平面向量知識點總結(精華)

1、必修4平面向量知識點小結 一、向量的基本概念1 .向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數量的區(qū)別.向量常用有向線段來表示.注意：不能說向量就是有向線段，為什么？提示：向量可以平移.舉例1已知A(1,2) , B(4,2),則把向量跑按向量a(1,3)平移后得到的向量是. 結果：(3,0) r2 .零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：0,規(guī)定：零向量的 方向是任意的；3 .單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與AB共線uuu的單位向量是4B-)； |AB|4 .相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向 量有傳遞性；5 .平行向量(也叫共線向量)：方向相同或相

2、反的非零向量a、b叫 做平行向量，記作：a / b,規(guī)定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無傳遞性！(因為有0)；三點A、B、C共線器戰(zhàn)共線.6 .相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量 記作a.舉例2如下列命題：(1)若iaiibi,則a b.(2)兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同 .(3)若避院，則ABCD是平行四邊形.(4)若abcd是平行四邊形，則AB DUU.(5)若a b, b c,則 a

3、c.(6)若ab,則a/c.其中正確的是 .結果：(4) (5)二、向量的表示方法1 .幾何表示：用帶箭頭的有向線段表示，如AB,注意起點在前，終 點在后；2 .符號表示：用一個小寫的英文字母來表示，如a, b, c等；3 .坐標表示：在平面內建立直角坐標系，以與 x軸、y軸方向相同 的兩個單位向量r,r為基底，則平面內的任一向量a可表示為 ar xr yr (x, y),稱(x, y)為向量5的坐標，a (x, y)叫做向量3的坐標表下.結論：如果向量的起點在原點，那么向量的坐標與向量的終點坐標 相同.三、平面向量的基本定理定理 設e省同一平面內的一組基底向量，a是該平面內任一向量， 則存在

4、唯一實數對(i, 2),使a z 2鼠(1)定理核心：a雙焉；(2)從左向右看，是對向量a的分解，且表達式唯一；反之，是對向量a的合成.(3)向量的正交分解：當 您時，就說a4啟為對向量：的正交分解.結果:Br(3,5) ,02 (6,10)舉例 3(1)若 a(1,1), b(i, i), c( 1,2),則 c.(2)下列向量組中，能作為平面內所有向量基底的是ArrrrCr.0 (0,0) ,e2 (1, 2) B.斗(1,2) )02 (5,7) C. eD. e (2, 3),(3)已知AXBE分別是aabc的邊bc , AC上的中線，且器a , BE b,則能可用向量a*,表不為 .

5、結果：-fa gbr.33(4)已知為C中，點D在BC邊上，且那2DUr , CD rABr sA?，則r s的值是 .結果：0.四、實數與向量的積實數 與向量a的積是一個向量，記作 a,它的長度和方向規(guī)定如 下：(1)模： ai 面；(2)方向：當 o時，a的方向與a的方向相同，當 o時，a的 方向與a的方向相反，當 o時，a 0,、匚r在息： a 0.五、平面向量的數量積1 .兩個向量的夾角：對于非零向量a,固作OA，OB b,則把 AOB (0)稱為向量a , b的夾角.當 0時，a, b同向；當 時，a, b反向；當 時，a, b垂直.2 .平面向量的數量積：如果兩個非零向量a, br

6、,它們的夾角為， 我們把數量山而cos叫做a與b的數量積(或內積或點積)，記作：aJ, 即 a b | ar | |b | cos .規(guī)定：零向量與任一向量的數量積是0.注：數量積是一個實數，不再是一個向量.舉例4(1)BC中，|器|3, |器|4, |BC|5,則器鴕. 結果：9.(2)已知 a i,2 , b 0,2 ,c a kb / a b, c 與 dr 的夾角為，貝卜 .結果：1.(3)已知山2,由5, a tr 3,則a bi. 結果：/.(4)已知a,b是兩個非零向量，且由ibiia bri,則a與4的夾角為. 結果：300 .3 .向量b在向量a上的投影：ibicos ,它是

7、一個實數，但不一定大于 0.舉例5 已知iai 3, ibi 5,且ab 12 ,則向量a在向量2上的投影為. 結果：展 54 . a b的幾何意義：數量積a b等于a的模iai與br在a上的投影的積.5 .向量數量積的性質：設兩個非零向量，b,其夾角為，則：(1) a b a b 0；當a、b同向時,a b & ibi,特別地，a2 a a向2山舟；ab面ibi是a、b同向的充要分條件；當a、&反向時，a b iaiibi, a b 島也是a、b反向的充要分條 件；當 為銳角時，ab 0,且a、&不同向，ab 0是 為銳角的必要不 充分條件；rrr當 為鈍角時，a b 0,且a、b不反向；a

