過計(jì)算歸納數(shù)學(xué)定理，然后再用演繹方法加以證明，本是數(shù)學(xué)家們常用的研究方法。這種方法的威力無疑由于電子計(jì)算機(jī)無可比擬的計(jì)算速度和圖象顯示功能而極大地加強(qiáng)了。這方面最突出的例子有孤立子和混沌的發(fā)現(xiàn)。

35、它們都可以看作是20世紀(jì)的重大數(shù)學(xué)成就。 孤立子是非線性波動(dòng)方程的一類脈沖式行波解，由克魯斯卡爾和薩布斯基于1965年在計(jì)算機(jī)數(shù)值試驗(yàn)中意外發(fā)現(xiàn)。隨后的二、三十年里，研究孤立子的熱潮一直持續(xù)不斷。 關(guān)于混沌的研究更是典型的計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)。復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)的迭代過程很早就引起數(shù)學(xué)家們的濃厚興趣。法國數(shù)學(xué)家朱利亞和法都曾率先研究過動(dòng)力學(xué)定理產(chǎn)生的圖象,并指出了其中參數(shù)的選擇對圖象的性質(zhì)影響至關(guān)重要。但他們的工作不得不半途而廢，一個(gè)重要的原因是無法精密地畫出所研究的對象，即使是對于最簡單的非線性系統(tǒng)，對不同參數(shù)迭代的計(jì)算量也大得驚人。直到1980年，朱利亞的學(xué)生蒙德爾布羅才利用新型超微機(jī)畫出了第一批這樣的圖象

36、，這些圖象對于不同的參數(shù)值展示出豐富多彩的結(jié)構(gòu)。特別是蒙德爾布羅通過計(jì)算機(jī)迭代發(fā)現(xiàn)了對某些參數(shù)值圖象呈現(xiàn)的嚴(yán)重混亂以及隱藏在這種混亂背后的圖案，即動(dòng)力學(xué)過程的混沌行為。這樣，蒙德爾布羅用計(jì)算機(jī)開辟了一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，混沌動(dòng)力學(xué)，這是一個(gè)真正屬于計(jì)算機(jī)時(shí)代的數(shù)學(xué)分支，它不僅已成為描述自然界不規(guī)則現(xiàn)象的數(shù)學(xué)工具，而且它所產(chǎn)生的那些變幻無窮、精美絕倫的混沌圖案，還堂而皇之地進(jìn)入了現(xiàn)代藝術(shù)的殿堂。12.4.3 計(jì)算機(jī)科學(xué)中的數(shù)學(xué) 自從第一臺(tái)電子計(jì)算機(jī)制造成功以來，計(jì)算機(jī)有了驚人的發(fā)展。體積縮小到原先的數(shù)萬分之一，速度提高了幾百萬倍，功能也大大突破了單純數(shù)字計(jì)算的范圍。計(jì)算機(jī)的這種變革與進(jìn)步，從另一方向

37、刺激著理論數(shù)學(xué)的發(fā)展?，F(xiàn)代計(jì)算機(jī)科學(xué)不僅離不開數(shù)理邏輯，而且要借助數(shù)論、代數(shù)學(xué)、組合數(shù)學(xué)乃至代數(shù)幾何等眾多數(shù)學(xué)分支的概念、方法與理論，同時(shí)新型計(jì)算機(jī)的研制還呼喚著新的數(shù)學(xué)思想。 組合數(shù)學(xué)也稱組合分析或組合論，有著古老的起源。中國古代傳說中有“洛書圖”，東漢鄭玄注周易則稱“九宮數(shù)”，這是最早的幻方。到宋代楊輝的著作（續(xù)古摘奇算法，1275）中已出現(xiàn)高達(dá)10階的幻方。楊輝與朱世杰以及比他們略早的印度數(shù)學(xué)家婆什迦羅等都得出了一系列有意義的組合恒等關(guān)系。中世紀(jì)的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家家也表現(xiàn)出對排列與幻方的濃厚興趣，不過，近代意義的組合數(shù)學(xué)則是從萊布尼茲1666年發(fā)表的組合的藝術(shù)為起點(diǎn)，“組合”這個(gè)名詞正是他首

38、先引進(jìn)的。18、19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家提出了一系列帶趣味性和益智魅力的著名的組合學(xué)（包括圖論）問題，如 哈密頓環(huán)球旅行問題（哈密頓環(huán)球旅行問題（18561856）：已知一個(gè)由一些城市和連結(jié)這些城市的道路組成的網(wǎng)絡(luò)，問是否存在一條旅行路線，使起點(diǎn)和終點(diǎn)都在同一個(gè)城市，而其他每個(gè)城市恰好都經(jīng)過一次。 柯克曼女生問題（柯克曼女生問題（18501850）：女教師要為其女學(xué)生安排下午散步的日程表，15人分成5組，每組3人，使得一周7個(gè)下午每兩位女生恰好見一次面。3636軍官問題（軍官問題（17811781）：36名軍官來自6個(gè)不同的軍團(tuán)，每個(gè)軍團(tuán)6名且分屬6種不同的軍階。問能否將他們排成一個(gè)方陣，使得每行每列的6名軍官正好來自6個(gè)不同軍團(tuán)？哥尼斯堡七橋問題（哥尼斯堡七橋問題（17361736，如圖），如圖）：要求設(shè)計(jì)一條散步路線，使河上每橋走過一次且一次。它們逐漸與數(shù)論、概率統(tǒng)計(jì)、拓?fù)鋵W(xué)以及線性規(guī)劃等領(lǐng)域的問題交織在一起，顯示出理論和應(yīng)用上的重要價(jià)值。特別是在