8、 b 0是 為鈍角的必要不 充分條件.r r(3)非零向量a, b夾角 的計算公式：cos；a b iaiibi .iaiibi舉例6(1)已知a( ,2), b(3,2),如果a與I的夾角為銳角，則 的取值范圍是. 結果： 或。且打(2)已知aofq的面積為S,且OUFQ 1 ,若2 S ,則OU,用夾角 的 取值范圍是. 結果：-，-;4 3(3)已知 a (cosRSinx) b (cosy,siny) 且滿足|ka tr | . 3 1a kb)| (其中k。).用k表示a 4 ；求a b的最小值，并求此時a與b的夾角 的大小. 結果：二空里。)；最小值為葭600 .六、向量的運算1

9、.幾何運算(1)向量加法運算法則：平行四邊形法則；三角形法則.運算形式：若AB a, BC b,則向量AC叫做a與b的和，即rrULUDuurLULTabABBCAC；作圖：略.注：平行四邊形法則只適用于不共線的向量.(2)向量的減法運算法則：三角形法則.運算形式：若AB a, AC b,則a b AB AC CA,即由減向量的終 點指向被減向量的終點.作圖：略.注：減向量與被減向量的起點相同.舉例 7(1)化簡： Ar BUr CDr ; ALB Ar DLL ；uur uur uur uuriwuuU uurr(AB CD) (AC BD).2口果： AD ；的 CB ；。；(2)若正方形

10、ABCD的邊長為1 , ABU , BCU , AC C ,則4b C| 一 結果：2立；(3)若。是BC所在平面內一點，且滿足潴OCr靖吃2OA ,則MBC的 形狀為.結果：直角三角形；(4)若D為BC的邊BC的中點，AABC所在平面內有一點P,滿足 uuuPuA BP CP。，設胃，則的值為 結果：2;(5)若點0是3C的外心，且Or OB CO。，則ZXABC的內角C為 . 結果：12。.r2 .坐標運算：設a (xL , b (X2,y2),則(1)向量的加減法運算：1 b (x1 X2,y1 y2),ab (x1 X2,y1 v。.舉例 8(1)已知點 A(2,3) , B(5,4)

11、 , C(7,1。)， 若晶AB AC( R), 則當時，點P在第一、三象限的角平分線上. 結果：g；(2) 已矢口 A(2,3) , B(1,4),. 1 AB (sin x,cos y) , x, y ( ,) ?貝f x y . 2吉 果：*3；(3)已知作用在點A(1,1)的三個力uu (3,4) , Fr (2, 5) , Fu (3,1), 則合力uu F1 Fr Fu的終點坐標是結果：(9,1). 實數與向量的積：a(xi,yi) ( X1, yi).(3)若 A(x,yi), B(&,y2),則 AB (X2 Xi,y2 yi),即一個向量的坐標等 于表示這個向量的有向線段的終

12、點坐標減去起點坐標舉例9設A(2,3) , B( i,5),且吃1AB , AS 3匿，則C,D的坐標分別是 3. 結果：(之),(7,9). 3(4)平面向量數量積：a b XiX2 yiy2.舉例I0已知向量 a (sin x,cosx) ) b (sinx,sinx) ) c ( I,0).(i)若x 求向量a、c的夾角； 3(2)若x ,函數f(x) abr的最大值為，求 的值.結果：(i) I50。；5 2) 2 或 2 I.(5)向量的模：a2由2 X2 y2由pv.舉例ii已知a，b均為單位向量，它們的夾角為60。，那么la 3bi=. 結果：m.(6)兩點間的距離：若A(4yi

13、), B(X2，y2),則|AB|而2一XT一后一行.舉例I2如圖，在平面斜坐標系XOy中，xOy 60。，平我上任一點P關 于斜坐標系的斜坐標是這樣定義的：若那Xei y52,其中一分%b與X軸；y軸同 方向的單于 1位向量，則P點斜坐標為(xy).(I )若點P的斜坐標為(2, 2),求P到O的距離|PO| ；(2)求以。為圓心，I為半徑的圓在斜坐標系XOy中的方程.結果：(I) 2； (2) X2 y2 Xy I 0.七、向量的運算律1 .交換律：a b br a,(由(總 ab ba；2 .結合律：ab c(a ir)c,arbc a(bC),(aq (a b) a(b)；3 .分配律

14、：()aa a,(ab) ab, (abKac bc.舉例I3給出下列命題： a (b c) a 4 a c ；a d b g b) c ；r r 2 r 2 r r r 2(a b)2 |a|2 2|a|b| |b|2 ；r r r若a b 0,則a 0或b 0 ；若a b c b則a c ；出a2 ； d b)2 a2 b2 ； g b)2 a2 2ab 立其中正確的是一結果：.說明：(I)向量運算和實數運算有類似的地方也有區(qū)別：對于一個 向量等式，可以移項，兩邊平方、兩邊同乘以一個實數，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即兩邊不能約去一 個向量，切記兩向量不能相

15、除(相約);(2)向量的“乘法”不滿足結合律，即a(rc)(N)c,為什么?八、向量平行(共線)的充要條件r rr rr r 2 r r 2a/ba b(a b)(| a | b |)x1y2y1x20 .舉例 14 (1)若向量 a (x,1), b (4,x),當 x時，士與b共線且方向相同.結果：2.(2)已知 a(1,1), b(4,x), u a 2J, v 2a J，且。/V,則x 結果：4.(3)設 PA(k，12) , PB (4,5) , PC (10,k),則 k 時，A,B,C 共線.結果：2或11.r r rrr rr L0.abab 0|a b | |a b |X1X

16、2y y2uuuuuruuuuuir特別地AB uuuAC uurAB uuuAC uuu|AB|AC |AB|AC|舉例15 (1)已知OA(1,2),uuurOB (3,m)，若uu uurOA OB )燦 m九、向量垂直的充要條件結果:(2)以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB , B 90 ,則點 b的坐標是.結果：(1,3)或(3, 1);(3)已知n (a,b)向量n m,且向面，則m的坐標是結果：(b, a)或(b, a) .十、線段的定比分點1 .定義：設點P是直線PF2上異于P、P2的任意一點，若存在一個實 數，使PPrPP2,則實數 叫做點p分有向線段器u

17、所成的比，p點叫做有向線段 般的以定比為 的定比分點.2 .的符號與分點p的位置之間的關系(1)p內分線段PuU,即點p在線段PF2上 。；(2) P外分線段能；時，點P在線段PP2的延長線上1 ,點P在線段P1P2的反向延長線上10.注：若點P分有向線段PP：所成的比為，則點P分有向線段PzUr所成的 比為L舉例16若點p分賭所成的比為3,則a分BP所成的比為4 /幺士里7巳口禾. -.33.線段的定比分點坐標公式：設P(Xi，x), P2(x2,y2),點P(x,y)分有向線段胃Pu所成的比為，則定比分XiX2點坐標公式為1 yi(V21).Xi X2X ,特別地，當 1時，就得到線段P1

18、P2的中點坐標公式 2y j.2說明：(1)在使用定比分點的坐標公式時，應明確(內)，(為)、( 的意義，即分別為分點，起點，終點的坐標.(2)在具體計算時應根據題設條件，靈活地確定起點，分點和 終點，并根據這些點確定對應的定比.舉例17 (1)若M( 3, 2) N(6, 1)且Mu1揣則點P的坐標為.3結果：(6, 7)；3(2)已知A(a,0) , B(3,2 a),直線y 1ax與線段AB交于M ,且1AMr 2滯，則a .結果：2或4.十一、平移公式如果點P(x,y)按向量a (h,k)平移至P(x,y),則x x h,；曲線f(x,y)。按 y y k.向量(h,k)平移得曲線f(

19、x h,y k) 0.說明：(1)函數按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯系？ (2)向量平移具有坐標不變性，可別忘了?。∨e例18(1)按向量a把(2, 3)平移到(1,2),則按向量a把點(7,2)平移到點. 結果：(8,3);(2)函數y sin2x的圖象按向量a平移后，所得函數的解析式是y cos2x 1 , 貝！J a. 結果： (4,1).十二、向量中一些常用的結論1 .一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運用；2 .模的性質：向由ia bdi ib|.(1)右邊等號成立條件：a、b同向或a、b中有0 1a biia1 ； 左邊等號成立條件：a、b反向或a、b中有0 ia biiai向； - -r - r - r - r(3)當 a、b不共線ia